Anweisungen:
Verwenden Sie diesen rationalen Null -Theorem -Rechner, um zu versuchen, rationale Wurzeln für jede von Ihnen bereitgestellte Polynomgleichung zu finden, die alle Schritte angezeigt.Bitte geben Sie eine Polynomgleichung in das folgende Formularfeld ein.
Mehr über den rational zero theorem
Verwenden Sie diesen Taschenrechner, um den Rational Zero -Theorem auf eine gültige Polynomgleichung anzuwenden, die Sie bereitstellen, wobei alle Schritte angezeigt werden.Alles, was Sie tun müssen, ist eine gültige Polynomgleichung bereitzustellen, z. B. 4x^3 + 4x^2 + 12 = 0 oder möglicherweise eine Gleichung, die nicht vollständig vereinfacht ist wie x^3 + 2x = 3x^2 - 2/3,Da sich der Taschenrechner um seine Vereinfachung kümmert.
Wenn Sie mit der Eingabe der Polynomgleichung fertig sind, für die Sie rationale Wurzeln finden möchten, müssen Sie auf "Berechnen" klicken, und alle Schritte des Prozesses werden für Sie bereitgestellt.Taste, und Sie erhalten alle Schritte der Berechnungen.
Beachten Sie, dass der rationale Nullsatz von Rationalen Rationals testen kann
Könnte Sein
Lösungen, aber nicht unbedingt Wurzeln.Sie testen nur potenzielle Kandidaten.
Der rationale Zero -Theorem ist kein Werkzeug, um alle Wurzeln einer Polynomgleichung zu finden.Was ist zu behaupten, dass wenn es a gibt
Begründung Wurzel
Für diese Polynomgleichung muss es sich dann unter diesen vorgeschlagenen Kandidatenmengen befinden, so etwas wie eine "Kurzliste".
Wie benutze ich den rational zero theorem?
Der rationale Nullsatz erhält eine Polynomgleichung und setzt alle Begriffe auf einer Seite der Gleichung.Anschließend finden wir die Ganzzahl -Divisoren des Koeffizienten, der den Begriff mit der höchsten Leistung multipliziert, und wir nennen sie {b1,...,,bi} und finden auch die Ganzzahl -Divisoren des konstanten Koeffizienten den Begriff mit der höchsten Leistung, und wir nennen sie {a1,...,,aj}
Dann finden wir potenzielle Wurzeln, indem wir ±blak als die Kandidaten verwenden.
Was sind die schritte mit dem rational zero theorem?
Schritt 1
: Identifizieren Sie die Polynomgleichung, mit der Sie arbeiten möchten, und vereinfachen Sie sie bei Bedarf, damit sie in Form f (x) = A₀ + A₁x + ... + a ist
n
x^n+ c
Schritt 2
: Finden Sie die gesamte Ganzzahl (sowohl positive als auch negative) Divisoren von a₀ und a
n
Schritt 3
: Dann musst du jeden einzelnen Teiler A₀ berechnen und ihn durch jeden einzelnen Teil des A teilen
n
.Dies ist die Liste Ihrer rationalen Kandidaten
Schritt 4
: Sie müssen jedes der Elemente in der Liste der oben genannten Kandidaten durchgehen und prüfen, ob sie Wurzeln der angegebenen Polynomgleichung sind oder nicht
Auch dies befindet sich nicht unbedingt alle Wurzeln der gegebenen Polynomgleichung.Alles, wenn dies eine Liste von Kandidaten rational ist, die rationale Wurzeln enthält, wenn es rationale Wurzeln gibt.Aber es gibt vielleicht keine rationalen Wurzeln.
Für den Sonderfall einer Polynomgleichung von Order 2 können Sie dies direkt verwenden
Quadratischer Gleimungslöser
, was Ihnen alle Schritte liefern wird.
Finden sie alle möglichen rationalen nullen
Also, was dieser Taschenrechner tut, ist genau das, um die Liste aller möglichen rationalen Nullen zu finden. Dies ist ein großartiger Ausgangspunkt, um Wurzeln zu finden, da Sie dann die Polynomabteilung verwenden, um die Gleichung weiter zu lösen.
Finden von nullen einer polynomfunktion
Das Finden von Nullen einer Polynomfunktion ist eine schwierige Aufgabe, insbesondere für wann der
Polynomgrad
ist groß.Im Allgemeinen wird ein Polynom der Ordnung n n Wurzeln haben, wie von der angegeben
Grundsatz der Algebra
und diese Wurzeln könnten real, real oder komplex sein.Das macht die Suche schwieriger.
Der Versuch, zuerst einfache Wurzeln zu finden (z. B. Ganzzahl und rationale Wurzeln), ist die bestmögliche Strategie. Wenn Sie dann einfache Wurzeln finden, können Sie den Faktorisierungssatz verwenden, um den Grad des Polynoms zu verringern, mit dem Sie arbeiten.
Der rationale nulltest
Obwohl Sie unter Verwendung einer speziellen Software numerische Wurzeln in eine Polynomgleichung bringen können, ist die Verwendung des rationalen Zero -Tests eine großartige Übung, um zuerst eine ganzzahlige und rationale Lösung zu finden.Es ist eine intelligente Strategie und gibt Ihnen eine Liste, die die rationalen Wurzeln einer Gleichung enthält, wenn es welche gibt.
Beispiel: rational zero theorem application
Verwenden Sie den rationalen Zero -Test, um rationale Wurzeln von: 3x4+3x3−x+14=0 zu finden
Lösung:
> Die folgende Polynomgleichung wurde bereitgestellt:
3x4+3x3−x+14=0
für das wir den rationalen Nullsatz verwenden müssen, um potenzielle rationale Wurzeln zur obigen Gleichung zu finden.
Die Polynomgleichung der Ordnung 4 hat alle Begriffe bereits auf einer Seite und es ist bereits vereinfacht, sodass keine weitere Vereinfachung erforderlich ist.
Jetzt müssen wir die Ganzzahl -Zahlen finden, die den führenden Koeffizienten a4 und den konstanten Koeffizienten a0 teilen, mit dem unsere Kandidaten so konstruiert werden, dass sie Nullen der Polynomgleichung sind.
▹ Die Teiler von a4=3 sind: ±1,±3.
▹ Die Teiler von a0=14 sind: ±1,±2,±7,±14.
Daher teilen wir den Teiler des führenden Koeffizienten a4=3 Daher die folgende Liste von Kandidaten als Wurzeln:
±11,±31,±12,±32,±17,±37,±114,±314
Jetzt müssen alle Kandidaten getestet werden, um festzustellen, ob sie eine Lösung sind.Das Folgende erfolgt aus dem Testen der einzelnen Kandidaten:
Fazit:
Keiner der Kandidaten ist also eine Wurzel, und daher erlaubt uns diese Methode nicht, in diesem Fall rationale Lösungen zu finden.
Beispiel: rational zero theorem application
Hat die Gleichung: x10−4=0 haben rationale Wurzeln?
Lösung:
Wir müssen versuchen, rationale Wurzeln zu finden für:
x10−4=0
durch Verwendung des rationalen Nullensatzes.
Es besteht keine weitere Vereinfachung, da die Polynomgleichung von Order 10 bereits alle Begriffe auf der einen Seite enthält.
Wir müssen nun die Ganzzahlen identifizieren, die den führenden Koeffizienten a10 und den konstanten Koeffizienten a0 teilen, auf deren Grundlage wir unsere Kandidaten für die Nullen der Polynomgleichung erstellen.
Die Trenner von a10=1 sind: ±1.
Die Trenner von a0=−4 sind: ±1,±2,±4.
Daher teilen wir den Teiler des führenden Koeffizienten a10=1 Daher die folgende Liste von Kandidaten als Wurzeln:
±11,±12,±14
Jetzt müssen alle Kandidaten getestet werden, um festzustellen, ob sie eine Lösung sind.Das Folgende erfolgt aus dem Testen der einzelnen Kandidaten:
Fazit:
Keiner der Kandidaten ist also eine Wurzel, und daher hat die ursprüngliche Polynomgleichung keine rationalen Wurzeln.
Beispiel: rational zero theorem application
Verwenden Sie den rationalen Zero -Test, um rationale Wurzeln von: x3−38x2+919x−94=0 zu finden
Lösung:
Jetzt müssen wir mit:
x3−38x2+919x−94=0
Wir müssen die Ganzzahl -Zahlen finden, die den führenden Koeffizienten a3 und den konstanten Koeffizienten a0 teilen.
Notiz:
In diesem Fall stellen wir fest, dass wir beide Seiten der Gleichung durch 9 verstärken müssen, um beide Seiten der Gleichung zu verbessern.Die äquivalente Gleichung lautet:
9x3−24x2+19x−4=0
▹ Die Teiler von a3=9 sind: ±1,±3,±9.
▹ Die Teiler von a0=−4 sind: ±1,±2,±4.
Daher teilen wir den Teiler des führenden Koeffizienten a3=9 Daher die folgende Liste von Kandidaten als Wurzeln:
±11,±31,±91,±12,±32,±92,±14,±34,±94
Alle Kandidaten müssen jetzt getestet werden, um festzustellen, ob sie eine Lösung sind.Die folgenden Ergebnisse werden nach dem Testen jeweils erzielt:
Fazit:
In diesem Fall finden wir aus den vorgeschlagenen Kandidaten die rationalen Wurzeln x=1, x=31 und x=34 Und dann teilt der Begriff (x−1)(x−31)(x−34) den Polynomausdruck x3−38x2+919x−94.
