Quadratische gleichungen durch factoring lösen

Mit diesem Rechner können Sie eine von Ihnen bereitgestellte quadratische Gleichung berücksichtigen und alle Schritte des Prozesses anzeigen.Sie müssen lediglich eine gültige quadratische Gleichung bereitstellen.

Ein Beispiel für eine gültige quadratische Gleichung ist 2x² + 5x + 1 = 0. Sie können auch eine quadratische Gleichung bereitstellen, die nicht vollständig vereinfacht wird, wie zum Beispiel x² - 3/4 x + 2 = 3x - 2x², und dieser Rechner wirdVereinfachen Sie es für Sie.

Sobald Sie eine gültige quadratische Gleichung bereitgestellt haben, müssen Sie auf "Berechnen" klicken, und alle Schritte des Prozesses werden Ihnen angezeigt.

Die Faktorierung quadratischer Gleichungen ist eine der Methoden zum Auffinden von Wurzeln, wird jedoch als eher "naive" Methode angesehen, da es sich um eine "Versuchs -Test" -Methode handelt, die nur für Ganzzahl- und Bruchwurzeln gut funktioniert.

Wie kann man quadratische gleichungen berücksichtigen?

Der Prozess ist einfach, hat jedoch nur begrenzte potenzielle Ergebnisse, da er nur potenziell in Ordnung funktioniert, wenn die quadratische Gleichung sehr einfache Wurzeln hat:

Was sind die schritte zur lösung quadratischer gleichungen durch factoring?

• Schritt 1: Identifizieren Sie die quadratische Gleichung, die Sie lösen möchten, und vereinfachen Sie sie in der Form AX² + BX + C = 0
• Schritt 2: Untersuchen Sie die Koeffizienten A und c.Wenn sie nicht ganzzahlig sind, sind Ihre Änderungen an "Vermutungen" die Faktoren Nill
• Schritt 3: Wenn die Koeffizienten A und C Ganzzahl sind, finden Sie ihre Ganzzahl -Divisors a ₁ , a ₂ , ...., und C ₁ , c ₂ , ... usw. Sie werden versuchen, eine Lösung der Gleichung zu erraten, die die Fraktionen des Formulars C testet _ich /a _k
• Schritt 4: Wurzeln r₁ und r₂ mit dieser Methode führen zu einer Faktorisierung der Form AX² + BX + C = A (x - r₁) (x - r₂) = 0

Die Einschränkung dieser Methode besteht darin, dass Sie die Lösungen möglicherweise nicht erraten können, da die Lösungen möglicherweise nicht rational sind.Mit anderen Worten, es gibt keine einfache Formel Zum Faktor Sie folgen lieber einem Ratenprozess.

Unabhängig von seinen Einschränkungen ist die quadratische Lösungsgleichungen mit Factoring nun eine gute und schnelle Alternative, wenn die Wurzeln zur Gleichung sehr einfach sind.

Warum sollte es sich darum kümmern, quadratische brüche zu berücksichtigen?

Factoring spielt eine sehr wichtige Rolle in verschiedenen Kontexten, und letztendlich beruht die Lösung einer allgemeinen quadratischen Gleichung auf einem anspruchsvollen und eleganten Faktorierungsprozess.

Oft verwenden Sie die Factoring innerhalb einer Gleichung nicht unbedingt, um die Gleichung zu lösen, sondern um Gruppenbegriffe zu gruppieren.

Beispiel: quadratische gleichungen berücksichtigen

Lösen Sie die folgende Gleichung durch Factoring \(4x^2 + 4x + 1 = 0\)

Lösung:

Wir müssen versuchen, die folgende quadratische Gleichung zu lösen \(\displaystyle 4x^2+4x+1=0\) durch Factoring.

In diesem Fall haben wir, dass die Gleichung, die wir versuchen müssen, um zu fördern, \(\displaystyle 4x^2+4x+1 = 0\) ist, was impliziert, dass entsprechende Koeffizienten sind:

\[a = 4\] \[b = 4\] \[c = 1\]

Jetzt müssen wir die Ganzzahl -Zahlen finden, die \(a\) und \(c\) teilen, mit denen unsere Kandidaten zu Faktoren konstruiert werden.

Die Trenner von \(a = 4\) sind: \(\pm 1,\pm 2,\pm 4\).

Die Trenner von \(c = 1\) sind: \(\pm 1\).

Daher finden wir durch jeden Teiler von \(a = 4\) die folgende Liste von Kandidaten als Faktoren:

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 1}{ 2},\pm \frac{ 1}{ 4}\]

Jetzt müssen alle Kandidaten getestet werden, um festzustellen, ob sie eine Lösung sind.Das Folgende erfolgt aus dem Testen der einzelnen Kandidaten:

\[\begin{array}{cccccccc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle 4 \left(-1\right)^2+4 \left(-1\right)+1 & = & \displaystyle 1 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 4 \left(1\right)^2+4 \left(1\right)+1 & = & \displaystyle 9 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{2} &:&    & \displaystyle 4 \left(-\frac{1}{2}\right)^2+4 \left(-\frac{1}{2}\right)+1 & = & \displaystyle 0 = 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{2} &:&    & \displaystyle 4 \left(\frac{1}{2}\right)^2+4 \left(\frac{1}{2}\right)+1 & = & \displaystyle 4 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{4} &:&    & \displaystyle 4 \left(-\frac{1}{4}\right)^2+4 \left(-\frac{1}{4}\right)+1 & = & \displaystyle \frac{1}{4} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{4} &:&    & \displaystyle 4 \left(\frac{1}{4}\right)^2+4 \left(\frac{1}{4}\right)+1 & = & \displaystyle \frac{9}{4} \ne 0 \\\\ \end{array}\]

Also stellt sich also nur einer der Kandidaten, \(x = \displaystyle -\frac{1}{2}\) als Wurzel heraus, sodass die angegebene quadratische Gleichung als \( 4 \left(x+\frac{1}{2}\right)^2 = 0\) berücksichtigt werden kann.

Beispiel: quadratische gleichungen durch factoring lösen

Lösen Sie die folgende quadratische Gleichung durch Factoring \(x^2 + 5x + 6 = 0\)

Lösung: Wir müssen versuchen, \(\displaystyle x^2+5x+6 = 0\) zu berücksichtigen, daher sind entsprechende Koeffizienten:

\[a = 1\] \[b = 5\] \[c = 6\]

Jetzt müssen wir die Ganzzahl -Zahlen finden, die \(a\) und \(c\) teilen, mit denen unsere Kandidaten zu Faktoren konstruiert werden.

Die Trenner von \(a = 1\) sind: \(\pm 1\).

Die Trenner von \(c = 6\) sind: \(\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6\).

Daher finden wir durch jeden Teiler von \(a = 1\) die folgende Liste von Kandidaten als Faktoren:

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 2}{ 1},\pm \frac{ 3}{ 1},\pm \frac{ 6}{ 1}\]

Jetzt müssen alle Kandidaten getestet werden, um festzustellen, ob sie eine Lösung sind.Das Folgende erfolgt aus dem Testen der einzelnen Kandidaten:

\[\begin{array}{cccccccc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle 1 \left(-1\right)^2+5 \left(-1\right)+6 & = & \displaystyle 2 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 1 \left(1\right)^2+5 \left(1\right)+6 & = & \displaystyle 12 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -2 &:&    & \displaystyle 1 \left(-2\right)^2+5 \left(-2\right)+6 & = & \displaystyle 0 = 0 \\\\ x & = & \displaystyle 2 &:&    & \displaystyle 1 \left(2\right)^2+5 \left(2\right)+6 & = & \displaystyle 20 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -3 &:&    & \displaystyle 1 \left(-3\right)^2+5 \left(-3\right)+6 & = & \displaystyle 0 = 0 \\\\ x & = & \displaystyle 3 &:&    & \displaystyle 1 \left(3\right)^2+5 \left(3\right)+6 & = & \displaystyle 30 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -6 &:&    & \displaystyle 1 \left(-6\right)^2+5 \left(-6\right)+6 & = & \displaystyle 12 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 6 &:&    & \displaystyle 1 \left(6\right)^2+5 \left(6\right)+6 & = & \displaystyle 72 \ne 0 \\\\ \end{array}\]

Zwei der Kandidaten stellen sich also als Wurzeln heraus, \(x_1 = \displaystyle -2\) und \(x = \displaystyle -3\), also haben wir unsere Lösungen gefunden, und wir können die angegebene Gleichung als \( \displaystyle \left(x+2\right)\left(x+3\right) = 0\) berücksichtigen.

Andere nützliche quadratische taschenrechner

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