Restsatzrechner

Dieser Taschenrechner kann Ihnen helfen, den Rest -Theorem effizient und einfach zu verwenden.Um es zu verwenden, müssen Sie ein gültiges Polynom (z.Polynom bei.

Das bereitgestellte Polynom kann eine haben Absolvent, sie Wünschen , solange es ein gültiges Polynom ist.Es kann Ganzzahl- oder Bruchkoeffizienten haben, oder letztendlich kann jeder gültige numerische Ausdruck ein Koeffizienten sein (wie SQRT (2)).Das von Ihnen bereitgestellte Polyonomien kann vereinfacht werden oder nicht, es spielt keine Rolle, wie der Taschenrechner wird Vereinfachen Sie das Polynom Erstens, falls erforderlich.

Sobald ein gültiges Polynom zur Verfügung gestellt wurde und ein gültiger numerischer Ausdruck zur Bewertung bei der Bewertung der Taste "Berechnen" werden, werden Ihnen alle Schritte des Prozesses zur Verfügung gestellt.

Das Restsatz ist in der Algebra von größter Bedeutung, also werden Sie nützlich sein, diesen Taschenrechner zu haben, um den Prozess viel einfacher zu machen.

Was ist der restsatz

Der Rest -Theorem ist ein wichtiger Theorem, der besagt, dass Sie bei der Aufteilung von zwei Polynomen einen Quotienten und einen Rest finden, beide Polynome.

Dies bringt Erinnerungen an die Zahlenteilung: Wenn Sie zwei Zahlen teilen, finden Sie einen Quotienten und einen Rest, mit der fantastischen Eigenschaft, dass der Rest weniger als der Divisor ist.Genau das gleiche passiert bei Polynomen, nur dass in diesem Fall der Grad des Restes niedriger ist als der Grad des Divisors.

Wir müssen es mathematisch ausdrücken: Angenommen, Sie haben ein Polynom \(p(x)\) und möchten es durch \(s(x)\) teilen.Der Rest -Theorem gibt an, dass es einen Quotienten gibt \(q(x)\) und einen Rest \(r(x\) mit Eigenschaft, die

\[\displaystyle \frac{p(x)}{s(x)} = q(x) + \frac{r(x)}{s(x)} \]

wo der Grad des Restes \(r(x)\) geringer ist als der Grad des Divisors \(s(x)\).Dieser Quotient und dieser Rest können mit Hilfe der gefunden werden Lange Teilung der Polynom .

Der andere Winkel des Restsatzes ist, dass der obige Ausdruck als umgeschrieben werden kann

\[\displaystyle p(x) = q(x)s(x) + r(x)\]

Wenn der Divisor nun bestellt hat 1, sagen \(s(x) = x-a\), wird der Rest -Theorem

\[\displaystyle p(x) = q(x)(x-a) + r\]

Jetzt wird \(r(x)\) zu einer konstanten \(r(x) = r\), da der Divisor Grad 1 hat und der Rest Grad Null haben muss, was bedeutet, dass der Rest konstant ist.

Also führt das Einstecken von x = a in der obigen Formel zu

\[\displaystyle p(a) = q(a)(a-a) + r = q(a)\cdot 0 + r = r\]

Die Schlussfolgerung und das Ergebnis des Restsatzes sind, dass P (a) der Rest des Teilens von P (x) durch (x-a) ist, was verwendet werden kann Synthetische Abteilung .Dieser Prozess der indirekten Bewertung des Polynoms zu einem Wert wird genannt Synthetische Substitution .

Schritte zur verwendung des restsatzes

• Schritt 1: Identifizieren Sie das Polynom p (x) und den Divisor S (x)
• Schritt 2: Wenn Sie den Quotienten und den Rest finden möchten, können Sie im Allgemeinen die Long Division -Methode verwenden
• Schritt 3: Wenn Sie P (x) an einem Punkt x = a bewerten möchten, teilen Sie einfach P (x) nach X-A mit der synthetischen Teilungsmethode auf

Wie Sie sehen können, hängen der Rest -Theorem, die Teilung von Polynomen, die synthetische Teilung und die lange Teilung eng miteinander verbunden und unterschiedliche Seiten desselben Objekts.

Wie profitieren sie mit dem rest -theorem?

Der Restsatz wird in vielen Fähigkeiten verwendet.Am typischsten wird es verwendet Bewerten Sie ein Polynom Bei einem gegebenen Wert x = a und spezifisch bestimmen Sie, ob es sich um eine Wurzel des Polynoms handelt (wenn p (a) = 0).

Insgesamt gibt Ihnen der Rest -Theorem die Flexibilität, Wurzeln zu erkennen, was zum Zeitpunkt der Berücksichtigung von Polynomen eine entscheidende Fähigkeit ist.

Tipps für den erfolg

Normalerweise ist es bei der Arbeit mit Polynomen bequemer, synthetische Substitution als direkte Bewertung zu verwenden, insbesondere wenn Sie von Hand arbeiten.

Fehler mit Anzeichen vermeiden und vorsichtig sein mit Pemdas Regeln Kann Ihre Chancen erhöhen, den Satz richtig anzuwenden.

Beispiel: der restsatz und synthetische substitution

Finden Sie mit synthetischer Substitution \(p\left(\frac{1}{2}\right)\) für das Polynom \(p(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x - 3\)

Lösung: Wir haben \(\displaystyle p(x) = 2x^3-3x^2+2x-3\) und wir müssen es unter \(\displaystyle x = \frac{1}{2}\) bewertet, und für welchen Zweck werden wir den Rest -Theorem verwenden.

Also teilen wir: \(\displaystyle p(x) = 2x^3-3x^2+2x-3\) durch den Divisor \(\displaystyle s = x-\frac{1}{2}\) und dann finden wir den Rest.

Schritt 1: Durch die Lösung \(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{2} = 0\) finden wir direkt, dass die Nummer, die in das Divisionsfeld eingebracht werden soll,: \(\displaystyle \frac{1}{2}\).

\[\begin{array}{c|ccc} \frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & \end{array}\]

Schritt 2: Jetzt übergeben wir direkt den führenden Begriff \(\displaystyle 2\) an die Ergebniszeile:

\[\begin{array}{c|ccc} \frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline &\displaystyle 2&&& \end{array}\]

Schritt 3: Multiplizieren Sie den Begriff im Divisionsfeld mit dem Ergebnis in Spalte 1: \(\frac{1}{2} \cdot \left(2\right) = 1\) und dieses Ergebnis wird in der Ergebniszeile Spalte1 eingefügt.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & \\[0.6em]\hline&\displaystyle 2&&&\end{array}\]

Schritt 4: Fügen Sie nun die Werte in Spalte 2 hinzu: \( \displaystyle -3+1 = -2\) und dieses Ergebnis wird in der Ergebniszeile Spalte2 eingefügt.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & \\[0.6em]\hline& 2 & -2 & \end{array}\]

Schritt 5: Multiplizieren Sie den Begriff im Divisionsfeld mit dem Ergebnis in Spalte 2: \(\frac{1}{2} \cdot \left(-2\right) = -1\) und dieses Ergebnis wird in der Ergebniszeile in Spalte2 eingefügt.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & -1\\[0.6em]\hline& 2 & -2 & \end{array}\]

Schritt 6: Fügen Sie nun die Werte in Spalte 3 hinzu: \( \displaystyle 2-1 = 1\) und dieses Ergebnis wird in der Ergebniszeile Spalte3 eingefügt.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & -1\\[0.6em]\hline& 2 & -2 & 1\end{array}\]

Schritt 7: Multiplizieren Sie den Begriff im Divisionsfeld mit dem Ergebnis in Spalte 3: \(\frac{1}{2} \cdot \left(1\right) = \frac{1}{2}\) und dieses Ergebnis wird in der Ergebniszeile in Spalte3 eingefügt.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & -1 & \frac{1}{2}\\[0.6em]\hline& 2 & -2 & 1\end{array}\]

Schritt 8: Fügen Sie nun die Werte in Spalte 4 hinzu: \( \displaystyle -3+\frac{1}{2} = -2\) und dieses Ergebnis wird in der Ergebniszeile Spalte4 eingefügt.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & -1 & \frac{1}{2}\\[0.6em]\hline& 2 & -2 & 1 & -2\end{array}\]

Fazit: Daher und die Verwendung des Rest -Theorems schließen wir, dass für die gegebene Dividende \(\displaystyle p(x) = 2x^3-3x^2+2x-3\) und Divisor \(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{2}\) wir bekommen, dass der Rest \(\displaystyle r(x) = -2\) ist, also schließen wir, dass \(\displaystyle p\left(\frac{1}{2}\right) = -2\).

Beispiel: verwenden des restsatzes

Betrachten Sie das folgende Polynom von Grad 4: \(p(x) = x^4 - 3x^2 + 2x - 1\).Verwenden Sie den Rest -Theorem, um \(p(-1)\) zu berechnen.

Lösung: Das folgende Polynom wurde bereitgestellt: \(\displaystyle p(x) = x^4-3x^2+2x-1\), das am Punkt unter Verwendung des restlichen Theorems bewertet werden muss.

Um den Rest -Theorem zu verwenden, müssen wir die synthetische Substitution durchführen, für die wir eine synthetische Aufteilung von: \(\displaystyle p(x) = x^4-3x^2+2x-1\) und den Divisor \(\displaystyle s = x+1\) durchführen müssen und dann den Rest finden.

Beachten Sie, dass der Grad der Dividende \(\displaystyle deg(p) = 4\) ist, während der Grad des Divisors \(\displaystyle deg(s)) = 1\) ist.

Schritt 1: Da der Divisor einen Abschluss 1 hat, können wir die synthetische Teilungsmethode verwenden.Durch die Lösung \(\displaystyle s(x) = x+1 = 0\) finden wir direkt, dass die Nummer, die in das Divisionsfeld eingebracht werden soll,: \(\displaystyle -1\).

\[\begin{array}{c|cccc} -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & & \end{array}\]

Schritt 2: Jetzt übergeben wir direkt den führenden Begriff \(\displaystyle 1\) an die Ergebniszeile:

\[\begin{array}{c|cccc} -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline &\displaystyle 1&&&& \end{array}\]

Schritt 3: Multiplizieren Sie den Begriff im Divisionsfeld mit dem Ergebnis in Spalte 1: \(-1 \cdot \left(1\right) = -1\) und dieses Ergebnis wird in der Ergebniszeile Spalte1 eingefügt.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & & \\[0.6em]\hline&\displaystyle 1&&&&\end{array}\]

Schritt 4: Fügen Sie nun die Werte in Spalte 2 hinzu: \( \displaystyle 0-1 = -1\) und dieses Ergebnis wird in der Ergebniszeile Spalte2 eingefügt.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & & \\[0.6em]\hline& 1 & -1 & & \end{array}\]

Schritt 5: Multiplizieren Sie den Begriff im Divisionsfeld mit dem Ergebnis in Spalte 2: \(-1 \cdot \left(-1\right) = 1\) und dieses Ergebnis wird in der Ergebniszeile in Spalte2 eingefügt.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & \\[0.6em]\hline& 1 & -1 & & \end{array}\]

Schritt 6: Fügen Sie nun die Werte in Spalte 3 hinzu: \( \displaystyle -3+1 = -2\) und dieses Ergebnis wird in der Ergebniszeile Spalte3 eingefügt.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & \\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & \end{array}\]

Schritt 7: Multiplizieren Sie den Begriff im Divisionsfeld mit dem Ergebnis in Spalte 3: \(-1 \cdot \left(-2\right) = 2\) und dieses Ergebnis wird in der Ergebniszeile in Spalte3 eingefügt.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & 2\\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & \end{array}\]

Schritt 8: Fügen Sie nun die Werte in Spalte 4 hinzu: \( \displaystyle 2+2 = 4\) und dieses Ergebnis wird in der Ergebniszeile Spalte4 eingefügt.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & 2\\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & 4\end{array}\]

Schritt 9: Multiplizieren Sie den Begriff im Divisionsfeld mit dem Ergebnis in Spalte 4: \(-1 \cdot \left(4\right) = -4\) und dieses Ergebnis wird in der Ergebniszeile in Spalte 4 eingefügt.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & 2 & -4\\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & 4\end{array}\]

Schritt 10: Fügen Sie nun die Werte in Spalte 5 hinzu: \( \displaystyle -1-4 = -5\) und dieses Ergebnis wird in der Ergebniszeile Spalte5 eingefügt.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & 2 & -4\\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & 4 & -5\end{array}\]

Dies schließt diese Berechnung ab, da wir in der letzten Spalte, die den Rest enthält, zum Ergebnis angekommen sind.

Fazit: Daher und die Verwendung des Rest -Theorems schließen wir, dass für die gegebene Dividende \(\displaystyle p(x) = x^4-3x^2+2x-1\) und Divisor \(\displaystyle s(x) = x+1\) wir bekommen, dass der Rest \(\displaystyle r(x) = -5\) ist, also schließen wir, dass \(\displaystyle p\left(-1\right) = -5\).

Beispiel: ein weiterer rest -theorem -anwendung

Ist x = 3 eine Wurzel des Polynoms \( p(x) = x^3 - x^2 + x - 2\)?

Lösung: Wir haben \(\displaystyle p(x) = x^3-x^2+x-2\) und wir werden dieses Polynom im Punkt \(\displaystyle x = 3\) bewerten, um festzustellen, ob es sich um eine Wurzel handelt.

Also verwenden wir die Dividende \(\displaystyle p(x) = x^3-x^2+x-2\) und den Divisor \(\displaystyle s = x-3\) und dann müssen wir den Rest finden.

Schritt 1: Da der Divisor einen Abschluss 1 hat, können wir die synthetische Teilungsmethode verwenden.Durch die Lösung \(\displaystyle s(x) = x-3 = 0\) finden wir direkt, dass die Nummer, die in das Divisionsfeld eingebracht werden soll,: \(\displaystyle 3\).

\[\begin{array}{c|ccc} 3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & \end{array}\]

Schritt 2: Jetzt übergeben wir direkt den führenden Begriff \(\displaystyle 1\) an die Ergebniszeile:

\[\begin{array}{c|ccc} 3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline &\displaystyle 1&&& \end{array}\]

Schritt 3: Multiplizieren Sie den Begriff im Divisionsfeld mit dem Ergebnis in Spalte 1: \(3 \cdot \left(1\right) = 3\) und dieses Ergebnis wird in der Ergebniszeile Spalte1 eingefügt.

\[\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & \\[0.6em]\hline&\displaystyle 1&&&\end{array}\]

Schritt 4: Fügen Sie nun die Werte in Spalte 2 hinzu: \( \displaystyle -1+3 = 2\) und dieses Ergebnis wird in der Ergebniszeile Spalte2 eingefügt.

\[\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & \\[0.6em]\hline& 1 & 2 & \end{array}\]

Schritt 5: Multiplizieren Sie den Begriff im Divisionsfeld mit dem Ergebnis in Spalte 2: \(3 \cdot \left(2\right) = 6\) und dieses Ergebnis wird in der Ergebniszeile in Spalte2 eingefügt.

\[\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & 6\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & \end{array}\]

Schritt 6: Fügen Sie nun die Werte in Spalte 3 hinzu: \( \displaystyle 1+6 = 7\) und dieses Ergebnis wird in der Ergebniszeile Spalte3 eingefügt.

\[\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & 6\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & 7\end{array}\]

Schritt 7: Multiplizieren Sie den Begriff im Divisionsfeld mit dem Ergebnis in Spalte 3: \(3 \cdot \left(7\right) = 21\) und dieses Ergebnis wird in der Ergebniszeile in Spalte3 eingefügt.

\[\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & 6 & 21\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & 7\end{array}\]

Schritt 8: Fügen Sie nun die Werte in Spalte 4 hinzu: \( \displaystyle -2+21 = 19\) und dieses Ergebnis wird in der Ergebniszeile Spalte4 eingefügt.

\[\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & 6 & 21\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & 7 & 19\end{array}\]

Fazit: Daher und die Verwendung des Rest -Theorems schließen wir, dass für die gegebene Dividende \(\displaystyle p(x) = x^3-x^2+x-2\) und Divisor \(\displaystyle s(x) = x-3\) wir bekommen, dass der Rest \(\displaystyle r(x) = 19\) ist, also schließen wir, dass \(\displaystyle p\left(3\right) = 19\).Da \(\displaystyle p\left(3\right) = 19 \ne 0\) schließen wir, dass \(x = 3\) keine Wurzel des Polynoms ist.

Weitere algebra -taschenrechner

Algebra konzentriert sich auf die Studie und Berechnung von Polynomen .Dies ist deutlich zu erkennen, wenn wir erkennen, dass der grundlegende Theorem des Kalküls um die Wurzeln eines Generals geht Polynom des Klassen n

Beachten Sie, wie der Restsatz durch direkte Verwendung der verwendet werden kann synthetische Substitutionen Methode , was wiederum verwendet wird Synthetische Aufteilung von Polynomen .Also dann klar die Restsatz sowie die Aufteilung von Polynomen sind eng miteinander verbunden mit Wurzeln von Polynomen fandden .