Logarithmischer funktionsrechner aus zwei punkten

Der Hauptzweck dieses Taschenrechners besteht darin, die Parameter zu schätzen \(A_0\) und \(k\) für die logarithmische Funktion \(f(t)\), die definiert ist:

\[f(t) = A_0 \ln(k t)\]

Die Parameter müssen so sein, dass die logarithmische Funktion die beiden angegebenen Punkte durchgeht \((t_1, y_1)\) und \((t_2, y_2)\).

Wie schätzen sie eine logarithmische funktion aus zwei punkten?

Algebraisch gesehen müssen Sie das folgende Gleichungssystem lösen, um die Parameter zu finden \(A_0\) und \(k\):

\[y_1 = A_0 \ln(k t_1)\] \[y_2 = A_0 \ln(k t_2)\]

Durch die Lösung dieses Systems für die Unbekannten \(A_0\) und \(k\) finden wir einzigartige Lösungen, solange \(t_1 \ne t_2\).

In der Tat durch Subtrahieren beider Seiten der Gleichungen:

\[\displaystyle y_1 - y_2 = A_0 \left( \ln(k t_1) - \ln(k t_2) \right)\] \[\displaystyle \Rightarrow \, y_1 - y_2 = A_0 \ln \left(\displaystyle\frac{k t_1}{k t_2}\right) \] \[\displaystyle \Rightarrow \, y_1 - y_2 = A_0 \ln \left(\displaystyle\frac{t_1}{t_2}\right) \] \[ \Rightarrow \, A_0 = \displaystyle \frac{y_1 - y_2}{\ln(t_1) - \ln(t_2)} \]

Dies löst die Gleichungen für \(A_0\).Um nun für \(k\) zu lösen, verwenden wir die erste Gleichung und wenden exponentiell auf beide Seiten an ::

\[y_1 = A_0 \ln(k t_1)\] \[ \Rightarrow \, \displaystyle e^{\frac{y_1}{A_0}} = k t_1 \] \[ \Rightarrow \, k = \displaystyle \frac{e^{\frac{y_1}{A_0}}}{t_1} \]

Und dort haben wir \(k\) als Funktion von \(A_0\) gefunden, das bereits bestimmt und bekannt ist.

Wie berechnen sie eine exponentielle funktion?

Wenn Sie anstelle einer logarithmischen Funktion an exponentiellem Verhalten interessiert sind, sollten Sie dies wahrscheinlich verwenden Exponentialfunktion -Wiederaufnahme , was der gleichen Logik der Schätzung von Parametern folgt, um die Funktion durchzusetzen, die durch zwei gegebene Punkte verläuft.