Polynomfaktorrechner

Mit diesem Factoring -Rechner mit Schritten können Sie den Faktor vollständig ein gegebenes Polynom finden, das Sie bereitstellen und alle Schritte des Prozesses anzeigen.

Das Polynom, das Sie bereitstellen, muss gültig sein, etwas Einfaches wie P (x) = x^3 - x + 1, oder es kann komplizierter sein, mit Koeffizienten, die Brüche oder einen gültigen numerischen Ausdruck sind.

Sobald Sie ein gültiges Polynom angeben, können Sie auf die Schaltfläche "Berechnen" klicken und alle Schritt-für-Schritt-Laufe des Prozesses zur Verfügung gestellt werdenmühsam erfolgt von Hand, besonders wenn die Polynomgrad ist hoch.

Es gibt absolut keine Möglichkeit, um zu überbewerten, wie wichtig es ist, zu wissen, wie sie Polynome berücksichtigen können, da sie sich im Zentrum vieler Anwendungen in Algebra, Kalkül, Finanzen und Engineering befinden.

Wie kann man polynome berücksichtigen?

Mit Ausnahme von quadratischen Polynomen ist das Berücksichtigung von Polynomen nicht unbedingt einfach und kann möglicherweise Schwierigkeiten bringen, wenn es von Hand durchgeführt wird.Es gibt eine Reihe von Schritten, die Sie befolgen sollten, damit Ihre Änderungen beim zumindest einige der Faktoren gefunden werden

Schritte des faktorrechners

• Schritt 1: Identifizieren Sie den Ausdruck, mit dem Sie arbeiten, vereinfachen Sie ihn so weit wie möglich und stellen Sie sicher, dass es sich um ein Polynom handelt.Wenn es kein Polynom ist, gibt es keinen definitiven Ansatz, um zu folgen
• Schritt 2: Sobald Sie ein vereinfachtes Polynom haben, müssen Sie seinen Abschluss zur Kenntnis nehmen.Wenn es quadratisch ist (Grad 2), können Sie die verwenden Quadratische Formel seine Faktoren finden
• Schritt 3: Wenn der Grad des Polynoms 3 oder höher beträgt, prüfen Sie, ob der konstante Koeffizient Null ist, und verringern Sie den Grad des Polynoms, der noch Faktor sein muss
• Schritt 4: Nach Abschluss von Schritt 4 müssen Sie mit dem Rational Zero -Theorem für einfache Stammkandidaten testen.Wenn Sie eine rationale Wurzel finden, sind dies Faktoren der Form (x - a) (wobei a eine rationale Wurzel ist), und dann teilen Sie das Polynom durch diese Faktoren, so
• Schritt 5: Wiederholen Sie die vorherigen Schritte, bis Sie entweder eine vollständige Faktorisierung haben oder keine weitere Reduzierung durchführen können

Es gibt eine Sache, die zwar technisch ist, aber erwähnt werden muss: Die Faktorierung erfolgt über a Feld , was eine Art algebraische Struktur ist.Normalerweise verwendet das Feld, das wir verwenden, das Feld realer Zahlen.

Wenn wir den Faktorrechner für das Feld der realen Zahlen verwenden, haben nicht alle Faktoren die Form \(x - a\), da wir auch quadratische Faktoren haben können, die im realen Feld nicht reduzierbar sind.Zum Beispiel kann \(x^2 + x + 10\) nicht in reale lineare Faktoren reduziert werden, weil die Quadratische Gleisung \(x^2 + x + 10 = 0\) hat komplexe Wurzeln.

In Schritt 3 kann der Faktor bei der Behandlung einer quadratischen Funktion selbst sein, wenn seine Wurzeln komplex sind.

Faktoren und wurzeln

Der Weg zur Verwendung eines Berechnungsprozesses mit Factoring besteht darin, entweder verschiedene Arten der Faktorierung der Ausbeutung bestimmter Symmetrien oder durch das Finden von Wurzeln zu versuchen.Symmetrien zu finden ist keine bestimmte Sache, da es wirklich von bestimmten Regelmäßigkeiten abhängt, die gefunden werden können, die nicht allen Polynomen gemeinsam sind.

Faktoren durch Inspektion oder durch Gruppierung werden häufig versucht, aber diese erfordern bestimmte Muster, die nicht immer da sind.Es lohnt sich, ein Polynom zu inspizieren, um festzustellen, ob etwas Direktes getan werden kann, aber der Ansatz der Faktorierung durch Finden von Wurzeln ist systematischer und wird in mehr Fällen funktionieren, als die Inspektionsmethoden tun.

Häufige fehler zu vermeiden

Es ist wichtig zu verstehen Faktorsatz .Wenn Sie also wissen, wie man faktor ist, hängt es auf Ihre Fähigkeit ab, zu wissen, wie man Wurzeln eines Polynoms findet.

Es gibt keine Formel, es sei denn, Sie haben es mit einer quadratischen Funktion zu tun.Für höhere Abschlüsse haben Sie unterschiedliche Alternativen: Sie können den oben beschriebenen systematischen Prozess verwenden, oder Sie können versuchen, durch Inspektion zu erraten und zu versuchen, Factoring durchzuführen oder andere Alternativen wie zu verwenden, wie Factoring Durchmeistere Gruppierung .

Beispiel: polynomfaktoren

Faktor vollständig: \(p(x) = x^5 - 3x^4 + 3x^3 - 3x^2 + 2x\)

Lösung: Das folgende Polynom wurde bereitgestellt: \(\displaystyle p(x) = x^5-3x^4+3x^3-3x^2+2x\), das in den realen Zahlen vollständig berücksichtigt werden muss.

Erstschritt: Der bereitgestellte Polynomausdruck ist nicht reduzierbar, daher gibt es nichts zu vereinfachen.Wir können fortfahren, um es zu berücksichtigen.

Beachten Sie, dass der Grad des gegebenen Polynoms \(\displaystyle deg(p) = 5\) ist, sein führender Koeffizient ist \(\displaystyle a_{5} = 1\) und sein konstanter Koeffizient ist \(\displaystyle a_0 = 0\).

Begründung Wurzeln Kandidaten : Da der erste Term mit einem Koeffizienten ungleich Null in \(p(x)\) \(x\) ist, können wir diesen Begriff ausmachen, um zu bekommen

\[\displaystyle p(x) = x^5-3x^4+3x^3-3x^2+2x = x \left(x^4-3x^3+3x^2-3x+2 \right) \]

Der Begriff in Klammern hat jedoch einen Grad, der höher als 2 ist, daher gibt es keine elementare Formel, um sie zu berücksichtigen.Wir müssen auf mögliche rationale Wurzeln testen.

Die nächste Aufgabe besteht darin, die Ganzzahlzahlen zu finden, die den führenden Koeffizienten \(a_{4}\) und den konstanten Koeffizienten \(a_0\) teilen, mit dem unsere Kandidaten so konstruiert werden, dass sie Nullen der Polynomgleichung sind.

▹ Die Teiler von \(a_{4} = 1\) sind: \(\pm 1\).

▹ Die Teiler von \(a_0 = 2\) sind: \(\pm 1,\pm 2\).

Daher teilen wir den Teiler des führenden Koeffizienten \(a_{4} = 1\) Daher die folgende Liste von Kandidaten als Wurzeln:

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 2}{ 1}\]

Jetzt müssen alle Kandidaten getestet werden, um festzustellen, ob sie eine Lösung sind.Das Folgende erfolgt aus dem Testen der einzelnen Kandidaten:

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle \left(-1\right)^4-3\cdot \left(-1\right)^3+3\cdot \left(-1\right)^2-3\cdot \left(-1\right)+2 & = & \displaystyle 12 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 1^4-3\cdot 1^3+3\cdot 1^2-3\cdot 1+2 & = & \displaystyle 0 \\\\ x & = & \displaystyle -2 &:&    & \displaystyle \left(-2\right)^4-3\cdot \left(-2\right)^3+3\cdot \left(-2\right)^2-3\cdot \left(-2\right)+2 & = & \displaystyle 60 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 2 &:&    & \displaystyle 2^4-3\cdot 2^3+3\cdot 2^2-3\cdot 2+2 & = & \displaystyle 0 \\\\ \end{array}\]

Polynomabelung : Da wir nicht genug Wurzeln unter den rationalen Kandidaten haben, werden wir \(\displaystyle x^4-3x^3+3x^2-3x+2\) durch das Produkt der Faktoren teilen, die aus den rationalen Wurzeln abgeleitet sind, was \(\displaystyle \left(x-1\right)\left(x-2\right) \) ist.

Schritt 1: Der führende Begriff der Dividende \(\displaystyle p(x) = x^4-3x^3+3x^2-3x+2\) ist \(\displaystyle x^4\), während der führende Begriff für den Divisor \(\displaystyle s(x) = x^2-3x+2\) gleich \(\displaystyle x^2\) entspricht.

Der Begriff, den wir also mit \(x^2\) multiplizieren müssen, um zum führenden Begriff der Dividende zu gelangen, lautet \(\displaystyle \frac{ x^4}{ x^2} = x^2\), also fügen wir diesen Begriff dem Quotienten hinzu.Außerdem multiplizieren wir dies mit dem Divisor, um \(\displaystyle x^2 \cdot \left(x^2-3x+2\right) = x^4-3x^3+2x^2\) zu erhalten, was wir an die Dividende subtrahieren müssen:

\[\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{rccccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle & \displaystyle &&\\[0.3em] \hline x^2-3x+2\,) & \displaystyle x^4 & \displaystyle -3x^3 & \displaystyle +3x^2 & \displaystyle -3x & \displaystyle +2\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle -x^4 & \displaystyle +3x^3 & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle x^2 & \displaystyle -3x & \displaystyle +2\\[0.3em] \end{array}\]

Schritt 2: In diesem Fall ist der führende Begriff des aktuellen Restes \(\displaystyle x^2-3x+2\) \(\displaystyle x^2\) und wir wissen, dass der führende Begriff für den Divisor \(\displaystyle x^2\) ist.

Der Begriff, den wir also mit \(x^2\) multiplizieren müssen, um zum führenden Begriff des aktuellen Restes zu gelangen, lautet \(\displaystyle \frac{ x^2}{ x^2} = 1\), also fügen wir diesen Begriff dem Quotienten hinzu.Außerdem multiplizieren wir dies mit dem Divisor, um \(\displaystyle 1 \cdot \left(x^2-3x+2\right) = x^2-3x+2\) zu erhalten, was wir mit der aktuellen Erinnerung subtrahieren müssen:

\[\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{rccccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle & \displaystyle +1&&\\[0.3em] \hline x^2-3x+2\,) & \displaystyle x^4 & \displaystyle -3x^3 & \displaystyle +3x^2 & \displaystyle -3x & \displaystyle +2\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle -x^4 & \displaystyle +3x^3 & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle x^2 & \displaystyle -3x & \displaystyle +2\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -x^2 & \displaystyle +3x & \displaystyle -2\\[0.3em] \hline \displaystyle & & & & & 0\\[0.3em] \end{array}\]

Daher ist der Quotient \(\displaystyle q(x) = x^2+1\) und der Rest ist \(\displaystyle r(x) = 0\).

Nach dem Teilen haben wir uns bei der Faktorisierung mit fortgeschritten

\[\displaystyle p(x) = x^5-3x^4+3x^3-3x^2+2x = x \left(x-1\right)\left(x-2\right) \left(x^2+1\right)\]

Da der Quotient \(\displaystyle x^2+1\) jetzt quadratisch gefunden wird, können wir seine Wurzeln finden, um zu sehen, ob wir es auf dem realen Feld berücksichtigen können.

Wir müssen die folgende quadratische Gleichung lösen \(\displaystyle x^2+1=0\).

Für eine quadratische Gleichung der Form \(a x^2 + bx + c = 0\) werden die Wurzeln unter Verwendung der folgenden Formel berechnet:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

In diesem Fall haben wir, dass die Gleichung, die wir lösen müssen, \(\displaystyle x^2+1 = 0\) ist, was impliziert, dass entsprechende Koeffizienten sind:

\[a = 1\] \[b = 0\] \[c = 1\]

Erstens werden wir die Diskriminanz berechnen, um die Art der Wurzeln zu bewerten.Die Diskriminierung wird berechnet als:

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( 0\right)^2 - 4 \cdot \left(1\right)\cdot \left(1\right) = -4\]

Da wir in diesem Fall die Diskriminanz erhalten, ist \(\Delta = \displaystyle -4 < 0\), was negativ ist, wir wissen, dass die gegebene Gleichung zwei verschiedene konjugierte Komplexwurzeln hat.

Stecken Sie diese Werte nun in die Formel für die Wurzeln, die wir erhalten:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{0 \pm \sqrt{\left(0\right)^2-4\left(1\right)\left(1\right)}}{2\cdot 1} = \displaystyle \frac{0 \pm \sqrt{-4}}{2}\]

Also finden wir das:

\[\displaystyle x_1 = \frac{0 - i \sqrt{4}}{2} = -i\] \[\displaystyle x_2 = \frac{0 + i \sqrt{4}}{2} = i\]

Nachdem wir die Wurzeln des letzten quadratischen Teils gefunden haben, finden wir zwei komplexe Wurzeln, sodass wir den Begriff \(x^2+1\) im realen Feld nicht berücksichtigen können, also beenden wir den Prozess mit \(\displaystyle p(x) = x^5-3x^4+3x^3-3x^2+2x = x \left(x-1\right)\left(x-2\right) \left(x^2+1\right)\).

Fazit : Daher ist die endgültige Faktorisierung, die wir erhalten,:

\[\displaystyle p(x) = x^5-3x^4+3x^3-3x^2+2x = x\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x^2+1\right)\]

Die Wurzeln, die mit dem Faktorisierungsprozess gefunden wurden, sind \(0\), \(1\), \(2\), \(-i\) und \(i\).

Beispiel: faktorberechnung

Finde die Faktoren der folgenden: \(p(x) = x^4 - 2x^3 - x^2 + 2x\)

Lösung: Jetzt müssen wir: \(\displaystyle p(x) = x^4-2x^3-x^2+x\) berücksichtigen.

Erstschritt: Der bereitgestellte Polynomausdruck kann nicht reduziert werden, und dann können wir direkt fortfahren, um ihn zu berücksichtigen.

Begründung Wurzeln Kandidaten : Da der erste Term mit einem Koeffizienten ungleich Null in \(p(x)\) \(x\) ist, können wir diesen Begriff ausmachen, um zu bekommen

\[\displaystyle p(x) = x^4-2x^3-x^2+x = x \left(x^3-2x^2-x+1 \right) \]

Der Begriff in Klammern hat jedoch einen Grad, der höher als 2 ist, daher gibt es keine elementare Formel, um sie zu berücksichtigen.Wir müssen auf mögliche rationale Wurzeln testen.

Die nächste Aufgabe besteht darin, die Ganzzahlzahlen zu finden, die den führenden Koeffizienten \(a_{3}\) und den konstanten Koeffizienten \(a_0\) teilen, mit dem unsere Kandidaten so konstruiert werden, dass sie Nullen der Polynomgleichung sind.

▹ Die Teiler von \(a_{3} = 1\) sind: \(\pm 1\).

▹ Die Teiler von \(a_0 = 1\) sind: \(\pm 1\).

Daher teilen wir den Teiler des führenden Koeffizienten \(a_{3} = 1\) Daher die folgende Liste von Kandidaten als Wurzeln:

\[\pm \frac{ 1}{ 1}\]

Jetzt müssen alle Kandidaten getestet werden, um festzustellen, ob sie eine Lösung sind.Das Folgende erfolgt aus dem Testen der einzelnen Kandidaten:

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle \left(-1\right)^3-2\cdot \left(-1\right)^2-\left(-1\right)+1 & = & \displaystyle -1 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 1^3-2\cdot 1^2-1+1 & = & \displaystyle -1 \ne 0 \\\\ \end{array}\]

Da wir jedoch keine rationalen Wurzeln durch Inspektion gefunden haben, können wir die Faktorisierung mit Elementarmethoden nicht weitermachen, sodass der Prozess hier stoppt.

Fazit : Daher bekommen wir in diesem Fall:

\[\displaystyle p(x) = x^4-2x^3-x^2+x = x\left(x^3-2x^2-x+1\right)\]

Daher ist die einzige Wurzel, die mit dem Faktorisierungsprozess gefunden wurde, \(0\).

Beispiel: berechnung der faktorierung

Vollständig faktor \( p(x) = x^3 - \frac{7}{2}x^2 + \frac{7}{2}x - 1\).Was sind die Wurzeln dieses Polynoms?

Lösung: In diesem Beispiel haben wir \(\displaystyle p(x) = x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1\) und verwenden den Faktorisierungsprozess als Tool zur Berechnung seiner Wurzeln.

Erstschritt: Der bereitgestellte Polynomausdruck ist nicht reduzierbar, daher gibt es nichts zu vereinfachen.Wir können fortfahren, um es zu berücksichtigen.

Wir müssen versuchen, zuerst einfache rationale Wurzeln zu finden, die mit Hilfe des rationalen Wurzelsatzes erreicht werden.

Die nächste Aufgabe besteht darin, die Ganzzahlzahlen zu finden, die den führenden Koeffizienten \(a_{3}\) und den konstanten Koeffizienten \(a_0\) teilen, mit dem unsere Kandidaten so konstruiert werden, dass sie Nullen der Polynomgleichung sind.

▹ Die Ganzzahl -Teiler von \(a_{3} = 1\) sind: \(\pm 1\).

▹ Die Ganzzahl -Teiler von \(a_0 = -1\) sind: \(\pm 1\).

Daher teilen wir jeden Teiler des konstanten Koeffizienten \(a_0 = -1\) durch jeden Teiler des führenden Koeffizienten \(a_{3} = 1\), sodass wir eine Liste rationaler Kandidaten finden können, um Wurzeln zu sein:

\[\pm \frac{ 1}{ 1}\]

Jetzt müssen alle Kandidaten getestet werden, um festzustellen, ob sie eine Lösung sind.Das Folgende erfolgt aus dem Testen der einzelnen Kandidaten:

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle \left(-1\right)^3-\frac{7}{2}\cdot \left(-1\right)^2+\frac{7}{2}\cdot \left(-1\right)-1 & = & \displaystyle -9 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 1^3-\frac{7}{2}\cdot 1^2+\frac{7}{2}\cdot 1-1 & = & \displaystyle 0 \\\\ \end{array}\]

Polynomabelungsprozess : Wir haben nicht genügend rationale Wurzeln von den Kandidaten, die mit dem rationalen Null -Theorem zu finden sind.

Schritt 1: Der führende Begriff der Dividende \(\displaystyle p(x) = x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1\) ist \(\displaystyle x^3\), während der führende Begriff für den Divisor \(\displaystyle s(x) = x-1\) gleich \(\displaystyle x\) entspricht.

Der Begriff, den wir also mit \(x\) multiplizieren müssen, um zum führenden Begriff der Dividende zu gelangen, lautet \(\displaystyle \frac{ x^3}{ x} = x^2\), also fügen wir diesen Begriff dem Quotienten hinzu.Außerdem multiplizieren wir dies mit dem Divisor, um \(\displaystyle x^2 \cdot \left(x-1\right) = x^3-x^2\) zu erhalten, was wir an die Dividende subtrahieren müssen:

\[\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{rcccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle & \displaystyle &\\[0.3em] \hline x-1\,) & \displaystyle x^3 & \displaystyle -\frac{7}{2}x^2 & \displaystyle +\frac{7}{2}x & \displaystyle -1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle -x^3 & \displaystyle +x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{5}{2}x^2 & \displaystyle +\frac{7}{2}x & \displaystyle -1\\[0.3em] \end{array}\]

Schritt 2: Jetzt ist der führende Begriff des aktuellen Restes \(\displaystyle -\frac{5}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1\) \(\displaystyle -\frac{5}{2}x^2\) und wir wissen, dass der führende Begriff für den Divisor \(\displaystyle x\) ist.

Der Begriff, den wir also mit \(x\) multiplizieren müssen, um zum führenden Begriff des aktuellen Restes zu gelangen, lautet \(\displaystyle \frac{ -\frac{5}{2}x^2}{ x} = -\frac{5}{2}x\), also fügen wir diesen Begriff dem Quotienten hinzu.Außerdem multiplizieren wir dies mit dem Divisor, um \(\displaystyle -\frac{5}{2}x \cdot \left(x-1\right) = -\frac{5}{2}x^2+\frac{5}{2}x\) zu erhalten, was wir mit der aktuellen Erinnerung subtrahieren müssen:

\[\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{rcccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle -\frac{5}{2}x & \displaystyle &\\[0.3em] \hline x-1\,) & \displaystyle x^3 & \displaystyle -\frac{7}{2}x^2 & \displaystyle +\frac{7}{2}x & \displaystyle -1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle -x^3 & \displaystyle +x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{5}{2}x^2 & \displaystyle +\frac{7}{2}x & \displaystyle -1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle \frac{5}{2}x^2 & \displaystyle -\frac{5}{2}x & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle x & \displaystyle -1\\[0.3em] \end{array}\]

Schritt 3: Jetzt ist der führende Begriff des aktuellen Restes \(\displaystyle x-1\) \(\displaystyle x\) und wir wissen, dass der führende Begriff für den Divisor \(\displaystyle x\) ist.

Der Begriff, den wir also mit \(x\) multiplizieren müssen, um zum führenden Begriff des aktuellen Restes zu gelangen, lautet \(\displaystyle \frac{ x}{ x} = 1\), also fügen wir diesen Begriff dem Quotienten hinzu.Außerdem multiplizieren wir dies mit dem Divisor, um \(\displaystyle 1 \cdot \left(x-1\right) = x-1\) zu erhalten, was wir mit der aktuellen Erinnerung subtrahieren müssen:

\[\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{rcccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle -\frac{5}{2}x & \displaystyle +1&\\[0.3em] \hline x-1\,) & \displaystyle x^3 & \displaystyle -\frac{7}{2}x^2 & \displaystyle +\frac{7}{2}x & \displaystyle -1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle -x^3 & \displaystyle +x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{5}{2}x^2 & \displaystyle +\frac{7}{2}x & \displaystyle -1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle \frac{5}{2}x^2 & \displaystyle -\frac{5}{2}x & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle x & \displaystyle -1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -x & \displaystyle +1\\[0.3em] \hline \displaystyle & & & & 0\\[0.3em] \end{array}\]

Aus dem Abteilungsquotienten schließen wir daher, dass \(\displaystyle q(x) = x^2-\frac{5}{2}x+1\) mit einem Rest von \(\displaystyle r(x) = 0\).

Also werden wir: wir werden:

\[\displaystyle p(x) = x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1 = \left(x-1\right) \left(x^2-\frac{5}{2}x+1\right)\]

Aber die Gleichung \(\displaystyle x^2-\frac{5}{2}x+1\) ist quadratisch, sodass die Wurzeln direkt berechnet werden können.

Also müssen wir die Diskriminanz berechnen, um die Art der Wurzeln zu wissen.Die Formel für die Diskriminierung lautet:

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( -\frac{5}{2}\right)^2 - 4 \cdot \left(1\right)\cdot \left(1\right) = \frac{9}{4}\]

Wir sehen jedoch, dass die Diskriminante \(\Delta = \displaystyle \frac{9}{4} > 0\) ist, was positiv ist, und deshalb schließen wir, dass die Gleichung zwei verschiedene reale Wurzeln hat.

Jetzt schließen wir diese Werte an, um zu erhalten:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{\frac{5}{2} \pm \sqrt{\left(-\frac{5}{2}\right)^2-4\left(1\right)\left(1\right)}}{2\cdot 1} = \displaystyle \frac{\frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}}}{2}\]

Also finden wir das:

\[ x_1 = \frac{\frac{5}{2}}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{\frac{5}{2}}{2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}=\frac{5}{4}-\frac{3}{4}=\frac{1}{2} \] \[x_2 = \frac{\frac{5}{2}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{\frac{5}{2}}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}=\frac{5}{4}+\frac{3}{4}=2\]

Mit den Lösungen der obigen quadratischen Gleichung, die zwei reale Wurzeln aufweist, zersetzen wir das ursprüngliche Polynom weiter als: \(\displaystyle p(x) = x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1 = \left(x-1\right) \left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-2\right)\).

Fazit : Daher erreichen wir in diesem Fall eine volle Vereinfachung:

\[\displaystyle p(x) = x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1 = \left(x-1\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-2\right)\]

Basierend auf der obigen Faktorisierung sind die gefundenen Wurzeln: \(1\), \(\frac{1}{2}\) und \(2\).

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Es gibt viele Dinge, die Sie mit Polynom machen können, Sie können Grapienen sie Sie Sie können ihr Endverhalten analysieren, aber diese sind einfachere, Zubehöraufgaben für die Hauptaufgabe, die es ist Faktor ein Polynom und seine Wurzeln finden.

Das allgemeine Problem für höhere Grad ist kompliziert, und normalerweise reduzieren wir uns selbst quadratische funktionen und möglicherweise Kubik Funktionen Das haben bestimmte Symmetrien, die eine einfache Faktorierung ermöglichen.