Exponentialfunktionsrechner aus zwei Punkten

Die Idee dieses Rechners ist es, die Parameter $A_0$ und $k$ für die Funktion $f(t)$ zu schätzen, die definiert ist als:

$$f(t) = A_0 e^{kt}$$

damit diese Funktion die angegebenen Punkte $(t_1, y_1)$ und $(t_2, y_2)$ durchläuft.

Aber wie findet man eine Exponentialfunktion aus Punkten?

Technisch gesehen müssen Sie das folgende Gleichungssystem lösen, um die Parameter zu finden:

$$y_1 = A_0 e^{k t_1}$$ $$y_2 = A_0 e^{k t_2}$$

Das Lösen dieses Systems für $A_0$ und $k$ führt zu einer eindeutigen Lösung, vorausgesetzt, $t_1 = \not t_2$.

In der Tat, indem beide Seiten der Gleichungen geteilt werden:

$$\displaystyle \frac{y_1}{y_2} = \frac{e^{k t_1}}{e^{k t_2}}$$ $$\displaystyle \Rightarrow \, \frac{y_1}{y_2} = e^{k (t_1-t_2)}$$ $$\displaystyle \Rightarrow \, \ln\left(\frac{y_1}{y_2}\right) = k (t_1-t_2)$$ $$\displaystyle \Rightarrow \, k = \frac{1}{t_1-t_2} \ln\left(\frac{y_1}{y_2}\right)$$

Um nach $A_0$ zu lösen, stellen wir aus der ersten Gleichung fest, dass:

$$A_0 = y_1 e^{-k t_1} = y_1 \frac{y_2}{y_1 e^{k t_2}} =\frac{y_2}{e^{k t_2}}$$

Wie berechnet man das exponentielle Wachstum?

Es ist nicht immer Wachstum. Wenn der Parameter $k$ positiv ist, haben wir zwar ein exponentielles Wachstum, aber wenn der Parameter $k$ negativ ist, haben wir einen exponentiellen Abfall.

Der Parameter $k$ ist nur dann Null, wenn $y_1 = y_2$ (die beiden Punkte haben dieselbe Höhe).

Für bestimmte exponentielle Verhaltensweisen können Sie unsere überprüfen Exponentielle Bewegungenumsrechner und das Exponentialzerfall-Rechner , die bestimmte Parameter für diese Art von exponentiellem Verhalten verwenden.