Math Cracks - Ein cooler Ansatz zur Integration von Teilen

Einführung

Die Idee der Teilintegration klingt für viele Calculus-Studenten ziemlich beängstigend, und ich denke, dafür gibt es einen guten Grund. Zuallererst ist die Integration nach Teilen eine Technik, die zwei Schritte (oder mehr) anstelle eines Schritts umfasst, wie es die meisten Schüler möchten. Die Schüler möchten eine Formel anwenden und die Antwort sofort erhalten, aber in Calculus kommen die Antworten oft nach einer Abfolge (manchmal einer langen) von Schritten.

Abgesehen von der Substitutionsmethode ist die Methode der Integration nach Teilen die wichtigste Methode, um Integrale zu lösen, die nicht elementar sind.

Zunächst einmal ist einer der Gründe, warum Integralrechnung für Studenten normalerweise schwierig ist, die eher unglückliche Notation, die für die Integration verwendet wird. Tatsächlich sehen wir uns bei der Berechnung des unbestimmten Integrals einer Funktion \(f\left( x \right)\) der folgenden Notation gegenüber

\[\int{f\left( x \right)dx}\] What many students do not understand is what is really meant by the "\(dx\)" in the expression above. Clearly, there are historical reasons why the "\(dx\)" appears in the notation stated above. But, actually there is no reason to include \(dx\) or even to add \(f\left( x \right)\). When we want to compute the indefinite integral of a function \(f\), we should be able to simply write \[\int{f}\] and that way we are stating the indefinite integral of the function \(f\).

Sind diese gleich?

\[\int{f\left( x \right)dx}=\int{f\left( u \right)du}\]

Absolut! Aus diesem Grund wird die Integrationsvariable (x bzw. u) manchmal als "Dummy" -Variable bezeichnet, da sie im Integrationsprozess keine wirkliche Rolle spielt.

Integration nach Teilen als umgekehrte Produktregel

Nach einer kurzen Einführung kommen wir nun zur Sache. Die typische Formel für die Integration nach Teilen in Lehrbüchern lautet

\[\int{udv}=uv-\int{vdu} \,\,\,\,\,(1)\]

Dann sagst du: "Huh? Was ist das?" Ohne den obigen \(u\) und \(dv\) eine Bedeutung zu geben, ist es offensichtlich schwer zu verstehen, worum es geht. Eine Frage, die Sie haben können, lautet: Warum umfasst die Formel für die Integration nach Teilen dvs und du's, wenn diese nicht einmal eine Rolle im Integrationsprozess spielen, wie in der Einleitung gezeigt?

Die Antwort ist einfach: Im Kontext der obigen Formel zur Integration nach Teilen sind \(du\) und \(dv\) keine "Dummy-Variablen", sondern Funktionen. Mnemonisch gesehen ist das Obige gut, um eine Integration durch Teileübung zu lösen, aber es ist nicht gut zu verstehen, warum es tatsächlich wahr ist oder warum es funktioniert.

Geben Sie die Produktregel ein:

Die Produktregel besagt:

\[\frac{d}{dx}\left( fg \right)=\frac{df}{dx}g+f\frac{dg}{dx} \,\,\,\,\,(2)\]

Kurz gesagt, ich schreibe lieber

\[\left( fg \right)'=f'g+fg' \,\,\,\,\,(3)\]

Aber warte! Integrieren wir uns nicht in diesen Artikel? Warum rufe ich eine Differenzierungsregel auf? Hum, wäre es nicht großartig, Produktregeln auch für Integrale zu haben? Wäre es nicht toll, wenn \(\int{f'g'}=f\,g + C\)? Leider nicht, ABER es gibt immer noch eine Produktregel für Integrale, nur dass sie etwas komplizierter ist.

Lassen Sie uns Gleichung (3) neu ordnen, wir erhalten:

\[fg'=\left( fg \right)'-f'g \,\,\,\,\,(4)\]

Wenn wir also beide Seiten der oben genannten Gleichheit integrieren, erhalten wir

\[\int{fg'}=\int{\left( \left( fg \right)'-f'g \right)}\]

was durch Linearität der Integration zu führt

\[\int{f\,g'}=f\,g-\int{f'g} \,\,\,\,\,(5)\]

Und hier, meine Freunde, haben Sie Ihre Integration nach Teilregel. Die Integration nach Teilen sollte als cooles Integrationswerkzeug angesehen werden, mit dem ich das Produkt zweier Funktionen integrieren kann. Es ist jedoch etwas restriktiver, da es das Produkt zweier Funktionen ist, ABER eine der Funktionen muss eine Ableitung der SOME-Funktion sein.

Um die Regel der Integration nach Teilen fruchtbar anzuwenden, müssen drei Dinge geschehen:

Ich versuche, das Produkt von ZWEI Funktionen zu integrieren.
Eine dieser Funktionen ist eine Ableitung von etwas (also von der Form \(g'\)).
Ich muss wissen, wie man das berechnet (ich muss wissen, wer \(g\) ist)

Wenn diese drei Bedingungen eintreten, kann ich die Regel für die Integration nach Teilen verwenden

ERINNERN SIE SICH: Wenn Sie die Integration nach Teilen verwenden, müssen Sie das Produkt zweier Funktionen haben, und eine dieser beiden Funktionen muss die Ableitung von etwas sein, das Sie kennen.

Lassen Sie uns beispielsweise sehen, wann Sie die Integration nach Teilen nicht anwenden können: Betrachten Sie das folgende Integral

\[\int{\sin \left( {{x}^{2}} \right){{e}^{{{x}^{2}}}}}\]

In diesem Fall versuchen wir, das Produkt zweier Funktionen zu integrieren: \(\sin \left( {{x}^{2}} \right)\) und \({{e}^{{{x}^{2}}}}\), aber wissen Sie, was das Antiderivativ einer dieser beiden Funktionen ist? Oder mit anderen Worten, wissen Sie, welche Funktionen nach der Differenzierung zu \(\sin \left( {{x}^{2}} \right)\) oder \({{e}^{{{x}^{2}}}}\) führen? Gut. Nein. Diese beiden Funktionen haben keine elementaren Antiderivative, daher würde die Integration nach Teilen in diesem Fall nicht helfen.

Nun ein Beispiel, bei dem die Integration nach Teilen verwendet werden KÖNNTE:

\[\int{{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx}\]

In diesem Fall versuchen wir, das Produkt aus zwei Funktionen zu integrieren: \({{x}^{2}}\) und \({{e}^{{{x}^{2}}}}\), und ich weiß, was das Antiderivativ von \({{x}^{2}}\) ist. Also kann ich die Regel anwenden. Wir haben die folgende Notation:

\[\int{{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx}=\int{\underbrace{{{e}^{{{x}^{2}}}}}_{f\left( x \right)}\underbrace{{{x}^{2}}dx}_{g'\left( x \right)}}\]

Also haben wir

\[\begin{aligned} & f\left( x \right)={{e}^{{{x}^{2}}}} \\ & g'\left( x \right)={{x}^{2}} \\ \end{aligned}\]

Durch Differenzieren von \(f\) und Integrieren von \(g'\) erhalten wir:

\[\begin{aligned} & f\left( x \right)=2x{{e}^{{{x}^{2}}}} \\ & g\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{3} \\ \end{aligned}\]

(Beachten Sie, dass das oben angegebene \(g\left( x \right)\) ein mögliches Antiderivativ ist, aber die Regel lautet, dass ich JEDES Antiderivativ wählen kann, also wähle ich das einfachste). Die Integration nach Teilen ist

\[\int{f\,g'}=f\,g-\int{f'g}\]

Wenn wir also die Informationen, die wir haben, einstecken, erhalten wir Folgendes:

\[\int{{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx\,}={{e}^{{{x}^{2}}}}\frac{{{x}^{3}}}{3}-\int{2x{{e}^{{{x}^{2}}}}\frac{{{x}^{3}}}{3}dx}\] \[\Rightarrow \,\,\,\int{{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx\,}=\frac{{{e}^{{{x}^{2}}}}{{x}^{3}}}{3}-\frac{2}{3}\int{{{x}^{4}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx}\]

Also habe ich die obige Regel zur Integration nach Teilen verwendet, aber tatsächlich bin ich in ein schwieriger zu integrierendes Integral geraten. Dies ist, um \(\int{{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx\,}\) zu lösen, müssen wir zuerst wissen, wie man \(\int{{{x}^{4}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx}\) berechnet, was tatsächlich schwieriger ist.

Die Moral dieser Geschichte ist, dass die Integration nach Teilen eine Art Produktregel für Integrale ist und Sie nach einer bestimmten Struktur suchen: Sie ist das Integral des Produkts zweier Funktionen und eine dieser Funktionen, die Sie kennen müssen sein Antiderivativ zu berechnen. In diesem Fall sind Sie im Geschäft und können die Regel für die Integration nach Teilen anwenden.

ABER, wie im vorherigen Beispiel zu sehen war, bedeutet die Tatsache, dass Sie die Integration nach Teilen verwenden können, NICHT, dass dies jedes Mal nützlich sein wird.