Verwendung dieses Kovarianzrechners

Die Verwendung dieses Rechners ist einfach: Sie müssen die Beispieldaten für die Variablen \(X\) und \(Y\) eingeben und auf die Schaltfläche "Berechnen" klicken. Der Rechner zeigt Ihnen alle Schritte an, die zur Berechnung des Kovarianzkoeffizienten erforderlich sind.

Wie berechnet man die Beispielkovarianz?

Zunächst benötigen wir zwei Stichproben derselben Größe: \(X_1, X_2, ...., X_n\) und \(Y_1, Y_2, ...., Y_n\). Anhand dieser Informationen zu den Beispielen verwenden Sie dann die folgende Formel:

\[ cov(X, Y) = \displaystyle \frac{1}{n-1}\left(\sum_{i=1}^n X_i Y_i - \left( \sum_{i=1}^n X_i \right) \times \left( \sum_{i=1}^n Y_i \right) \right) \]

Normalerweise wird dies berechnet, indem eine Tabelle mit den Werten \(X_i\) und \(Y_i\) erstellt wird, aber auch mit den Produkten \(X_i Y_i\) in einer Spalte:

Alternative Formeln zur Berechnung der Stichproben-Kovarianz

Oft sehen Sie eine andere Formel für die Stichproben-Kovarianz:

\[ cov(X, Y) = \displaystyle \frac{1}{n-1}\left(\sum_{i=1}^n (X_i - \bar X)(Y_i - \bar Y) \right)\]

Diese Formel ist absolut äquivalent zu den vorherigen und es ist Geschmackssache, ob Sie diese oder die andere verwenden.

Einige Leute denken, dass die letztere Formel besser ist, weil sie die Kovarianz als dieses Produkt von Abweichungen vom Mittelwert zeigt. Andere Leute halten letztere jedoch für ineffizient, da sie gezwungen sind, die Stichprobenmittel zu berechnen, die bei ersteren nicht erforderlich sind.

Sind Kovarianz und Korrelation in irgendeiner Weise miteinander verbunden?

Ja, sind Sie. Sowohl die Kovarianz als auch die Korrelationskoeffizient Messen Sie den Grad der linearen Assoziation zwischen zwei Variablen.

Der Hauptunterschied besteht darin, dass die Korrelation die Assoziation relativ zu den Standardabweichungen misst, wodurch der Korrelationskoeffizient zwischen -1 und 1 liegt, was ein VIEL interpretierbareres Assoziationsmaß als die Kovarianz selbst macht

Dennoch hat der Kovarianzkoeffizient, auch wenn er weniger interpretierbar ist, seine Verwendung im Finanzbereich, insbesondere bei der Berechnung des Beta für ein Unternehmen.

Kovarianzrechner kontinuierlicher Fall

Beachten Sie, dass der obige Fall der Beispielkorrelation entspricht. Wenn Sie die Verteilung der X- und Y-Variablen sowie deren gemeinsame Verteilung kennen, können Sie die genaue Kovarianz mithilfe des folgenden Ausdrucks berechnen:

\[cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)\]