Faktorsatz

Dieser Taschenrechner hilft Ihnen bei der Verwendung des Faktor -Theorems, der alle Schritte zeigt.Sie müssen lediglich ein gültiges Polynom bereitstellen, wie zum Beispiel x^3 - 3x + 4, und eine Zahl oder einen numerischen Ausdruck wie 1/3.Wenn wir das Polynom P (x) und den Wert A nennen, verwenden wir den Faktor -Theorem, um zu beurteilen, ob (x - a) ein Faktor von P (x) oder nicht ist oder nicht.

Sobald Sie ein gültiges Polynom angeben und ein Wert bereitgestellt wird, müssen Sie nur auf "Berechnen" klicken, um alle angezeigten Schritte zu erhalten.

Beobachten Sie, dass x - ein Faktor von P (x) das gleiche ist wie das x - a teilt P (x) genau.

Was ist der faktorsatz?

Die Idee, ein Polynom zu berücksichtigen, ist einfach: Wir möchten wissen, ob ein Polynom als Multiplikation kleinerer Polynome geschrieben werden kann oder nicht.Wie zum Beispiel, wenn \(p(x)\) ein Polynom ist und wir schreiben können

\[ p(x) = q(x)(x-a)\]

Für ein Polynom \(q(x)\) dann können wir sagen, dass \(x - a\) a ist a Faktor von \(p(x)\).Der Faktor -Theorem stellt fest, dass wir für eine \(x - a\) ein Faktor von \(p(x)\) sein können, und müssen umgekehrt, wenn \(p(a) = 0\), dann \(x - a\) ist ein Faktor von \(p(x)\).

Der Faktor -Theorem zeigt uns also diese entscheidende und enge Assoziation zwischen den Wurzeln der Polynome und der Faktoren des Polynoms, bis zu dem Punkt, dass \(a\) eine Wurzel des Polynoms ist, wenn und nur wenn \(x - a\) istEin Faktor von \(p(x)\).Um die Wurzeln eines Polynoms zu finden, müssen wir seine Faktoren finden.

So verwenden sie den faktor -theorem, um polynome zu faktorieren

Es gibt einige verschiedene Ansätze, aber am häufigsten sind:

• Schritt 1: Beginnen Sie mit einem Polynom P (x).Stellen Sie sicher, dass es so weit wie möglich vereinfacht wird.
• Schritt 2: Wenn der Grad von P (x) 2 oder weniger beträgt, gibt es direkte Formeln, um die Wurzeln zu erhalten.Wenn die Wurzeln R1 und R2 sind, wird das Polynom als p (x) = a (x-r1) (x-r2) berücksichtigt, wobei a der führende Begriff ist
• Schritt 3: Versuchen Sie für Grad 3 oder höher, eine Wurzel zu erraten oder zuerst zuerst die zu verwenden Rationaler Wurzel Theorem So viele rationale Wurzeln wie möglich zu finden
• Schritt 4: Wenn der vorherige Schritt keine Wurzeln lieferte, stoppen Sie.Es gibt nichts, was Sie mit grundlegenden Methoden tun können, und wahrscheinlich benötigen Sie eine numerische Annäherung
• Schritt 5: Wenn Sie einfache Wurzeln aus den vorherigen Schritten gefunden haben, müssen die Begriffe x - r (wobei R eine Wurzel ist) Faktor sein.Deshalb teilen wir P (x) durch alle entsprechenden Faktoren.Dies wird zu einem Polynom führen, das einen Grad hat, der so stark reduziert wurde wie die Anzahl der in früheren Schritten gefundenen Wurzeln.Rufen Sie das resultierende Polynom P (x) auf
• Schritt 6: Wenden Sie alle Schritte erneut auf das neue Polynom P (x) an, bis die Iteration aufhört.

Tatsächlich gibt es genaue Formeln für die Wurzeln von Polynomen von Grad 3 und 4, aber es gibt nicht wirklich benutzerfreundlich, sodass sie normalerweise nicht in einem grundlegenden Algebra -Kurs bedeckt sind.

Wie man den faktor -theorem und den restsatz bezieht

Der Faktorsatz ist eng mit dem verwandt Restsatz .Dies liegt daran, dass aus der euklidischen Zerlegung erhalten wurde, wenn Polynome Teilen \(p(x)\) und \(s(x)\) wir bekommen, dass es Polynome gibt << xyz >> und << xyz >> so dass das

\[p(x) = s(x) q(x) + r(x) \]

mit \(deg(r(x)) < deg(s(x))\).Also, insbesondere wenn \(s(x) = x-a\), der Grad 1 hat, haben wir

\[p(x) = s(x) (x-a) + r(x) \]

Und in diesem Fall muss \(r(x)\) Grad 0 haben (weil es kleiner sein muss als der Grad von S, das ist 1), also ist \(r(x) = r\) eine Konstante.Dann

\[p(x) = s(x) (x-a) + r \]

und Verstopfung \(x = a\) in der obigen Gleichung führt zu:

\[p(a) = s(a) (a-a) + r \Rightarrow p(a) = r\]

Dann impliziert der Restsatz, wenn \(a\) eine Wurzel ist, dann \(p(a) = 0\) und so ist der Rest auch << xyc >>.

Tipps für den erfolg

Der Faktor -Theorem ist auch gut, um Wurzeln eines Polynoms zu finden und uns zu sagen, dass Wurzeln direkt in Faktoren umgewandelt werden können.Dies führt wahrscheinlich dazu, dass Sie die Ausdrücke bewerten, für die manchmal bequemer sein kann, wenn Sie den Prozess von verwenden Synthetische Substitution im Gegensatz dazu, die Berechnungen durchzuführen.

Vermeiden Sie Fehler wie den Versuch, an eine "Formel" zu denken, um Faktoren zu finden.Faktoren zu finden sind im Wesentlichen das gleiche wie das Finden von Wurzeln, was dazu beinhaltet, effektiv zu sein Polynom bewerten bei gegebenen Werten.

Beispiel: faktor -theorem

Ist \(x - 1\) ein Faktor von \(p(x) = 3x^3 - x^2 + 2x - 1\)

Lösung: Das folgende Polynom wurde bereitgestellt: \(\displaystyle p(x) = 3x^3-x^2+2x-1\) und wir müssen für den angegebenen Punkt herausfinden.

Dazu werden wir synthetische Substitution verwenden, um zu beurteilen, ob \(\displaystyle p(1) = 0\).

Um die synthetische Substitution durchzuführen, müssen wir eine synthetische Aufteilung von: \(\displaystyle p(x) = 3x^3-x^2+2x-1\) und den Divisor \(\displaystyle s = x-1\) durchführen und den Rest finden.

Beachten Sie, dass der Grad der Dividende \(\displaystyle deg(p) = 3\) ist, während der Grad des Divisors \(\displaystyle deg(s)) = 1\) ist.

Schritt 1: Da der Divisor einen Abschluss 1 hat, können wir die synthetische Teilungsmethode verwenden.Durch die Lösung \(\displaystyle s(x) = x-1 = 0\) finden wir direkt, dass die Nummer, die in das Divisionsfeld eingebracht werden soll,: \(\displaystyle 1\).

\[\begin{array}{c|ccc} 1 & 3 & -1 & 2 & -1 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & \end{array}\]

Schritt 2: Jetzt übergeben wir direkt den führenden Begriff \(3\) an die Ergebniszeile:

\[\begin{array}{c|ccc} 1 & 3 & -1 & 2 & -1 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline &3&&& \end{array}\]

Schritt 3: Multiplizieren Sie den Begriff im Divisionsfeld mit dem Ergebnis in Spalte 1: \(1 \cdot \left(3\right) = 3\) und dieses Ergebnis wird in der Ergebniszeile, Spalte 1, eingefügt.

\[\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & \\[0.6em]\hline&3&&&\end{array}\]

Schritt 4: Wenn Sie nun die Werte in Spalte 2 hinzufügen, erhalten wir: \( -1+3 = 2\) und dieses Ergebnis wird in der Ergebniszeile, Spalte 2, eingefügt.

\[\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & \\[0.6em]\hline& 3 & 2 & \end{array}\]

Schritt 5: Multiplizieren Sie den Begriff im Divisionsfeld mit dem Ergebnis in Spalte 2: \(1 \cdot \left(2\right) = 2\) und dieses Ergebnis wird in der Ergebniszeile, Spalte 2, eingefügt.

\[\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & 2\\[0.6em]\hline& 3 & 2 & \end{array}\]

Schritt 6: Wenn Sie nun die Werte in Spalte 3 hinzufügen, erhalten wir: \( 2+2 = 4\) und dieses Ergebnis wird in der Ergebniszeile, Spalte 3, eingefügt.

\[\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & 2\\[0.6em]\hline& 3 & 2 & 4\end{array}\]

Schritt 7: Multiplizieren Sie den Begriff im Divisionsfeld mit dem Ergebnis in Spalte 3: \(1 \cdot \left(4\right) = 4\) und dieses Ergebnis wird in der Ergebniszeile, Spalte 3, eingefügt.

\[\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & 2 & 4\\[0.6em]\hline& 3 & 2 & 4\end{array}\]

Schritt 8: Wenn Sie nun die Werte in Spalte 4 hinzufügen, erhalten wir: \( -1+4 = 3\) und dieses Ergebnis wird in der Ergebniszeile, Spalte 4, eingefügt.

\[\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & 2 & 4\\[0.6em]\hline& 3 & 2 & 4 & 3\end{array}\]

Dies schließt diese Berechnung ab, da wir in der letzten Spalte, die den Rest enthält, zum Ergebnis angekommen sind.

Fazit: Daher kommen wir zu dem Schluss, dass für die gegebene Dividende \(\displaystyle p(x) = 3x^3-x^2+2x-1\) und Divisor \(\displaystyle s(x) = x-1\) wir bekommen, dass der Rest \(\displaystyle r(x) = 3\) ist, also schließen wir, dass \(\displaystyle p\left(1\right) = 3 \ne 0\).

Daher schließen wir, dass \(\displaystyle x - 1\) kein Faktor von \(p(x)\) ist.

Beispiel: mehr faktor -theorem -beispiele

Für das Polynom: \(p(x) = 3x^3 + x^3 - 15x + 4\) Was ist \(p(1/3)\), was bedeutet, dass x - 1/3 ein Faktor von P (x) ist?

Lösung: In diesem Fall haben wir: \(\displaystyle p(x) = 3x^3+x^3-15x+4\) und der angegebene Punkt ist \(\displaystyle x = \frac{1}{3}\).Wir müssen herausfinden, ob \(\displaystyle x - \frac{1}{3}\) Faktor von \(p(x)\) ist oder nicht.

Wie im vorherigen Beispiel wird die synthetische Substitution verwendet, um zu beurteilen, ob \(\displaystyle p(\frac{1}{3}) = 0\).

Erstschritt: In diesem Fall müssen wir zunächst die Dividende \(\displaystyle P(x) = 3x^3+x^3-15x+4\) vereinfachen, und dazu führen wir die folgenden Vereinfachungsschritte durch:

Jetzt machen wir eine synthetische Aufteilung von: \(\displaystyle p(x) = 4x^3-15x+4\) mit dem Divisor \(\displaystyle s = x-\frac{1}{3}\) und wir müssen den Rest finden.

Schritt 1: Da der Divisor einen Abschluss 1 hat, können wir die synthetische Teilungsmethode verwenden.Durch die Lösung \(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{3} = 0\) finden wir direkt, dass die Nummer, die in das Divisionsfeld eingebracht werden soll,: \(\displaystyle \frac{1}{3}\).

\[\begin{array}{c|ccc} \frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & \end{array}\]

Schritt 2: Jetzt übergeben wir direkt den führenden Begriff \(4\) an die Ergebniszeile:

\[\begin{array}{c|ccc} \frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline &4&&& \end{array}\]

Schritt 3: Multiplizieren Sie den Begriff im Divisionsfeld mit dem Ergebnis in Spalte 1: \(\frac{1}{3} \cdot \left(4\right) = \frac{4}{3}\) und dieses Ergebnis wird in der Ergebniszeile, Spalte 1, eingefügt.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \\[0.6em]\hline&4&&&\end{array}\]

Schritt 4: Wenn Sie nun die Werte in Spalte 2 hinzufügen, finden wir: \( 0+\frac{4}{3} = \frac{4}{3}\) und dieses Ergebnis wird in der Ergebniszeile, Spalte 2, eingefügt.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \\[0.6em]\hline& 4 & \frac{4}{3} & \end{array}\]

Schritt 5: Multiplizieren Sie den Begriff im Divisionsfeld mit dem Ergebnis in Spalte 2: \(\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{9}\) und dieses Ergebnis wird in der Ergebniszeile, Spalte 2, eingefügt.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \frac{4}{9}\\[0.6em]\hline& 4 & \frac{4}{3} & \end{array}\]

Schritt 6: Wenn Sie nun die Werte in Spalte 3 hinzufügen, finden wir: \( -15+\frac{4}{9} = -\frac{131}{9}\) und dieses Ergebnis wird in der Ergebniszeile, Spalte 3, eingefügt.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \frac{4}{9}\\[0.6em]\hline& 4 & \frac{4}{3} & -\frac{131}{9}\end{array}\]

Schritt 7: Multiplizieren Sie den Begriff im Divisionsfeld mit dem Ergebnis in Spalte 3: \(\frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{131}{9}\right) = -\frac{131}{27}\) und dieses Ergebnis wird in der Ergebniszeile, Spalte 3, eingefügt.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \frac{4}{9} & -\frac{131}{27}\\[0.6em]\hline& 4 & \frac{4}{3} & -\frac{131}{9}\end{array}\]

Schritt 8: Wenn Sie nun die Werte in Spalte 4 hinzufügen, finden wir: \( 4-\frac{131}{27} = -\frac{23}{27}\) und dieses Ergebnis wird in der Ergebniszeile, Spalte 4, eingefügt.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \frac{4}{9} & -\frac{131}{27}\\[0.6em]\hline& 4 & \frac{4}{3} & -\frac{131}{9} & -\frac{23}{27}\end{array}\]

Dies schließt diese Berechnung ab, da wir in der letzten Spalte, die den Rest enthält, zum Ergebnis angekommen sind.

Fazit: Nach der Vereinfachung stellen wir daher fest, dass wir bei der Aufteilung \(\displaystyle p(x) = 4x^3-15x+4\) und dem Divisor \(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{3}\) erhalten, dass der Rest \(\displaystyle r(x) = -\frac{23}{27}\) ist, also schließen wir, dass \(\displaystyle p\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{23}{27} \ne 0\).

Daher schließen wir, dass \(\displaystyle x - \frac{1}{3}\) kein Faktor von \(p(x)\) ist.

Beenpiel: mehr über den faktor -theorem

Ist \(x - 2\) Ein faktor von \(p(x) = 2x^4 - x^3 + x - 2\)

Lösung: In Dieem BEISPIEL HAben Wir: \(\displaystyle p(x) = 2x^4-x^3+x-2\), auch Müssen Wir Herausfinden, ob \(\displaystyle x = 2\) Ein Wurzel des polynoms ist oder nick, um zu Zu Zuurteil, ob \(\displaystyle x - 2\) faktor von \(p(x)\) iStoder nick.

Dazu Werden Wir synthetische Substitution Verwenden, Um Zu Zu Beurteilen, ob \(\displaystyle p(2) = 0\).

Die Synthetische Aufteilung von Wird DurchgefÜHrt für: \(\displaystyle p(x) = 2x^4-x^3+x-2\) und \(\displaystyle s = x-2\) und wir müssen den Rest der Division fandden.

Schritt 1: Da der Divisor Einen Abschluss 1 Hut, Können wir Die Synthetische Teilungsmethode Verwenden.durch lösung \(\displaystyle s(x) = x-2 = 0\) fanden Wir Direkt, Dass Die Nummer, sterben in der DivisionFeld Egingbracht Werden Soll ,: \(\displaystyle 2\).

\[\begin{array}{c|cccc} 2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & & \end{array}\]

Schritt 2: Jetzt übergebten Wir Direkt den für feuhrenden begriff \(2\) ein sterbiger Ergebniszeil:

\[\begin{array}{c|cccc} 2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline &2&&&& \end{array}\]

Schritt 3: Multiplizieren Sie Den Begriff IM Divisionfeld mit dem Ergebnis in Spalt 1: \(2 \cdot \left(2\right) = 4\) und Diesine Ergebnis wird in der ergebniszeiler, spalte 1, esingefügt.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & & \\[0.6em]\hline&2&&&&\end{array}\]

Schritt 4: Wenn Sie nun Die Werte in Spalte 2 Hinschufügen, Funde Wir: \( -1+4 = 3\) und Diesine Ergebnis wird in Dergebniszeiler, Spalt 2, EINGEFÜGT.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & & \\[0.6em]\hline& 2 & 3 & & \end{array}\]

Schritt 5: Multiplizieren Sie Den Begriff IM Divisionfeld mit dem Ergebnis in Spalt 2: \(2 \cdot \left(3\right) = 6\) und Diesine Ergebnis wird in der Ergebniszeilung, Spalt 2, EINGEFÜGT.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & \\[0.6em]\hline& 2 & 3 & & \end{array}\]

Schritt 6: Wenn Sie nun Die Werte in Spalt 3 Hinschufügen, Funde Wir: \( 0+6 = 6\) und Diesine ergebnis wird in Dergebniszeiler, Spalt 3, Eingefügt.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & \\[0.6em]\hline& 2 & 3 & 6 & \end{array}\]

Schritt 7: Multiplizieren Sie Den Begriff IM Divisionfeld MIT Dem ergebnis in Spalt 3: \(2 \cdot \left(6\right) = 12\) und Diesine Ergebnis wird in der ergebniszeiler, spalt 3, esingeefügt.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & 12\\[0.6em]\hline& 2 & 3 & 6 & \end{array}\]

Schritt 8: Wenn Sie nun Die Werte in Spalte 4 Hinschufügen, Funde Wir: \( 1+12 = 13\) und Diesine Ergebnis wird in Dergebniszeiler, Spalt 4, Eingefügt.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & 12\\[0.6em]\hline& 2 & 3 & 6 & 13\end{array}\]

Schritt 9: Multiplizieren Sie Den Begriff IM Divisionfeld mit dem Ergebnis in Spalt 4: \(2 \cdot \left(13\right) = 26\) und Diesine Ergebnis wird in der Ergebniszeilung, Spalt 4, EINGEFÜGT.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & 12 & 26\\[0.6em]\hline& 2 & 3 & 6 & 13\end{array}\]

Schritt 10: Wenn Sie nun Die Werte in Spalt 5 Hinschufügen, Funde Wir: \( -2+26 = 24\) und Dieses Ergebnis wird in Dergebniszeiler, Spalt 5, Eingefügt.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & 12 & 26\\[0.6em]\hline& 2 & 3 & 6 & 13 & 24\end{array}\]

Und wir Stoppen Die Division, da der Rest Grad 0 Hut.

Fazit: DAHER KOMMEN Wir Zu dem Schluss, Dass für Gegebene Dividende \(\displaystyle p(x) = 2x^4-x^3+x-2\) und Divisor \(\displaystyle s(x) = x-2\) Wir bekommen, Dass der Rest \(\displaystyle r(x) = 24\) Ist, auch Schliesichsen Wir, Dass \(\displaystyle p\left(2\right) = 24 \ne 0\).

DAHER SCHLIEßen Wir, Dass \(\displaystyle x - 2\) kein faktor von \(p(x)\) Ist.

Mehrynomtrechner

Die Bebeeutung von Polynomen Kann Nicht überbewertet Werden, da sie Eines der Wichttigsten Objekte in der Algebra Sind. Polynomberechnungen Sind Wirklich Wichttig in Mathematik und in Viielen Anwendungen in Jenseits der Mathematik.

Polynom FORDERN Das Hauptproblem bei Lösung von Polynomgleungen auf, die Zu der Wichttigsten in Algebra Gehören, obwohl es nicht unbethtel leichtt lichtung zu

Wurzeln zu Funde Beinhaltet Die Verwendung der Verendung der Rational Zero Theorem Einfache Lösungen Zu Funde, Verwenden Sieie Polynomabelung Um Die GLEICHUNG auf Einen von Niedrigerem Absolvent des Durchkanns Verwendung Zu Reduzieren Lange Division Oder Synthetische Abteilung und um zu Zu spülen und Zu -Wiederholen, bis wir alle Wurzeln fande.