Löser Algebra

Rationaler null -theorem -rechner

Anweisungen: Verwenden Sie diesen rationalen Null -Theorem -Rechner, um zu versuchen, rationale Wurzeln für jede von Ihnen bereitgestellte Polynomgleichung zu finden, die alle Schritte angezeigt.Bitte geben Sie eine Polynomgleichung in das folgende Formularfeld ein.

Geben Sie eine Polynomgleichung ein (z. B. 2x^3 + 5x + 14 = 0 usw.)

Mehr über den rational zero theorem

Verwenden Sie diesen Taschenrechner, um den Rational Zero -Theorem auf eine gültige Polynomgleichung anzuwenden, die Sie bereitstellen, wobei alle Schritte angezeigt werden.Alles, was Sie tun müssen, ist eine gültige Polynomgleichung bereitzustellen, z. B. 4x^3 + 4x^2 + 12 = 0 oder möglicherweise eine Gleichung, die nicht vollständig vereinfacht ist wie x^3 + 2x = 3x^2 - 2/3,Da sich der Taschenrechner um seine Vereinfachung kümmert.

Wenn Sie mit der Eingabe der Polynomgleichung fertig sind, für die Sie rationale Wurzeln finden möchten, müssen Sie auf "Berechnen" klicken, und alle Schritte des Prozesses werden für Sie bereitgestellt.Taste, und Sie erhalten alle Schritte der Berechnungen.

Beachten Sie, dass der rationale Nullsatz von Rationalen Rationals testen kann Könnte Sein Lösungen, aber nicht unbedingt Wurzeln.Sie testen nur potenzielle Kandidaten.

Der rationale Zero -Theorem ist kein Werkzeug, um alle Wurzeln einer Polynomgleichung zu finden.Was ist zu behaupten, dass wenn es a gibt Begründung Wurzel Für diese Polynomgleichung muss es sich dann unter diesen vorgeschlagenen Kandidatenmengen befinden, so etwas wie eine "Kurzliste".

Rationaler Null -Theorem -Rechner

Wie benutze ich den rational zero theorem?

Der rationale Nullsatz erhält eine Polynomgleichung und setzt alle Begriffe auf einer Seite der Gleichung.Anschließend finden wir die Ganzzahl -Divisoren des Koeffizienten, der den Begriff mit der höchsten Leistung multipliziert, und wir nennen sie \(\{b_1, ...,, b_i\}\) und finden auch die Ganzzahl -Divisoren des konstanten Koeffizienten den Begriff mit der höchsten Leistung, und wir nennen sie \(\{a_1, ...,, a_j\}\)

Dann finden wir potenzielle Wurzeln, indem wir \(\pm\frac{a_k}{b_l}\) als die Kandidaten verwenden.

Was sind die schritte mit dem rational zero theorem?

  • Schritt 1 : Identifizieren Sie die Polynomgleichung, mit der Sie arbeiten möchten, und vereinfachen Sie sie bei Bedarf, damit sie in Form f (x) = A₀ + A₁x + ... + a ist n x^n+ c
  • Schritt 2 : Finden Sie die gesamte Ganzzahl (sowohl positive als auch negative) Divisoren von a₀ und a n
  • Schritt 3 : Dann musst du jeden einzelnen Teiler A₀ berechnen und ihn durch jeden einzelnen Teil des A teilen n .Dies ist die Liste Ihrer rationalen Kandidaten
  • Schritt 4 : Sie müssen jedes der Elemente in der Liste der oben genannten Kandidaten durchgehen und prüfen, ob sie Wurzeln der angegebenen Polynomgleichung sind oder nicht

Auch dies befindet sich nicht unbedingt alle Wurzeln der gegebenen Polynomgleichung.Alles, wenn dies eine Liste von Kandidaten rational ist, die rationale Wurzeln enthält, wenn es rationale Wurzeln gibt.Aber es gibt vielleicht keine rationalen Wurzeln.

Für den Sonderfall einer Polynomgleichung von Order 2 können Sie dies direkt verwenden Quadratischer Gleimungslöser , was Ihnen alle Schritte liefern wird.

Finden sie alle möglichen rationalen nullen

Also, was dieser Taschenrechner tut, ist genau das, um die Liste aller möglichen rationalen Nullen zu finden. Dies ist ein großartiger Ausgangspunkt, um Wurzeln zu finden, da Sie dann die Polynomabteilung verwenden, um die Gleichung weiter zu lösen.

Finden von nullen einer polynomfunktion

Das Finden von Nullen einer Polynomfunktion ist eine schwierige Aufgabe, insbesondere für wann der Polynomgrad ist groß.Im Allgemeinen wird ein Polynom der Ordnung n n Wurzeln haben, wie von der angegeben Grundsatz der Algebra und diese Wurzeln könnten real, real oder komplex sein.Das macht die Suche schwieriger.

Der Versuch, zuerst einfache Wurzeln zu finden (z. B. Ganzzahl und rationale Wurzeln), ist die bestmögliche Strategie. Wenn Sie dann einfache Wurzeln finden, können Sie den Faktorisierungssatz verwenden, um den Grad des Polynoms zu verringern, mit dem Sie arbeiten.

Der rationale nulltest

Obwohl Sie unter Verwendung einer speziellen Software numerische Wurzeln in eine Polynomgleichung bringen können, ist die Verwendung des rationalen Zero -Tests eine großartige Übung, um zuerst eine ganzzahlige und rationale Lösung zu finden.Es ist eine intelligente Strategie und gibt Ihnen eine Liste, die die rationalen Wurzeln einer Gleichung enthält, wenn es welche gibt.

Rationaler Null -Theorem -Rechner

Beispiel: rational zero theorem application

Verwenden Sie den rationalen Zero -Test, um rationale Wurzeln von: \(3 x^4 + 3x^3 - x + 14 = 0\) zu finden

Lösung: > Die folgende Polynomgleichung wurde bereitgestellt:

\[\displaystyle 3 x^4 + 3x^3 - x + 14 = 0\]

für das wir den rationalen Nullsatz verwenden müssen, um potenzielle rationale Wurzeln zur obigen Gleichung zu finden.

Die Polynomgleichung der Ordnung \(4\) hat alle Begriffe bereits auf einer Seite und es ist bereits vereinfacht, sodass keine weitere Vereinfachung erforderlich ist.

Jetzt müssen wir die Ganzzahl -Zahlen finden, die den führenden Koeffizienten \(a_{4}\) und den konstanten Koeffizienten \(a_0\) teilen, mit dem unsere Kandidaten so konstruiert werden, dass sie Nullen der Polynomgleichung sind.

▹ Die Teiler von \(a_{4} = 3\) sind: \(\pm 1,\pm 3\).

▹ Die Teiler von \(a_0 = 14\) sind: \(\pm 1,\pm 2,\pm 7,\pm 14\).

Daher teilen wir den Teiler des führenden Koeffizienten \(a_{4} = 3\) Daher die folgende Liste von Kandidaten als Wurzeln:

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 1}{ 3},\pm \frac{ 2}{ 1},\pm \frac{ 2}{ 3},\pm \frac{ 7}{ 1},\pm \frac{ 7}{ 3},\pm \frac{ 14}{ 1},\pm \frac{ 14}{ 3}\]

Jetzt müssen alle Kandidaten getestet werden, um festzustellen, ob sie eine Lösung sind.Das Folgende erfolgt aus dem Testen der einzelnen Kandidaten:

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-1\right)^4+3\cdot\left(-1\right)^3-\left(-1\right)+14 & = & \displaystyle 15 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(1\right)^4+3\cdot\left(1\right)^3-1+14 & = & \displaystyle 19 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)^4+3\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)^3+\frac{ 1}{ 3}+14 & = & \displaystyle \frac{385}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\frac{1}{3}^4+3\cdot\frac{1}{3}^3-\frac{1}{3}+14 & = & \displaystyle \frac{373}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -2 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-2\right)^4+3\cdot\left(-2\right)^3-\left(-2\right)+14 & = & \displaystyle 40 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 2 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(2\right)^4+3\cdot\left(2\right)^3-2+14 & = & \displaystyle 84 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{2}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)^4+3\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)^3+\frac{ 2}{ 3}+14 & = & \displaystyle \frac{388}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{2}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\frac{2}{3}^4+3\cdot\frac{2}{3}^3-\frac{2}{3}+14 & = & \displaystyle \frac{400}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -7 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-7\right)^4+3\cdot\left(-7\right)^3-\left(-7\right)+14 & = & \displaystyle 6195 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 7 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(7\right)^4+3\cdot\left(7\right)^3-7+14 & = & \displaystyle 8239 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{7}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-\frac{7}{3}\right)^4+3\cdot\left(-\frac{7}{3}\right)^3+\frac{ 7}{ 3}+14 & = & \displaystyle \frac{1813}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{7}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\frac{7}{3}^4+3\cdot\frac{7}{3}^3-\frac{7}{3}+14 & = & \displaystyle \frac{3745}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -14 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-14\right)^4+3\cdot\left(-14\right)^3-\left(-14\right)+14 & = & \displaystyle 107044 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 14 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(14\right)^4+3\cdot\left(14\right)^3-14+14 & = & \displaystyle 123480 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{14}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-\frac{14}{3}\right)^4+3\cdot\left(-\frac{14}{3}\right)^3+\frac{ 14}{ 3}+14 & = & \displaystyle \frac{30688}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{14}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\frac{14}{3}^4+3\cdot\frac{14}{3}^3-\frac{14}{3}+14 & = & \displaystyle \frac{46900}{27} \ne 0 \\\\ \end{array}\]

Fazit: Keiner der Kandidaten ist also eine Wurzel, und daher erlaubt uns diese Methode nicht, in diesem Fall rationale Lösungen zu finden.

Beispiel: rational zero theorem application

Hat die Gleichung: \(x^{10} - 4 = 0\) haben rationale Wurzeln?

Lösung: Wir müssen versuchen, rationale Wurzeln zu finden für:

\[\displaystyle x^{10}-4=0\]

durch Verwendung des rationalen Nullensatzes.

Es besteht keine weitere Vereinfachung, da die Polynomgleichung von Order 10 bereits alle Begriffe auf der einen Seite enthält.

Wir müssen nun die Ganzzahlen identifizieren, die den führenden Koeffizienten \(a_{10}\) und den konstanten Koeffizienten \(a_0\) teilen, auf deren Grundlage wir unsere Kandidaten für die Nullen der Polynomgleichung erstellen.

Die Trenner von \(a_{10} = 1\) sind: \(\pm 1\).

Die Trenner von \(a_0 = -4\) sind: \(\pm 1,\pm 2,\pm 4\).

Daher teilen wir den Teiler des führenden Koeffizienten \(a_{10} = 1\) Daher die folgende Liste von Kandidaten als Wurzeln:

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 2}{ 1},\pm \frac{ 4}{ 1}\]

Jetzt müssen alle Kandidaten getestet werden, um festzustellen, ob sie eine Lösung sind.Das Folgende erfolgt aus dem Testen der einzelnen Kandidaten:

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle \left(-1\right)^{10}-4 & = & \displaystyle -3 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 1^{10}-4 & = & \displaystyle -3 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -2 &:&    & \displaystyle \left(-2\right)^{10}-4 & = & \displaystyle 1020 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 2 &:&    & \displaystyle 2^{10}-4 & = & \displaystyle 1020 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -4 &:&    & \displaystyle \left(-4\right)^{10}-4 & = & \displaystyle 1048572 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 4 &:&    & \displaystyle 4^{10}-4 & = & \displaystyle 1048572 \ne 0 \\\\ \end{array}\]

Fazit: Keiner der Kandidaten ist also eine Wurzel, und daher hat die ursprüngliche Polynomgleichung keine rationalen Wurzeln.

Beispiel: rational zero theorem application

Verwenden Sie den rationalen Zero -Test, um rationale Wurzeln von: \( x^3-\frac{8}{3}x^2+\frac{19}{9}x-\frac{4}{9}=0\) zu finden

Lösung: Jetzt müssen wir mit:

\[\displaystyle x^3-\frac{8}{3}x^2+\frac{19}{9}x-\frac{4}{9}=0\]

Wir müssen die Ganzzahl -Zahlen finden, die den führenden Koeffizienten \(a_{3}\) und den konstanten Koeffizienten \(a_0\) teilen.

Notiz: In diesem Fall stellen wir fest, dass wir beide Seiten der Gleichung durch \(9\) verstärken müssen, um beide Seiten der Gleichung zu verbessern.Die äquivalente Gleichung lautet:

\[9x^3-24x^2+19x-4 = 0\]

▹ Die Teiler von \(a_{3} = 9\) sind: \(\pm 1,\pm 3,\pm 9\).

▹ Die Teiler von \(a_0 = -4\) sind: \(\pm 1,\pm 2,\pm 4\).

Daher teilen wir den Teiler des führenden Koeffizienten \(a_{3} = 9\) Daher die folgende Liste von Kandidaten als Wurzeln:

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 1}{ 3},\pm \frac{ 1}{ 9},\pm \frac{ 2}{ 1},\pm \frac{ 2}{ 3},\pm \frac{ 2}{ 9},\pm \frac{ 4}{ 1},\pm \frac{ 4}{ 3},\pm \frac{ 4}{ 9}\]

Alle Kandidaten müssen jetzt getestet werden, um festzustellen, ob sie eine Lösung sind.Die folgenden Ergebnisse werden nach dem Testen jeweils erzielt:

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-1\right)^3-24\cdot\left(-1\right)^2+19\cdot\left(-1\right)-4 & = & \displaystyle -56 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(1\right)^3-24\cdot\left(1\right)^2+19\cdot\left(1\right)-4 & = & \displaystyle 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{3} &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)^3-24\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)^2+19\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)-4 & = & \displaystyle -\frac{40}{3} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{3} &:&    & \displaystyle 9\cdot\frac{1}{3}^3-24\cdot\frac{1}{3}^2+19\cdot\frac{1}{3}-4 & = & \displaystyle 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{9} &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-\frac{1}{9}\right)^3-24\cdot\left(-\frac{1}{9}\right)^2+19\cdot\left(-\frac{1}{9}\right)-4 & = & \displaystyle -\frac{520}{81} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{9} &:&    & \displaystyle 9\cdot\frac{1}{9}^3-24\cdot\frac{1}{9}^2+19\cdot\frac{1}{9}-4 & = & \displaystyle -\frac{176}{81} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -2 &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-2\right)^3-24\cdot\left(-2\right)^2+19\cdot\left(-2\right)-4 & = & \displaystyle -210 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 2 &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(2\right)^3-24\cdot\left(2\right)^2+19\cdot\left(2\right)-4 & = & \displaystyle 10 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{2}{3} &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)^3-24\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)^2+19\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)-4 & = & \displaystyle -30 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{2}{3} &:&    & \displaystyle 9\cdot\frac{2}{3}^3-24\cdot\frac{2}{3}^2+19\cdot\frac{2}{3}-4 & = & \displaystyle \frac{2}{3} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{2}{9} &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-\frac{2}{9}\right)^3-24\cdot\left(-\frac{2}{9}\right)^2+19\cdot\left(-\frac{2}{9}\right)-4 & = & \displaystyle -\frac{770}{81} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{2}{9} &:&    & \displaystyle 9\cdot\frac{2}{9}^3-24\cdot\frac{2}{9}^2+19\cdot\frac{2}{9}-4 & = & \displaystyle -\frac{70}{81} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -4 &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-4\right)^3-24\cdot\left(-4\right)^2+19\cdot\left(-4\right)-4 & = & \displaystyle -1040 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 4 &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(4\right)^3-24\cdot\left(4\right)^2+19\cdot\left(4\right)-4 & = & \displaystyle 264 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{4}{3} &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)^3-24\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)^2+19\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)-4 & = & \displaystyle -\frac{280}{3} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{4}{3} &:&    & \displaystyle 9\cdot\frac{4}{3}^3-24\cdot\frac{4}{3}^2+19\cdot\frac{4}{3}-4 & = & \displaystyle 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{4}{9} &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-\frac{4}{9}\right)^3-24\cdot\left(-\frac{4}{9}\right)^2+19\cdot\left(-\frac{4}{9}\right)-4 & = & \displaystyle -\frac{1456}{81} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{4}{9} &:&    & \displaystyle 9\cdot\frac{4}{9}^3-24\cdot\frac{4}{9}^2+19\cdot\frac{4}{9}-4 & = & \displaystyle \frac{40}{81} \ne 0 \\\\ \end{array}\]

Fazit: In diesem Fall finden wir aus den vorgeschlagenen Kandidaten die rationalen Wurzeln \(\displaystyle x = 1 \), \(\displaystyle x = \frac{1}{3} \) und \(\displaystyle x = \frac{4}{3} \) Und dann teilt der Begriff \( \displaystyle \left(x-1\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{4}{3}\right)\) den Polynomausdruck \(\displaystyle x^3-\frac{8}{3}x^2+\frac{19}{9}x-\frac{4}{9}\).

Weitere algebra -taschenrechner

ARBEITEN MIT POLYNOMEN ist eine entscheidende Fähigkeit, von der Sie stark profitieren können.Viele Anwendungen in Algebra verwenden es, insbesondere mit Quadratische Gleisungsanwendungen .

Der einfachste Fall einer Polynomgleichung ist a Lineare Gleisung Das hat eine Vielzahl von Anwendungen.

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