Math Cracks - Was ist eigentlich ein Derivat?
Es schien mir wichtig, das Konzept der Ableitung einer Funktion zu überdenken. Der Differenzierungsprozess (dh die Berechnung von Ableitungen) ist eine der grundlegendsten Operationen in der Analysis und sogar in der Mathematik. In diesem Tutorial zu Math Crack werde ich versuchen, etwas Licht in die Bedeutung und Interpretation dessen zu bringen, was ein Derivat ist und tut.
Um den Umfang dieses Tutorials zu verdeutlichen, möchte ich zunächst sagen, dass wir nicht mit der Lösung spezifischer Übungsprobleme mit Derivaten üben, sondern vielmehr versuchen werden, zu verstehen, was wir wann tun Betrieb mit Derivaten. Sobald wir verstehen, was wir tun, haben wir eine WAYYY bessere Chance, Probleme zu lösen.
DEFINITION EINES DERIVATIVS (NICHT DES BORING)
Zu Beginn muss mindestens die Definition eines Derivats geschrieben werden. Angenommen, \(f\) ist eine Funktion und \({{x}_{0}}\in dom\left( f \right) \). Ok, wir haben schon mit technischen Details angefangen? Wir sagen nur, dass \(f\) eine Funktion ist. Stellen Sie sich eine Funktion \(f\) anhand der unten gezeigten grafischen Darstellung vor:
Wenn wir "\({{x}_{0}}\in dom\left( f \right) \)" sagen, sagen wir nur, dass \({{x}_{0}}\) ein Punkt ist, an dem die Funktion gut definiert ist (also zu ihrer gehört) Domain ). Aber halten Sie es, ist es möglich, dass ein Punkt \({{x}_{0}}\) eine Funktion NICHT genau definiert macht? Bestimmt! Betrachten Sie die folgende Funktion:
\[f\left( x \right)=\frac{1}{x-1}\]
Eine solche Funktion ist bei \({{x}_{0}}=1\) NICHT gut definiert. Was ist bei \({{x}_{0}}=1\) nicht gut definiert? Denn wenn wir den Wert von \({{x}_{0}}=1\) in die Funktion einfügen, erhalten wir
\[f\left( 1 \right)=\frac{1}{1-1}=\frac{1}{0}\]
Dies ist eine UNGÜLTIGE Operation (wie Sie aus der Grundschule wissen, können Sie zumindest mit den traditionellen arithmetischen Regeln nicht durch Null teilen), daher ist die Funktion bei \({{x}_{0}}=1\) nicht gut definiert. Wenn eine Funktion an einem Punkt gut definiert ist, bedeutet dies einfach, dass die Funktion an diesem Punkt ausgewertet werden kann, ohne dass ungültige Operationen vorliegen.
Jetzt können wir es noch einmal sagen, denn jetzt wissen Sie, was wir meinen: Angenommen, \(f\) ist eine Funktion und \({{x}_{0}}\in dom\left( f \right) \). Die Ableitung am Punkt \({{x}_{0}}\) ist definiert als
\[f'\left( {{x}_{0}} \right)=\lim_{x \to {x_0}}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}\]
wenn eine solche Grenze besteht.
Ok, das ist das Fleisch des Problems, und wir werden es gleich diskutieren. Ich möchte, dass Sie hier einige Dinge EXTREM klar haben:
• Wenn das oben genannte Limit existiert, rufen wir if \(f'\left( {{x}_{0}} \right) \) auf und es wird als "Ableitung der Funktion \(f\left( x \right) \) am Punkt \({{x}_{0}}\)" bezeichnet. \(f'\left( {{x}_{0}} \right) \) ist also einfach ein Symbol, mit dem wir auf die Ableitung der Funktion \(f\left( x \right) \) am Punkt \({{x}_{0}}\) (wenn vorhanden) verweisen. Wir hätten jedes andere Symbol verwenden können, z. B. "\(deriv{{\left( f \right)}_{{{x}_{0}}}}\)" oder "\(derivative\_f\_{{x}_{0}}\)". Aus ästhetischen Gründen bevorzugen wir jedoch „\(f'\left( {{x}_{0}} \right) \)“.
Der Punkt ist, dass es sich um ein MADE UP-Symbol handelt, um auf die Ableitung der Funktion \(f\left( x \right) \) am Punkt \({{x}_{0}}\) zu verweisen. Das Lustige in Mathe ist, dass Notation wichtig ist. Obwohl ein Konzept unabhängig von der zum Ausdrücken verwendeten Notation existiert, kann eine logische, flexible, kompakte Notation dazu führen, dass Dinge in Brand geraten, im Gegensatz zu dem, was mit einer umständlichen, nicht inspirierten Notation passieren kann
Die Rolle der Notation
(Historisch gesehen verwendeten die beiden gleichzeitigen Entwickler einer verwendbaren Version des Derivatkonzepts, Leibniz und Newton, radikal unterschiedliche Notationen. Newton verwendete \(\dot{y}\), während Leibniz \(\frac{dy}{dx}\) verwendete. Die Leibniz-Notation brannte und erleichterte die vollständige Entwicklung von Calculus, während Newtons Notation verursachte mehr als einen Kopfschmerz. Wirklich, es war so wichtig).
• Die Ableitung ist eine POINTWISE-Operation. Dies bedeutet, dass es sich um eine Operation handelt, die an einem bestimmten Punkt an einer Funktion ausgeführt wird, und dass sie Punkt für Punkt überprüft werden muss. Natürlich gibt es in einer typischen Domäne wie der realen Linie \(\mathbb{R}\) unendlich viele Punkte. Daher kann es eine Weile dauern, bis von Hand überprüft wird, ob an jedem Punkt eine Ableitung definiert ist. ABER es gibt einige Regeln, die es ermöglichen, die Arbeit erheblich zu vereinfachen, indem die Ableitung an einem generischen Punkt \({{x}_{0}}\) berechnet und dann analysiert wird, für welche Werte von \({{x}_{0}}\) die Grenze liegt, die die Ableitung definiert. Sie können sich also entspannen, denn die schwierige Handarbeit ist nicht zu anstrengend, wenn Sie wissen, was Sie natürlich tun.
• Wenn die Ableitung einer Funktion \(f\) an einem Punkt \({{x}_{0}}\) existiert, sagen wir, dass die Funktion bei \({{x}_{0}}\) differenzierbar ist. Wir können auch sagen, dass eine Funktion in einer REGION differenzierbar ist (eine Region ist eine Menge von Punkten), wenn die Funktion an JEDEM Punkt dieser Region differenzierbar ist. Obwohl das Konzept der Ableitung ein punktweises Konzept ist (definiert an einem bestimmten Punkt), kann es als globales Konzept verstanden werden, wenn es für jeden Punkt in einer Region definiert wird.
• Wenn wir \(D\) die Menge aller Punkte in der realen Linie definieren, an denen die Ableitung einer Funktion definiert ist, können wir die Ableitungsfunktion \(f'\) wie folgt definieren:
\[\begin{aligned} & f':D\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R} \\ & x\mapsto f'\left( x \right) \\ \end{aligned}\]Dies ist eine Funktion, da wir jedes \(x\) auf \(D\) eindeutig mit dem Wert \(f'\left( x \right) \) verknüpfen. Dies bedeutet, dass jeder Wert von \(x\) auf \(D\) dem Wert \(f'\left( x \right) \) zugeordnet ist. Die Menge aller Paare \(\left( x,f'\left( x \right) \right) \) für \(x\in D\) bildet eine Funktion, und Sie können alles tun, was Sie mit Funktionen tun können, z. B. grafisch darstellen.
Das sollte die Frage klären, die viele Schüler über Ableitungen haben, da sie sich fragen, wie wir eine abgeleitete „Funktion“ haben, wenn die Ableitung etwas ist, das an einem bestimmten Punkt berechnet wird. Nun, die Antwort ist, dass wir die Ableitung an vielen Punkten berechnen, was die Grundlage für die Definition der Ableitung als Funktion bildet.
Letzte Worte: Notation Hölle
Als das Konzept der Ableitung in die moderne Form gebracht wurde, die wir von Newton und Leibniz kennen (ich betone den Begriff „moderne Form“, da Calculus von den Griechen und anderen auf intuitivere und weniger formale Weise fast vollständig entwickelt wurde a Vor langer Zeit) wählten sie radikal andere Notationen. Newton wählte \(\overset{\bullet }{\mathop{y}}\,\), während Leibniz \(\frac{dy}{dx}\) wählte. So weit, ist es gut. Das Konzept der Ableitung bedeutet jedoch viel weniger, wenn wir keine leistungsfähigen Ableitungssätze haben.
Mit ihren jeweiligen Notationen hatten beide wenig Probleme, grundlegende Differenzierungssätze wie Linearität und Produktregel zu beweisen, aber Newton sah keine Notwendigkeit, die Kettenregel formal zu formulieren, möglicherweise weil sich seine Notation dafür nicht bot Während sich für die Leibniz-Notation die Kettenregel fast wie eine „Duh“ -Regel zeigt. Um genauer zu sein, nehmen wir an, dass \(y=y\left( x \right) \) eine Funktion und \(u=u\left( x \right) \) eine andere Funktion ist.
Es ist eine natürliche Frage, ob ich die Ableitung der Zusammensetzung \(y\left( u\left( x \right) \right) \) auf einfache Weise berechnen kann, basierend auf den Ableitungen von \(y\) und \(u\). Die Antwort auf diese Frage ist die Kettenregel. In der Leibniz-Notation gilt die Regel
\[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}\]
Es ist fast so, als könnten Sie das \(du\) wie folgt abbrechen:
\[\require{cancel}\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{\cancel{du}}\frac{\cancel{du}}{dx}\]aber genau so ist es nicht. Aber das ist das Schöne an der Leibniz-Notation. Es hat eine stark intuitive Anziehungskraft (und die "Stornierung" von \(du\) ist fast Realität, es wird nur auf der Ebene von \(\Delta u\) durchgeführt und es gibt Grenzen), aber dennoch müssen Sie verstehen, was Leibniz mit dem gesagt hat Regel. Er sagt:
"Die Ableitung der zusammengesetzten Funktion \(y\left( u\left( x \right) \right) \) ist dieselbe wie die Ableitung von \(y\) am Punkt \(u\left( x \right) \) multipliziert mit der Ableitung von \(u\) am Punkt \(x\)"
Die Kettenregel mit Newtons Notation erhält die folgende Form:
\[\overset{\bullet }{\mathop{\left( f\circ u \right)}}\,=\overset{\bullet }{\mathop{f}}\,\left( u\left( x \right) \right)\overset{\bullet }{\mathop{u}}\,\left( x \right)\]
Ein bisschen weniger hübsch, oder? Aber raten Sie mal, Newtons Kettenregel sagt genau das Gleiche wie
\[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}\]
Diese letztere Notation geriet jedoch in Brand und trug enorm zur schnellen Entwicklung des modernen Kalküls bei, während Newtons Form weitaus weniger beliebt war. Obwohl die Sätze genau dasselbe sagten, war einer golden und der andere nicht so sehr. Warum? NOTATION mein Freund.