Exponential Function Graph Maker

Mit diesem Grafikwerkzeug können Sie eine Exponentialfunktion grafisch darstellen oder das Diagramm zweier Exponentialfunktionen vergleichen. Diese Exponentialfunktionen haben die Form:

\[f(t) = A_0 e^{kt}\]

Um das Diagramm zu erhalten, müssen Sie nur die Parameter \(A_0\) und \(k\) für eine oder zwei Funktionen angeben (je nachdem, ob Sie eine Funktion grafisch darstellen oder zwei Funktionen vergleichen möchten).

Aber wie findet man eine Exponentialfunktion aus Punkten?

Technisch gesehen müssen Sie das folgende Gleichungssystem lösen, um die Parameter zu finden:

\[y_1 = A_0 e^{k t_1}\] \[y_2 = A_0 e^{k t_2}\]

Das Lösen dieses Systems für \(A_0\) und \(k\) führt zu einer eindeutigen Lösung, vorausgesetzt, \(t_1 = \not t_2\).

In der Tat, indem beide Seiten der Gleichungen geteilt werden:

\[\displaystyle \frac{y_1}{y_2} = \frac{e^{k t_1}}{e^{k t_2}}\] \[\displaystyle \Rightarrow \, \frac{y_1}{y_2} = e^{k (t_1-t_2)}\] \[\displaystyle \Rightarrow \, \ln\left(\frac{y_1}{y_2}\right) = k (t_1-t_2)\] \[\displaystyle \Rightarrow \, k = \frac{1}{t_1-t_2} \ln\left(\frac{y_1}{y_2}\right)\]

Um nach \(A_0\) zu lösen, stellen wir aus der ersten Gleichung fest, dass:

\[A_0 = y_1 e^{-k t_1} = y_1 \frac{y_2}{y_1 e^{k t_2}} =\frac{y_2}{e^{k t_2}} \]

Wie man eine Exponentialfunktion grafisch darstellt

Eine Exponentialfunktion der oben angegebenen Form hat eine charakteristische Exponentialform, und ihre allgemeine Form hängt davon ab, ob die Rate \(r\) positiv oder negativ ist.

Für eine positive Rate \(r\) haben wir exponentielles Wachstum und für eine negative Rate \(r\) werden wir haben exponentiellen Abfall .

Was sind die Hauptmerkmale von Exponentialgraphen?

Sie haben sehr spezifische Formen, da sie sehr schnell wachsen oder zerfallen (abhängig vom Vorzeichen von \(r\)). In diesem Fall gibt es nicht so viele Arten von Diagrammen. Nur schneller (exponentieller) Zerfall oder schnelles (exponentielles) Wachstum.