Polynomnullen

Mit diesem Rechner können Sie Polynomwurzeln eines gültigen Polynoms berechnen, das Sie bereitstellen.Dieses Polynom kann jedes Polynom von Grad 1 oder höher sein.

Zum Beispiel können Sie ein kubisches Polynom wie p (x) = x^3 + 2x^2 - x + 1 bereitstellen, oder Sie können ein Polynom mit Nichttegerkoeffizienten wie P (x) = x^bereitstellen3 - 13/12 x^2 + 3/8 x - 1/24.

Sobald Sie den Taschenrechner ein gültiges Polynom zur Verfügung gestellt haben, für das Sie seine Wurzeln berechnen möchten, können Sie auf die Schaltfläche "Berechnen" klicken, und Sie werden einen Schritt-für-Schritt-Lauf des Prozesses sehen.

Es muss erwähnt werden, dass der Prozess nur elementare Methoden umfasst, die zum Finden von Wurzeln verwendet werden, einschließlich des Rational Zero Theorem und Polynomabelung sowie die Verwendung der Quadratische Formel wenn angemessen.

Es gibt keine allgemeine Methode, um alle Wurzeln für alle möglichen Polynome von zu finden Grad Daher findet dieser Taschenrechner nur Wurzeln, die mit diesen genannten Elementarmethoden erhalten werden können.

Was ist die wurzel eines polynoms?

Angenommen Polynomfungion \(p(x)\) wir sagen, dass \(x\) eine Wurzel des Polynoms ist, wenn:

\[\displaystyle p(x) = 0 \]

In Laienbegriffen Wurzeln eines Polynoms sind die Punkte die Polynomfunktion \(p(x)\) kreuzt die x-Achse.Das ist eine gute Darstellung, um eine Idee zu bekommen, aber es ist nicht ganz präzise, da einige Wurzeln komplexe Zahlen sein könnten.Also ist eine echte Wurzel ein Punkt, an dem \(p(x)\).

Beachten Sie, dass die Wurzeln des Polynoms auch als Polynomnullen bezeichnet werden.

Was sind die schritte, um die nullen eines polynoms zu finden?

• Schritt 1: Identifizieren Sie den Ausdruck, mit dem Sie arbeiten möchten.Stellen Sie sicher, dass es sich um ein Polynom handelt und so weit wie möglich vereinfacht
• Schritt 2: Wir werden das verwenden Polynom Factoring Ansatz, um seine Wurzel zu finden
• Schritt 3: Versuchen Sie, elementare (rationale) Wurzeln mit dem zu finden Rational Zero Theorem und verwenden Polynomabelung Um das ursprüngliche Polynom zu reduzieren, wenn möglich
• Schritt 4: Wenn Schritt 3 funktioniert und Sie das ursprüngliche Polynom reduzieren können, wiederholen Sie die vorherigen Schritte, um das reduzierte Polynom zu berücksichtigen

Es ist normalerweise nicht einfach und kann rechnerisch intensiv sein, und es ist nicht garantiert, dass es funktioniert, aber es ist der bestmögliche Ansatz, wenn wir uns auf die Verwendung von Elementarmethoden beschränken.

Ist die einzige möglichkeit, wurzeln zu finden

Nicht wirklich, aber die Dinge gehen von Hand an Hand.Die Faktorsatz gibt an, dass \(x - a\) ein Faktor eines Polynoms ist \(p(x)\) wenn und nur wenn \(p(a) = 0\).Mit anderen Worten, Wurzeln und Faktoren sind eng miteinander verbunden.

Nun, für Polynome von Grad 2 (das ist, ist, Quadratische Polynom ) Wir können eine explizite Formel verwenden, was das wohl wissen Quadratische Formel .

Gleiches gilt für Grad 3 und 4, obwohl die Formeln weit davon entfernt sind, elementar zu sein.Für den Abschluss 5 und höher gibt es keine solche Formel, ein Schlüsselergebnis, das von Galois und Abel nachgewiesen wird.Es gibt also keine Hoffnung, eine "allgemeine Formel" zu finden, und weshalb die Verwendung eines lockeren Gebrauchs Polynomfaktorisierung Ansatz.

Häufige fehler zu vermeiden

Oft sind die Schüler frustriert, dass sie die Wurzeln einer gegebenen nicht finden können Polynomfungion , sagen Sie \(p(x) = x^3+2 x^2-x+1 \), aber sie müssen sich der Tatsache stellen, dass nicht alle Polynome mit Elementarwerkzeugen gelöst werden können.

Zugegeben, es gibt eine Formel zur Lösung \(x^3+2 x^2-x+1 = 0 \), aber es ist nicht elementar, und es wird nicht erwartet, dass die Schüler es wissen.

Tipps für den erfolg

Versuchen Sie immer, eine mentale Karte von Ihrer Strategie zu machen: Beachten Sie das Polynom, den Sie haben, seinen Abschluss, seinen führenden Koeffizienten und den konstanten Koeffizienten.

Zeichnen sie Das Polynom Wenn Sie können, um eine Vorstellung von seinem Verhalten zu bekommen.Gibt es eine offensichtliche Faktorisierung, die Sie verwenden können?Benutze sie.Denken Sie immer an Faktoren = Wurzeln.

Beispiel: nullen eines polynoms

Was sind die Nullen von: \(x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1\)?

Lösung: In diesem Beispiel erhalten wir das folgende Polynom: \(\displaystyle p(x) = x^5+x^4-x^3+x^2-x+1\).Wir werden den Factoring -Ansatz verwenden, um Wurzeln zu finden.

Vereinfachung Nick Ben Metigt: Der bereitgestellte Polynomausdruck ist bereits vereinfacht, daher gibt es nichts, was ihn weiter vereinfacht.

Es kann beachtet werden, dass der Grad des bereitgestellten Polynoms \(\displaystyle deg(p) = 5\) ist.Der führende Koeffizient ist auch \(\displaystyle a_{5} = 1\) und sein konstanter Koeffizient entspricht \(\displaystyle a_0 = 1\).

Jetzt suchen wir nach ganzzahligen Zahlen, die den führenden Koeffizienten \(a_{5}\) und den konstanten Koeffizienten \(a_0\) teilen, der zum Finden rationaler Kandidaten verwendet wird.

▹ Die Teiler von \(a_{5} = 1\) sind: \(\pm 1\).

▹ Die Teiler von \(a_0 = 1\) sind: \(\pm 1\).

Daher werden alle Faktoren des konstanten Begriffs \(a_0 = 1\) durch alle Divisoren von \(a_{5} = 1\) die folgende Liste potenzieller Wurzeln erhalten:

\[\pm \frac{ 1}{ 1}\]

Jetzt müssen alle potenziellen Lösungen bewertet werden.Die Ergebnisse, die aus dem Testen jedes Kandidaten erzielt wurden, sind wie folgt:

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle \left(-1\right)^5+\left(-1\right)^4-\left(-1\right)^3+\left(-1\right)^2-\left(-1\right)+1 & = & \displaystyle 4 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 1^5+1^4-1^3+1^2-1+1 & = & \displaystyle 2 \ne 0 \\\\ \end{array}\]

Da durch manuelle Inspektion keine rationalen Wurzeln identifiziert wurden, ist eine weitere Vereinfachung mit grundlegenden Techniken nicht möglich und der Prozess endet mit diesem Schritt.

Fazit : Infolgedessen wurde keine Vereinfachung erhalten, und es wurden keine Wurzeln des Polynoms durch grundlegende Techniken identifiziert

Beispiel: berechnung von wurzeln eine quadratische funktion

Berechnen Sie die Lösungen von: \(3x^2 - 2x - 4 = 0\).

Lösung: Wir müssen die angegebene quadratische Gleichung \(\displaystyle 3x^2-2x-4=0\) lösen.

Die Wurzeln für eine quadratische Gleichung der Form \(a x^2 + bx + c = 0\) werden unter Verwendung der folgenden Gleichung berechnet:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

In diesem Zusammenhang lautet die Gleichung, die gelöst werden muss, \(\displaystyle 3x^2-2x-4 = 0\), was darauf hinweist, dass die entsprechenden Koeffizienten sind:

\[a = 3\] \[b = -2\] \[c = -4\]

Erstens werden wir die Art der Wurzeln bestimmen, indem wir die Diskriminanz berechnen.Die Diskriminanz wird wie folgt berechnet:

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( -2\right)^2 - 4 \cdot \left(3\right)\cdot \left(-4\right) = 52\]

Da wir in diesem Fall die Diskriminanz erhalten, ist dies \(\Delta = \displaystyle 52 > 0\), was positiv ist. Daher hat die Gleichung zwei verschiedene reale Wurzeln.

Daraus bekommen wir:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{2 \pm \sqrt{\left(-2\right)^2-4\left(3\right)\left(-4\right)}}{2\cdot 3} = \displaystyle \frac{2 \pm \sqrt{52}}{6}\]

Also finden wir das:

\[ x_1 = \frac{2}{6}-\frac{1}{6}\sqrt{52}=\frac{2}{6}-\frac{1}{6}\cdot 2\sqrt{13}=\frac{2}{6}-\frac{1}{3}\sqrt{13}=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\sqrt{13} \] \[x_2 = \frac{2}{6}+\frac{1}{6}\sqrt{52}=\frac{2}{6}+\frac{1}{6}\cdot 2\sqrt{13}=\frac{2}{6}+\frac{1}{3}\sqrt{13}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\sqrt{13}\]

Wir finden, dass die Gleichung \( \displaystyle 3x^2-2x-4 = 0 \) zwei echte Wurzeln hat, also:

\[\displaystyle 3x^2-2x-4 = 3 \left(x+\frac{1}{3}\sqrt{13}-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{3}\sqrt{13}-\frac{1}{3}\right)\]

Dann wird das ursprüngliche Polynom als \(\displaystyle p(x) = 3x^2-2x-4 = 3 \left(x+\frac{1}{3}\sqrt{13}-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{3}\sqrt{13}-\frac{1}{3}\right) \) berücksichtigt, was die Faktorisierung vervollständigt.

Fazit : Daher wird die Faktorisierung, nach der wir gesucht haben, gegeben durch:

\[\displaystyle p(x) = 3x^2-2x-4 = 3 \left(x+\frac{1}{3}\sqrt{13}-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{3}\sqrt{13}-\frac{1}{3}\right)\]

Die gefundenen Wurzeln sind \(-\frac{1}{3}\sqrt{13}+\frac{1}{3}\) und \(\frac{1}{3}\sqrt{13}+\frac{1}{3}\).

Beispiel: polynom -nullen

Berechnen Sie die Nullen des folgenden Polynoms: \(p(x)= x^3 - \frac{13}{12} x^2 + \frac{3}{8} x - \frac{1}{24} \).

Lösung: Schließlich haben wir in diesem Beispiel: \(\displaystyle p(x) = x^3-\frac{13}{12}x^2+\frac{3}{8}x-\frac{1}{24}\).

Erster Schritt: Der bereitgestellte Polynomausdruck ist nicht reduzierbar, daher gibt es nichts zu vereinfachen.Wir können fortfahren, um es zu berücksichtigen.

Beachten Sie, dass der Grad des gegebenen Polynoms \(\displaystyle deg(p) = 3\) ist, sein führender Koeffizient ist \(\displaystyle a_{3} = 1\) und sein konstanter Koeffizient ist \(\displaystyle a_0 = -\frac{1}{24}\).

Begründung Wurzeln : Wir werden versuchen, zuerst einfache rationale Wurzeln mit dem rationalen Zero -Theorem zu finden.

Die nächste Aufgabe besteht darin, die Ganzzahlzahlen zu finden, die den führenden Koeffizienten \(a_{3}\) und den konstanten Koeffizienten \(a_0\) teilen, mit dem unsere Kandidaten so konstruiert werden, dass sie Nullen der Polynomgleichung sind.

Notiz: In diesem Fall stellen wir fest, dass wir beide Seiten der Gleichung durch \(24\) verstärken müssen, um beide Seiten der Gleichung zu verbessern.Die äquivalente Gleichung lautet:

\[24x^3-26x^2+9x-1 = 0\]

▹ Die Teiler von \(a_{3} = 24\) sind: \(\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\pm 6,\pm 8,\pm 12,\pm 24\).

▹ Die Teiler von \(a_0 = -1\) sind: \(\pm 1\).

Daher teilen wir den Teiler des führenden Koeffizienten \(a_{3} = 24\) Daher die folgende Liste von Kandidaten als Wurzeln:

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 1}{ 2},\pm \frac{ 1}{ 3},\pm \frac{ 1}{ 4},\pm \frac{ 1}{ 6},\pm \frac{ 1}{ 8},\pm \frac{ 1}{ 12},\pm \frac{ 1}{ 24}\]

Jetzt müssen alle Kandidaten getestet werden, um festzustellen, ob sie eine Lösung sind.Das Folgende erfolgt aus dem Testen der einzelnen Kandidaten:

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle 24\cdot \left(-1\right)^3-26\cdot \left(-1\right)^2+9\cdot \left(-1\right)-1 & = & \displaystyle -60 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 24\cdot 1^3-26\cdot 1^2+9\cdot 1-1 & = & \displaystyle 6 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{2} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{-1}{2}\right)^3-26\left(\frac{-1}{2}\right)^2+9\left(-\frac{ 1}{ 2}\right)-1 & = & \displaystyle -15 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{2} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{1}{2}\right)^3-26\left(\frac{1}{2}\right)^2+9\cdot \frac{1}{2}-1 & = & \displaystyle 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{3} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{-1}{3}\right)^3-26\left(\frac{-1}{3}\right)^2+9\left(-\frac{ 1}{ 3}\right)-1 & = & \displaystyle -\frac{70}{9} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{3} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{1}{3}\right)^3-26\left(\frac{1}{3}\right)^2+9\cdot \frac{1}{3}-1 & = & \displaystyle 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{4} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{-1}{4}\right)^3-26\left(\frac{-1}{4}\right)^2+9\left(-\frac{ 1}{ 4}\right)-1 & = & \displaystyle -\frac{21}{4} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{4} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{1}{4}\right)^3-26\left(\frac{1}{4}\right)^2+9\cdot \frac{1}{4}-1 & = & \displaystyle 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{6} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{-1}{6}\right)^3-26\left(\frac{-1}{6}\right)^2+9\left(-\frac{ 1}{ 6}\right)-1 & = & \displaystyle -\frac{10}{3} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{6} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{1}{6}\right)^3-26\left(\frac{1}{6}\right)^2+9\cdot \frac{1}{6}-1 & = & \displaystyle -\frac{1}{9} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{8} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{-1}{8}\right)^3-26\left(\frac{-1}{8}\right)^2+9\left(-\frac{ 1}{ 8}\right)-1 & = & \displaystyle -\frac{165}{64} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{8} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{1}{8}\right)^3-26\left(\frac{1}{8}\right)^2+9\cdot \frac{1}{8}-1 & = & \displaystyle -\frac{15}{64} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{12} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{-1}{12}\right)^3-26\left(\frac{-1}{12}\right)^2+9\left(-\frac{ 1}{ 12}\right)-1 & = & \displaystyle -\frac{35}{18} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{12} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{1}{12}\right)^3-26\left(\frac{1}{12}\right)^2+9\cdot \frac{1}{12}-1 & = & \displaystyle -\frac{5}{12} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{24} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{-1}{24}\right)^3-26\left(\frac{-1}{24}\right)^2+9\left(-\frac{ 1}{ 24}\right)-1 & = & \displaystyle -\frac{91}{64} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{24} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{1}{24}\right)^3-26\left(\frac{1}{24}\right)^2+9\cdot \frac{1}{24}-1 & = & \displaystyle -\frac{385}{576} \ne 0 \\\\ \end{array}\]

Aber da wir alle erforderlichen Wurzeln unter den rationalen Kandidaten gefunden haben, finden wir das \(\displaystyle x^3-\frac{13}{12}x^2+\frac{3}{8}x-\frac{1}{24} = \left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{4}\right) \) also:

\[\displaystyle p(x) = x^3-\frac{13}{12}x^2+\frac{3}{8}x-\frac{1}{24} = \left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{4}\right) \]

Dies vervollständigt den Faktorisierungsprozess.

Ergebnis : Daher ist die endgültige Faktorisierung:

\[\displaystyle p(x) = x^3-\frac{13}{12}x^2+\frac{3}{8}x-\frac{1}{24} = \left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{4}\right)\]

Daher sind die gefundenen Wurzeln \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{3}\) und \(\frac{1}{4}\).

Andere nützliche polynomrechner

Nullen einpolynoms fandden ist eine der Spitzen der Algebra, sofern der grundlegende Theorem der Algebra um die Existenz von N -Wurzeln für ein Polynom des Grades n geht.Diese Wurzeln werden nicht alle real sein, und einige von ihnen (oder alle) können Komplexnummern sein.

Letztendlich kann fast jedes einzelne Problem in Algebra und Kalkül darauf reduziert werden, Wurzeln eines Polynoms zu finden, einschließlich der Lösung Polynomgleichungen , wie diejenigen, die Sie zum Beispiel finden würden, wenn Sie nach dem suchen Schnittpunkt Zwischen Den Grafiken von \(y = x^2\) und \(y = x^3\).