Exponentialfunktionsrechner aus zwei Punkten

Die Idee dieses Rechners ist es, die Parameter \(A_0\) und \(k\) für die Funktion \(f(t)\) zu schätzen, die definiert ist als:

\[f(t) = A_0 e^{kt}\]

damit diese Funktion die angegebenen Punkte \((t_1, y_1)\) und \((t_2, y_2)\) durchläuft.

Aber wie findet man eine Exponentialfunktion aus Punkten?

Technisch gesehen müssen Sie das folgende Gleichungssystem lösen, um die Parameter zu finden:

\[y_1 = A_0 e^{k t_1}\] \[y_2 = A_0 e^{k t_2}\]

Das Lösen dieses Systems für \(A_0\) und \(k\) führt zu einer eindeutigen Lösung, vorausgesetzt, \(t_1 = \not t_2\).

In der Tat, indem beide Seiten der Gleichungen geteilt werden:

\[\displaystyle \frac{y_1}{y_2} = \frac{e^{k t_1}}{e^{k t_2}}\] \[\displaystyle \Rightarrow \, \frac{y_1}{y_2} = e^{k (t_1-t_2)}\] \[\displaystyle \Rightarrow \, \ln\left(\frac{y_1}{y_2}\right) = k (t_1-t_2)\] \[\displaystyle \Rightarrow \, k = \frac{1}{t_1-t_2} \ln\left(\frac{y_1}{y_2}\right)\]

Um nach \(A_0\) zu lösen, stellen wir aus der ersten Gleichung fest, dass:

\[A_0 = y_1 e^{-k t_1} = y_1 \frac{y_2}{y_1 e^{k t_2}} =\frac{y_2}{e^{k t_2}} \]

Wie berechnet man das exponentielle Wachstum?

Es ist nicht immer Wachstum. Wenn der Parameter \(k\) positiv ist, haben wir zwar ein exponentielles Wachstum, aber wenn der Parameter \(k\) negativ ist, haben wir einen exponentiellen Abfall.

Der Parameter \(k\) ist nur dann Null, wenn \(y_1 = y_2\) (die beiden Punkte haben dieselbe Höhe).

Für bestimmte exponentielle Verhaltensweisen können Sie unsere überprüfen Exponentielle Bewegungenumsrechner und das Exponentialzerfall-Rechner , die bestimmte Parameter für diese Art von exponentiellem Verhalten verwenden.