Algebra Löser

Quadratischer formelrechner

Anweisungen: Dieser quadratische Formelrechner löst eine quadratische Gleichung für Sie, die alle Schritte zeigt.Geben Sie die Koeffizienten der quadratischen Gleichung ein, und der Löser gibt Ihnen die Wurzeln, den y-Schnitt, die Koordinaten des Scheitelpunkts, die alle Arbeiten zeigen und die Funktion zeichnen.

\large a x^2 + b x + c = 0

Die quadratische formel: wie kann man eine quadratische gleichung lösen?

Die quadratische Gleichung ist eine der beliebtesten und am weitesten verbreiteten Gleichungen in der Mathematik. Laut Definition ist die quadratische Gleichung eine Gleichung der Form:

a x^2 + b x + c = 0

wobei $a$ , $b$ und $c$ Konstanten sind, mit $a \ne 0$ . So funktioniert ein Quadratische Gleichung definiert, wobei sein führender Term $a$ ungleich Null sein muss.

Die gute Nachricht ist, dass die obige Gleichung wirklich nicht allzu schwer zu lösen ist. Das ist großartig, wenn man bedenkt, dass die quadratische Gleichung buchstäblich überall in der Algebra, der Differenzialrechnung und so ziemlich überall in Mathematik- und Naturwissenschaftsthemen vorkommt.

Die lösung der quadratischen gleichung

Nun stellt sich die Frage, wie man diese oben formulierte quadratische Gleichung lösen kann. Glücklicherweise ist die Antwort einfach und bekannt: Die quadratische Gleichung erhält ihre Lösungen mithilfe der folgenden quadratische Formel

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Die mit dieser Gleichung erhaltenen Werte heißen Wurzeln der quadratischen Gleichung (auch als Lösungen der Gleichung bekannt).Um die Art der Lösung zu analysieren, wird die Diskriminanz definiert als:

D = b^2 - 4ac

Arten von lösungen für die quadratische formel

Anhand des Wertes der Diskriminante wird die Art der Lösungen definiert. Wenn $D \ge 0$ , dann gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen, wenn $D = 0$ , dann gibt es eine wiederholte reelle Lösung, und wenn $D \le 0$ , dann gibt es zwei verschiedene imaginäre Lösungen. Diese Quadratischer Gleichungslöser hilft Ihnen, diese Berechnungen automatisch durchzuführen.

Dies kann wie folgt zusammengefasst werden:

Für $b^2 - 4ac > 0$ : Die Gleichung hat zwei reelle Wurzeln
Für $b^2 - 4ac = 0$ : Die Gleichung hat eine (wiederholte) reelle Wurzel
Für $b^2 - 4ac < 0$ : Die Gleichung hat zwei komplexe Wurzeln

Eines der ordentlichen Dinge dieses quadratischen Gleichungslösers ist, dass es die Schritte zur Berechnung des Y-Schnittpunktes, die Koordinaten des Scheitelpunkts und die quadratische Funktion zeigt

Quadratische formel schritte

Es gibt mehrere Schritte, die Sie befolgen müssen, um eine quadratische Gleichung erfolgreich zu lösen:

Schritt 1: Identifizieren Sie die Koeffizienten. Untersuchen Sie die gegebene Gleichung der Form $ax^2+bx+c$ und bestimmen Sie die Koeffizienten $a$ , $b$ und $c$ . Der Koeffizient $a$ ist der Koeffizient, der beim Multiplizieren des quadratischen Terms $x^2$ auftritt.

Der Koeffizient $b$ ist der Koeffizient, der beim Multiplizieren des linearen Terms $x$ auftritt, und der Koeffizient $c$ ist die Konstante.

Beispiel: Angenommen, Sie haben den folgenden Ausdruck: $x^2+3x+1$ . Wie lauten die Koeffizienten? In diesem Fall $a = 1$ (der Koeffizient, der den quadratischen Term $x^2$ multipliziert), $b = 3$ (der Koeffizient, der den linearen Term $x$ multipliziert), und $c = 1$ (die Konstante).

Beispiel: Wie wäre es mit Angenommen, Sie haben den folgenden Ausdruck: $\frac{5}{4} + \frac{3}{4} x + \frac{1}{2} x^2$ . Wie lauten nun die Koeffizienten? In diesem Fall $a = \frac{1}{2}$ (der Koeffizient, der den quadratischen Term $x^2$ multipliziert), $b = \frac{3}{4}$ (der Koeffizient, der den linearen Term $x$ multipliziert), und $c = \frac{5}{4}$ (die Konstante).

Beispiel: Was passiert mit dem folgenden Ausdruck: $-3 + \frac{1}{2} x$ . In diesem Fall haben wir $a = 0$ , denn der Ausdruck enthält keinen quadratischen Term $x^2$ , so dass es sich in diesem Fall nicht um einen quadratischen Ausdruck handelt.

Schritt 2: Schließen Sie die in der Formel gefundenen Koeffizienten an. Die Formel ist die quadratische Formel ist

x = \displaystyle\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

sie müssen also den Wert der Koeffizienten $a$ , $b$ und $c$ ersetzen.

Beispiel: Wenn Sie die Gleichung haben: $-3x^2 + 2x-1 = 0$ , finden Sie, dass $a = -3$ , $b = 2$ und $c = -1$ . Wenn man diese Werte in die Formel einsetzt, erhält man:

x = \displaystyle\frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(-3)(-1)}}{2(-3)}

Schritt 3: Vereinfachen Sie die Werte in der Gleichung, sobald Sie die Werte von $a$ , $b$ und $c$ eingesetzt haben .Im vorherigen Beispiel hätten wir

x = \displaystyle\frac{-2 \pm \sqrt{4 - 12}}{-6} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{-6}

Schritt 4: Schauen Sie in die Quadratwurzel. Wenn der Wert positiv ist, dann der Quadratische Gleichung Hat zwei echte Wurzeln.Wenn der Wert 0 ist, gibt es eine reale Wurzel, und wenn der Wert innerhalb der Quadratwurzel negativ ist, gibt es zwei komplexe Wurzeln.Im vorherigen Beispiel haben wir eine -8 innerhalb der Quadratwurzel, daher haben wir zwei komplexe Lösungen, wie unten gezeigt:

x = \displaystyle\frac{-2 \pm \sqrt{4 - 12}}{-6} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{-6}= \frac{-2 \pm i \sqrt{8}}{-6}

Wofür ist die quadratische formel verwendet?

Das quadratische Formel ist eine der allgegenwärtigsten Formel in der Mathematik.Es erscheint, wenn Sie alle möglichen geometrischen Probleme lösen, z.

Viele Leute fragen sich, ob es eine Beziehung zwischen dieser quadratischen Gleichungsformel und der Methode von gibt Das Quadrat vervollständigen .Die Antwort ist einfach: Sie kommen die quadratische Formel von Lösung der quadratischen Gleichung durch Abschluss des Quadrats.Es ist genau die gleiche Idee, die der quadratischen Formel, die wir alle kennen.

Beachten Sie, dass die Lösungen der quadratischen Gleichung eine sehr interessante geometrische Eigenschaft haben: Wenn Sie den Durchschnitt der gefundenen Lösungen berechnen, erhalten Sie die x-Koordinate des Scheitelpunkts der Parabel, die Ihnen hilft, die Scheitelpunktform einer Parabel, auch als Standardform bekannt, die in vielen Anwendungen verwendet wird, z. B. bei Kegelschnitten.