Normaler wahrscheinlichkeitsrechner für abtastverteilungen


Anweisungen: Dieser Normalwahrscheinlichkeitsrechner für Stichprobenverteilungen berechnet Normalverteilungswahrscheinlichkeiten für Stichprobenmittelwerte Xˉ\bar X , indem er das unten stehende Formular verwendet. Bitte geben Sie den Mittelwert der Grundgesamtheit (μ\mu), die Standardabweichung der Grundgesamtheit (σ\sigma) und den Stichprobenumfang (nn) ein und machen Sie Angaben zu dem Ereignis, für das Sie die Wahrscheinlichkeit berechnen möchten (bei der Standardnormalverteilung ist der Mittelwert 0 und die Standardabweichung 1):

Mittelwert der Population (μ\mu)
Bevölkerung St. Dev. (σ\sigma)
Stichprobenumfang (nn)
Zweischwänzig:
Xˉ\le \bar X \le
Linksschwanzig:
Xˉ \bar X \le
Rechtsschwänzig:
Xˉ \bar X \ge

Mehr über dieses tool zur berechnung der wahrscheinlichkeit der normalverteilung für stichprobenverteilungen

Wenn eine Folge von normalverteilten Variablen X1,X2,....,XnX_1, X_2, ...., X_n gemittelt wird, erhält man den Stichprobenmittelwert

Xˉ=1ni=1nXi\bar X = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i

Da jede Linearkombination von Normalvariablen ebenfalls normalverteilt ist, ist auch der Stichprobenmittelwert Xˉ\bar X normalverteilt (unter der Annahme, dass jedes XiX_i normalverteilt ist). Die Verteilung von Xˉ\bar X wird im Allgemeinen als die Stichprobenverteilung der Mittelwerte der Stichprobe .

Eine andere Bezeichnung für die Normalverteilung ist die Gaußverteilung oder die glockenförmige Verteilung.

Normalverteilungsrechner

Wie berechnet man die stichprobenverteilung?

Angenommen, dass XiN(μ,σ2)X_i \sim N(\mu, \sigma^2) für alle i=1,2,3,...ni = 1, 2, 3, ...n normalverteilt ist, dann ist Xˉ\bar X normalverteilt mit demselben gemeinsamen Mittelwert μ\mu, aber mit einer Varianz von σ2n\displaystyle\frac{\sigma^2}{n}.

Daraus ergibt sich, dass Xˉ\bar X auch bei μ\mu zentriert ist, aber seine Streuung ist geringer als die für jedes einzelne Xi X_i . Je größer der Stichprobenumfang ist, desto geringer ist die Streuung von Xˉ\bar X.

Die formel der normalverteilung

Die Formel für die Normalverteilung ist eine relativ schwierige Formel, die Sie nicht manuell bearbeiten werden. Die Formel lautet:

f(x)=1σ2πe12(xμσ)2 f(x)=\frac{1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}} e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}

Die formel für die stichproben-normalverteilung

Der Schlüssel bei der Arbeit mit Stichprobenverteilungen ist die Tatsache, dass, wenn μ\mu der Mittelwert der Grundgesamtheit und σ\sigma die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist, dann

Xˉμσ \displaystyle \frac{\bar X - \mu}{\sigma}

hat eine Standardnormalverteilung. Dies ist von entscheidender Bedeutung, denn damit können wir alle Stichprobenverteilungen reduzieren auf standard-Normalwahrscheinlichkeitsberechnungen .

Vereinfacht ausgedrückt, reduzieren Sie die Berechnung einer beliebigen Normalverteilungswahrscheinlichkeit auf die berechnung von z-Scores .

Durch die Reduzierung aller Normalverteilungsberechnungen auf die Arbeit mit z-Werten benötigen Sie nur eine Standard-Normaltabelle, in der Sie die z-Werte finden, oder ein Tool wie diesen Rechner oder Excel.

Was ist der mittelwert der stichprobenverteilung

Der Mittelwert von Stichprobenverteilungen, μ(Xˉ)\mu(\bar X), ist derselbe wie der zugrunde liegende Mittelwert der Verteilung μ\mu.

Standardabweichung der stichprobenverteilung

Im Gegensatz zum Mittelwert kann die Standardabweichung der Stichprobenmittelwerte anhand der Formel berechnet werden:

s(Xˉ)=σns(\bar X) = \displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt n}

Rechner im zusammenhang mit der normalverteilung

Wenn Sie normale Wahrscheinlichkeiten für eine einzelne Beobachtung XX berechnen wollen, können Sie diesen Rechner mit n=1n=1 verwenden, oder Sie können unseren regulären Normalverteilungsrechner .

Oft ist man an dem umgekehrten Prozess interessiert: Bei einer gegebenen Wahrscheinlichkeit möchte man die Punktzahl finden, bei der die Wahrscheinlichkeit rechts von dieser Punktzahl die gegebene Wahrscheinlichkeit ist, wofür man eine invnorm-Rechner

Wenn Sie eine grafische Visualisierung benötigen, können Sie auch direkt unsere ersteller von Normalverteilungsgraphen .

Um zu beurteilen, ob eine Stichprobe tatsächlich einer Normalverteilung entstammt, können Sie auch eine normalwahrscheinlichkeitsdarstellung und sehen Sie sich das erhaltene Muster an. Wenn es ziemlich linear aussieht, deutet dies darauf hin, dass die Stichprobe wahrscheinlich aus einer normalverteilten Propulation stammt.

Abtastverteilungsrechner

Beispiel:

Frages : Betrachten wir eine Normalverteilung, bei der der Mittelwert der Grundgesamtheit 12 und die Standardabweichung der Grundgesamtheit 3,4 beträgt. Angenommen, Sie nehmen Stichproben mit dem Umfang n = 16. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Stichprobenmittelwerte im Intervall (11,3, 12,4) liegen?

Lösung:

Im Folgenden werden der Populationsmittelwert (μ)(\mu), die Populationsstandardabweichung (σ)(\sigma) und der Stichprobenumfang (n)(n) angegeben:

Population Mean (μ)(\mu) = 1212
Population Standard Deviation (σ)(\sigma) = 3.43.4
Sample Size (n)(n) = 1616
Event to compute its probability = 11.3Xˉ12.411.3 \leq \bar X \leq 12.4

Wir müssen Pr(11.3Xˉ12.4)\Pr(11.3 \leq \bar X \leq 12.4) berechnen. Die entsprechenden zu berechnenden z-Werte sind:

Zlower=X1μσ/n=11.3123.4/16=0.82Z_{lower} = \frac{X_1 - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{ 11.3 - 12}{ 3.4/\sqrt{16}} = -0.82 Zupper=X2μσ/n=12.4123.4/16=0.47Z_{upper} = \frac{X_2 - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{ 12.4 - 12}{ 3.4/\sqrt{16}}= 0.47

Unter Verwendung der Eigenschaften der Normalverteilung, wenn X N(μ,σ)X ~ N(\mu, \sigma), dann haben die Variablen Zlower=X1μσ/nZ_{lower} = \displaystyle \frac{X_1 - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} und Zupper=X2μσ/nZ_{upper} = \displaystyle \frac{X_2 - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} eine Standardnormalverteilung. Daher wird die Wahrscheinlichkeit wie folgt berechnet:

Pr(11.3Xˉ12.4)=Pr(11.3123.4/16Xˉ123.4/1612.4123.4/16)=Pr(11.3123.4/16Z12.4123.4/16)=Pr(0.82Z0.47)=Pr(Z0.47)Pr(Z0.82)=0.6810.2051=0.4759 \begin{array}{ccl} \Pr(11.3 \leq \bar X \leq 12.4) & = & \Pr\left(\displaystyle \frac{ 11.3 - 12}{ 3.4 / \sqrt{ 16}} \leq \frac{ \bar X - 12}{ 3.4 / \sqrt{ 16}} \leq \frac{ 12.4 - 12}{ 3.4 / \sqrt{ 16}}\right) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle\Pr\left(\frac{ 11.3 - 12}{ 3.4 / \sqrt{ 16}} \leq Z \leq \frac{ 12.4 - 12}{ 3.4 / \sqrt{ 16}}\right) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \Pr\left(-0.82 \leq Z \leq 0.47\right) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \Pr\left(Z \leq 0.47\right) - \Pr\left(Z \leq -0.82\right) \\\\ \\\\ & = & 0.681 - 0.2051 \\\\ \\\\ & = & 0.4759 \end{array}

Auf der Grundlage der vorgelegten Informationen wird daher der Schluss gezogen, dass Pr(11.3Xˉ12.4)=0.4759 \Pr(11.3 \leq \bar X \leq 12.4) = 0.4759.

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