Faktor nach Gruppierung
Faktor durch Gruppierung ist eine hervorragende Möglichkeit, einen Ausdruck zu faktorisieren, ohne dass eine Polynomgleichung gelöst werden muss, die schwer zu lösen sein könnte.
Das einzige Problem beim Faktorisieren durch Gruppieren besteht darin, dass es kein einziges Rezept oder keine Strategie gibt, mit der Sie die richtige Gruppierung erhalten, die benötigt wird. Oder noch schlimmer, es gibt möglicherweise keinen klaren Weg zur Gruppierung, um eine Faktorisierung durchzuführen.
In diesem Tutorial konzentrieren wir uns auf die Sonderfälle, in denen die Gruppierung dazu beiträgt, einen algebraischen Ausdruck zu faktorisieren, obwohl dies in Wahrheit nicht immer möglich ist. Eine allgemeinere Behandlung finden Sie in diesem Tutorial unter wie man faktorisiert .
Die für das Factoring nach Gruppierung erforderlichen Bedingungen
So funktioniert Factoring durch Gruppierung:
Wir müssen nach bestimmten Hinweisen suchen, um diese Art von Factoring zu verwenden. Für den Anfang erwarten wir einen algebraischen Ausdruck mit einer geraden Anzahl von Begriffen, die größer als 2 ist (also 4, 6 usw.), und versuchen dann, zu gruppieren.
Wie gesagt, es gibt keine festen Regeln, und Sie müssen sie nach Gehör spielen, indem Sie diese beiden Schritte befolgen.
Schritt 1:
Gruppieren Sie die erste und zweite Amtszeit, die dritte und vierte Amtszeit usw.
Schritt 2:
Versuchen Sie nun, alle Paare zu faktorisieren, die Sie in Schritt 1 gruppiert haben. Beachten Sie, dass es mehrere Möglichkeiten zum Faktorisieren geben kann.
Schritt 3:
Überprüfen Sie, ob die in Schritt 2 erhaltenen Faktoren alle gleich sind. In diesem Fall können Sie sie berücksichtigen.
Schritt 4:
Wenn die vorherigen Schritte nicht funktionieren, versuchen Sie den Trick "Null hinzufügen": Manchmal funktionieren die Dinge, wenn Sie etwas hinzufügen, und Sie subtrahieren es auch vom Ausdruck.
Durch Addieren und Subtrahieren desselben Begriffs entspricht der Nettoeffekt dem Addieren (dh der Ausdruck bleibt unverändert).
BEISPIEL 1
Faktor unter Verwendung der Methode des Faktors durch Gruppieren des folgenden Polynoms
\[6x^3 + 3x^2 - 4x -2\]ANTWORTEN:
Wir müssen die oben definierten Schritte verwenden. Beachten Sie, dass diese Schritte nicht in Stein gemeißelt sind, aber eine nützliche Anleitung für Sie sind:
Schritt 1: Wir gruppieren die erste und zweite Amtszeit sowie die dritte und vierte Amtszeit, damit wir bekommen
\[6x^3 + 3x^2 - 4x -2 = (6x^3 + 3x^2) - (4x + 2)\]
Schritt 2: Der Begriff \(6x^3 + 3x^2\) wird als \(6x^3 + 3x^2 = 3x^2(2x+1)\) und der Begriff \(4x + 2\) als \(4x + 2 = 2(2x+1)\) berücksichtigt, sodass wir Folgendes erhalten:
\[6x^3 + 3x^2 - 4x -2 = (6x^3 + 3x^2) - (4x + 2) = 3x^2(2x+1) - 2(2x+1) \]
Schritt 3: Jetzt können wir sehen, wie die beiden von uns berücksichtigten Gruppen einen gemeinsamen Faktor haben, nämlich \(2x+1\), der durch die Verteilungseigenschaft herausgerechnet werden kann. Daher wird folgendes erhalten:
\[6x^3 + 3x^2 - 4x -2 = (3x^2-2)(2x+1)\]
Damit ist der Factoring-Prozess abgeschlossen.
BEISPIEL 2
Lösen Sie die folgende Gleichung: \(x^3 -6x^2 + 11x - 6 = 0\):
ANTWORTEN:
Da wir nicht wirklich wissen (obwohl es möglich ist), wie wir die Lösung dieser kubischen Gleichung finden können, müssen wir die Schritte zum Finden des Factorings erneut verwenden, indem wir \(x^3 -6x^2 + 11x - 6 \) gruppieren, wenn möglich:
Schritt 1: Wir gruppieren die erste und zweite Amtszeit sowie die dritte und vierte Amtszeit, damit wir bekommen
\[x^3 -6x^2 + 11x - 6 = (x^3 -6x^2) + (11x - 6) \]
Schritt 2: Der Begriff \(x^3 -6x^2\) wird als \(x^3 -6x^2 = x^2(x-6)\) und der Begriff \(11x - 6\) als \(11x - 6= 11(x - 6/11)\) berücksichtigt, sodass wir Folgendes erhalten:
\[x^3 -6x^2 + 11x - 6 = (x^3 -6x^2) + (11x - 6) = x^2(x-6) + 11(x - 6/11) \]
Schritt 3: In diesem Fall gibt es keinen gemeinsamen Faktor, sodass die Methode bis zu diesem Punkt nicht funktioniert hat.
Schritt 4: Wir fügen \(0 = 2x - 2x\) und \(0 = 3x^2 - 3x^2\) hinzu, was den Ausdruck nicht beeinflusst (wir fügen Nullen hinzu), also erhalten wir:
\[ x^3 -6x^2 + 11x - 6 = x^3 -6x^2 + 11x - 6 + 2x - 2x + 3x^2 - 3x^2\] \[ = x^3 - 3x^2 -3x^2 + 9x +2x- 6 \] \[= (x^3 - 3x^2) -(3x^2 - 9x) +(2x- 6) \] \[= x^2(x - 3) -3x(x-3) +2(x- 3) \]
und jetzt haben wir den gemeinsamen Faktor \(x-3\), den wir gesucht haben. Schließlich erhalten wir \(x-3\) heraus
\[\Large x^3 -6x^2 + 11x - 6 = (x^2-3x +2)(x- 3)\]Um also die ursprüngliche Gleichung zu lösen, können wir auch \((x^2-3x +2)(x- 3) = 0\) lösen, was bedeutet, dass \(x^2-3x +2 = 0\) oder \(x - 3\) = 0 ist.
Aus der zweiten Gleichung ergibt sich die eine Lösung: \(x = 3\). Aus der ersten Gleichung müssen wir lösen:
\[ x^2-3x +2 = 0 \Rightarrow x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] \[ \Rightarrow x = \frac{3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(2)}}{2(1)}\] \[ \Rightarrow x = \frac{3 \pm \sqrt{9-8}}{2}\] \[ \Rightarrow x = \frac{3 \pm 1}{2}\]was bedeutet, dass die anderen Lösungen \(x = (3-1)/2 = 1\) und \(x = (3+1)/2 = 2\) sind.
Warum Factoring durch Gruppierung?
Erinnern wir uns, dass Factoring immer eine gute Sache ist, um eine Gleichung zu lösen, denn wenn eine Multiplikation mehrerer Faktoren gleich Null ist, werden die Lösungen der Gleichung gefunden, indem jeder Faktor gleich Null gesetzt wird.
Angenommen, Sie möchten die Gleichung \(x^3 + x^2 + 2x + 2 = 0\) lösen. Ich wette, Sie wären ahnungslos, wenn Sie es mit algebraischen Mitteln lösen müssten.
Warum? Weil dies eine kubische Gleichung ist und das Lösen einer kubischen Gleichung schwierig ist. Es gibt eine Formel, aber es ist keine einfache. Welche Alternativen haben wir?
Wenn möglich, können wir dies durch Gruppierung berücksichtigen. Wir werden sehen, dass es in diesem Fall tatsächlich möglich ist. Wir werden die oben beschriebenen Schritte ausführen:
Schritt 1: Die Gruppierung des ersten und zweiten Terms sowie des dritten und vierten Terms führt zu:
\[(x^3 + x^2) + (2x + 2) = 0\]
Schritt 2: Der Begriff \(x^3 + x^2\) wird als \(x^3 + x^2 = x^2(x+1)\) und der Begriff \(2x + 2\) als \(2x + 2 = 2(x+1)\) berücksichtigt, sodass wir Folgendes erhalten:
\[x^2(x + 1) + 2(x + 1) = 0\]
Schritt 3: Jetzt sehen wir, dass die beiden von uns berücksichtigten Gruppen einen gemeinsamen Faktor haben, nämlich \(x+1\), der durch die Verteilungseigenschaft herausgerechnet werden kann. Wir erhalten also:
\[(x^2+2)(x + 1)= 0\]
Wir haben daher festgestellt, dass der ursprüngliche kubische Ausdruck wie folgt berücksichtigt wurde:
\[x^3 + x^2 + 2x + 2 = (x^2+2)(x + 1) = 0\]Auf diese Weise können wir die Gleichung leicht lösen, indem wir \(x^2 + 2 = 0\) oder \(x + 1 = 0\) setzen. Da \(x^2\) immer nicht negativ ist, erhalten wir \(x^2 + 2 \ge 2\) und es kann niemals Null sein (zumindest für \(x\) real).
Daher ist die einzige Lösung \(x = -1\).
Das war also kostenlos, unter Verwendung von Faktor durch Gruppierung. Andernfalls hätten wir eine umständliche kubische Wurzelformel verwenden müssen, oder Sie hätten die Methode des "Erraten der Wurzeln" verwendet, was ehrlich gesagt nicht wirklich eine Methode ist.