Acerca de las ecuaciones polinómicas

Usa esta calculadora para ayudarte a resolver ecuaciones polinómicas, mostrando todos los pasos del proceso. La ecuación que proporcione puede tener términos polinómicos a la izquierda y a la derecha de la ecuación.

Por ejemplo, puede proporcionar una ecuación como 3x^3 - 2x = 1 + x, que podría derivarse al tratar de encontrar la intersección de las gráficas de una función cúbica y lineal. Cualquier ecuación polinomial servirá, con coeficientes enteros o fraccionarios, o cualquier expresión numérica válida.

Una vez que se ingresa una ecuación polinomial en el cuadro de formulario, debe hacer clic en "Calcular", que mostrará todos los pasos del proceso y las soluciones.

Un descargo de responsabilidad, no todas las ecuaciones polinómicas se pueden resolver con herramientas básicas. No existe una fórmula sistemática para tratar con ecuaciones polinómicas de grado 5 o superior. Además, nos enfrentamos a la dificultad añadida de que las soluciones de una ecuación polinomial pueden ser números complejos.

¿qué es una ecuación polinomial?

Una ecuación polinomial, en términos simples, es una ecuación en la que ambos lados contienen polinomios. Matemáticamente, una ecuación polinomial es de la forma:

\[\displaystyle p(x) = q(x) \]

donde \(p(x)\) y \(q(x)\) son polinomios. Por ejemplo, \(3x+1 = x^2-2\) es una ecuación polinómica, pero \(\sin(3x+1) = x^2-2\) no lo es.

¿cuáles son los pasos para resolver ecuaciones polinomiales?

• Paso 1: Identifica la ecuación con la que quieres trabajar, indicando claramente los términos del lado izquierdo y derecho, y asegúrate de que sean polinomios
• Paso 2: Simplifica cada lado tanto como sea posible. Pasar todos los términos de un lado al otro (si ambos lados tienen términos)
• Paso 3: Ahora tienes una ecuación polinomial que está configurada para ser igual a cero, así que necesitamos encontrar las raíces del polinomio
• Etapa 4: Probamos con raíces racionales posibles, división de polinomios para reducción y fórmula cuadrática, como se muestra en la calculadora de polinomio cero para encontrar las soluciones, si es posible

Descubrirá que resolver ecuaciones polinómicas, ya que encontrar las raíces de un polinomio está lejos de ser trivial para todos los casos. Seguramente, algunos ejemplos específicos pueden ser muy simples, pero cuando el exponente de los polinomios involucrados es grande, el proceso puede ser muy difícil o simplemente imposible.

¿son las ecuaciones cuadráticas también ecuaciones polinómicas?

¡Sí, de hecho! Una ecuación cuadrática es una ecuación con un polinomio de grado 2 en el lado izquierdo y 0 (que también es un polinomio) en el lado derecho, por lo que se ajusta a la definición.

En Efecto, ecuaciones cuadráticas son lo mejor que podemos resolver con herramientas simples. Aunque existen fórmulas para ecuaciones cúbicas y cuárticas, no existe una fórmula general para el grado 5 o superior. Entonces confiamos en las computadoras para encontrar aproximaciones numéricas muchas veces.

Además, no solo el exponente del polinomio puede hacer que una ecuación sea difícil de resolver, sino que también los engorrosos coeficientes del polinomio pueden dificultar las cosas.

¿cómo se relacionan las gráficas de polinomios con las ecuaciones polinómicas?

Hay diferentes formas de verlo, pero una forma es notar que al tratar de encontrar la intersección de diferentes polinomios, de hecho estamos resolviendo una ecuación polinomial. Así que hay problemas estrechamente relacionados.

Ejemplo: resolución de ecuaciones polinómicas

Calcule la siguiente ecuación polinómica: \(x^2 = x^3\)

Solución: Tenemos que resolver \(x^2 = x^3\), entonces pasamos \(x^3\) al otro lado, así obtenemos

\[ x^2 - x^3 = 0\]

y la factorización conduce a:

\[ x^2(1 - x) = 0\]

Entonces hay dos soluciones: \(x_1 = 0\) (que tiene multiplicidad 2) y \(x_2 = 1\).

Ejemplo: resolución de ecuaciones polinómicas

¿Cuáles son las soluciones de la siguiente ecuación: \(\frac{2}{3} x^2 + \frac{5}{4} x = \frac{1}{3} x^2 - \frac{5}{6}\)

Solución: Necesitamos resolver la siguiente ecuación:

\[\displaystyle \frac{2}{3}x^2+\frac{5}{4}x=\frac{1}{3}x^2-\frac{5}{6}\]

Paso Inicial: En este caso, primero necesitamos simplificar la ecuación dada \(\displaystyle \frac{2}{3}x^2+\frac{5}{4}x=\frac{1}{3}x^2-\frac{5}{6} \), poniendo todos los términos en un lado de la ecuación, así obtenemos:

Por lo tanto, después de simplificar, necesitamos resolver la siguiente ecuación polinómica de orden \(2\):

\[\displaystyle \frac{1}{3}x^2+\frac{5}{4}x+\frac{5}{6} = 0\]

Observe que el grado del polinomio dado es \(\displaystyle deg(p) = 2\), su coeficiente principal es \(\displaystyle a_{2} = \frac{1}{3}\) y su coeficiente constante es \(\displaystyle a_0 = \frac{5}{6}\).

Necesitamos resolver la siguiente ecuación cuadrática \(\displaystyle \frac{1}{3}x^2+\frac{5}{4}x+\frac{5}{6}=0\).

Para una ecuación cuadrática de la forma \(a x^2 + bx + c = 0\), las raíces se calculan usando la siguiente fórmula:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

En este caso, tenemos que la ecuación que necesitamos resolver es \(\displaystyle \frac{1}{3}x^2+\frac{5}{4}x+\frac{5}{6} = 0\), lo que implica que los coeficientes correspondientes son:

\[a = \frac{1}{3}\] \[b = \frac{5}{4}\] \[c = \frac{5}{6}\]

Primero, calcularemos el discriminante para evaluar la naturaleza de las raíces. La discriminación se calcula como:

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( \frac{5}{4}\right)^2 - 4 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)\cdot \left(\frac{5}{6}\right) = \frac{65}{144}\]

Como en este caso obtenemos que el discriminante es \(\Delta = \displaystyle \frac{65}{144} > 0\), que es positivo, sabemos que la ecuación tiene dos raíces reales diferentes.

Ahora, reemplazando estos valores en la fórmula de las raíces obtenemos:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{-\frac{5}{4} \pm \sqrt{\left(\frac{5}{4}\right)^2-4\left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{5}{6}\right)}}{2\cdot \frac{1}{3}} = \displaystyle \frac{-\frac{5}{4} \pm \sqrt{\frac{65}{144}}}{\frac{2}{3}}\]

entonces, encontramos que:

\[ x_1 = -\frac{\frac{5}{4}}{\frac{2}{3}}-\frac{1}{\frac{2}{3}}\sqrt{\frac{65}{144}}=-\frac{\frac{5}{4}}{\frac{2}{3}}-\frac{1}{\frac{2}{3}}\cdot\frac{1}{12}\sqrt{65}=-\frac{5}{4}\cdot \frac{3}{2}-\frac{\frac{1\cdot 3}{2}\cdot 1}{12}\sqrt{65}=-\frac{15}{8}+1\cdot \left(-\frac{1}{8}\right)\sqrt{65}=-\frac{15}{8}-\frac{1}{8}\sqrt{65} \] \[x_2 = -\frac{\frac{5}{4}}{\frac{2}{3}}+\frac{1}{\frac{2}{3}}\sqrt{\frac{65}{144}}=-\frac{\frac{5}{4}}{\frac{2}{3}}+\frac{1}{\frac{2}{3}}\cdot\frac{1}{12}\sqrt{65}=-\frac{15}{8}+1\cdot \frac{1}{8}\sqrt{65}=-\frac{15}{8}+\frac{1}{8}\sqrt{65}\]

En este caso, la ecuación cuadrática \( \displaystyle \frac{1}{3}x^2+\frac{5}{4}x+\frac{5}{6} = 0 \), tiene dos raíces reales, entonces:

\[\displaystyle \frac{1}{3}x^2+\frac{5}{4}x+\frac{5}{6} = \frac{1}{3} \left(x+\frac{1}{8}\sqrt{65}+\frac{15}{8}\right)\left(x-\frac{1}{8}\sqrt{65}+\frac{15}{8}\right)\]

entonces el polinomio original se factoriza como \(\displaystyle p(x) = \frac{1}{3}x^2+\frac{5}{4}x+\frac{5}{6} = \frac{1}{3} \left(x+\frac{1}{8}\sqrt{65}+\frac{15}{8}\right)\left(x-\frac{1}{8}\sqrt{65}+\frac{15}{8}\right) \), lo que completa la factorización.

Conclusión : La solución a la ecuación polinómica encontrada mediante el proceso de factorización es \(-\frac{1}{8}\sqrt{65}-\frac{15}{8}\) y \(\frac{1}{8}\sqrt{65}-\frac{15}{8}\).

Más calculadoras de polinomios

Las ecuaciones de polinomios aparecen tan naturalmente en Álgebra, que son uno de los temas más importantes en Álgebra. Cuando buscas la intersección de dos parábolas , necesitaras resolver una ecuación polinomial , solo por mencionar una situación de muchas.

El caso más simple de una ecuación polinómica es el caso en el que se resuelve una ecuación lineal , que de hecho es un caso trivial. Todo lo que no sea lineal requerirá mucho más trabajo.

Resolver una ecuación polinomial no es sencillo, especialmente para grados de polinomio . De hecho, existe la posibilidad de que no pueda encontrar todas las soluciones de una ecuación dada manualmente (o cualquier solución).

La mejor alternativa manual consiste en agrupar todos los términos del polinomio en un lado para reducirlo a encontrar los ceros de un polinomio . Luego, usamos la fórmula cuadrática cuando sea posible, y tratamos de reducir el orden del polinomio por División de polinomios y el teorema del factor .