Calculadora del teorema del resto

Esta calculadora puede ayudarlo a usar el teorema del resto de manera eficiente y fácil. Para usarlo, debe proporcionar un polinomio válido (por ejemplo, algo como 3x ^ 4 - 3x ^ 2 + 6) y una expresión numérica válida (como 2 o 3/4) donde desea evaluar el polinomio en.

El polinomio proporcionado puede tener cualquier grado que desea , siempre que sea un polinomio válido. Puede tener coeficientes enteros o fraccionarios o, en última instancia, cualquier expresión numérica válida puede ser un coeficiente (como sqrt(2)). El polinomio que proporciones puede venir simplificado o no, no importa, ya que la calculadora lo hará. simplificar el polinomio primero, si es necesario.

Una vez que se proporciona un polinomio válido, con una expresión numérica válida para evaluarlo, debe presionar el botón "Calcular" y se le proporcionarán todos los pasos del proceso.

El Teorema Del Resto es de suma importancia en Álgebra, por lo que te vendrá bien tener esta calculadora, para hacer el proceso mucho más fácil.

¿qué es el teorema del resto?

El teorema del resto es un teorema importante que simplemente dice que cuando divides dos polinomios, encontrarás un cociente y un resto, ambos polinomios.

Esto trae recuerdos de la división de números: al dividir dos números, te encuentras con un cociente y un resto, con la fantástica propiedad de que el resto es menor que el divisor. Con los polinomios pasa exactamente lo mismo, solo que en ese caso el grado del resto es menor que el grado del divisor.

Tenemos que decirlo matemáticamente: Suponga que tiene un polinomio \(p(x)\) y quiere dividirlo por \(s(x)\). El Teorema del Resto establece que existe un cociente \(q(x)\) y un resto \(r(x\) con la propiedad de que

\[\displaystyle \frac{p(x)}{s(x)} = q(x) + \frac{r(x)}{s(x)} \]

donde el grado del resto \(r(x)\) es menor que el grado del divisor \(s(x)\). Este cociente y el resto se pueden encontrar con la ayuda de la división larga de polinomios .

El otro ángulo del Teorema del Resto es que la expresión anterior se puede reescribir como

\[\displaystyle p(x) = q(x)s(x) + r(x)\]

Ahora, si el divisor tiene orden 1, digamos \(s(x) = x-a\), el teorema del resto se convierte en

\[\displaystyle p(x) = q(x)(x-a) + r\]

Ahora, \(r(x)\) se convierte en una constante \(r(x) = r\), porque el divisor tiene grado 1, y luego el resto debe tener grado cero, lo que significa que el resto es constante.

Entonces, reemplazar x = a en la fórmula anterior conduce a

\[\displaystyle p(a) = q(a)(a-a) + r = q(a)\cdot 0 + r = r\]

La conclusión y el resultado final del teorema del resto es que p(a) es el resto de dividir p(x) entre (x-a), lo cual se puede hacer usando División sintética . Este proceso de evaluar indirectamente el polinomio en un valor se llama sustitución sintética .

Pasos para usar el teorema del resto

• Paso 1: Identifica el polinomio p(x) y el divisor s(x)
• Paso 2: Si desea encontrar el cociente y el resto, en general puede usar el método de división larga
• Paso 3: Si desea evaluar p(x) en un punto x = a, simplemente divida p(x) entre x-a usando el método de división sintética

Como puedes ver, el teorema del resto, la división de polinomios, la división sintética y la división larga están estrechamente relacionados entre sí y son lados diferentes del mismo objeto.

¿cómo te beneficias usando el teorema del resto?

El teorema del resto se usa en muchas capacidades. Por lo general, se utiliza para evaluar un polinomio en un valor dado x = a, y específicamente, determinar si es o no una raíz del polinomio (si p(a) = 0).

En general, el teorema del resto te da la flexibilidad de detectar raíces, lo cual es una habilidad crucial al momento de factorizar polinomios.

Consejos para el éxito

Por lo general, cuando se trabaja con polinomios, es más conveniente usar la sustitución sintética que la evaluación directa, especialmente cuando se trabaja a mano.

Evitar errores con las señales y tener cuidado con reglas PEMDAS puede aumentar sus posibilidades de aplicar el teorema correctamente.

Ejemplo: el teorema del resto y la sustitución sintética

Usando sustitución sintética, encuentre \(p\left(\frac{1}{2}\right)\) para el polinomio \(p(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x - 3\)

Solución: Tenemos \(\displaystyle p(x) = 2x^3-3x^2+2x-3\), y necesitamos que sea evaluado en \(\displaystyle x = \frac{1}{2}\), para lo cual estaremos usando el Teorema del Resto.

Entonces dividimos: \(\displaystyle p(x) = 2x^3-3x^2+2x-3\), por el divisor \(\displaystyle s = x-\frac{1}{2}\), y luego encontramos el resto.

Paso 1: Resolviendo \(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{2} = 0\) encontramos directamente que el número a poner en la casilla de división es: \(\displaystyle \frac{1}{2}\).

\[\begin{array}{c|ccc} \frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & \end{array}\]

Paso 2: Ahora pasamos directamente el término inicial \(\displaystyle 2\) a la fila de resultados:

\[\begin{array}{c|ccc} \frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline &\displaystyle 2&&& \end{array}\]

Paso 3: Multiplicando el término en el cuadro de división por el resultado en la columna 1: \(\frac{1}{2} \cdot \left(2\right) = 1\) y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna1.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & \\[0.6em]\hline&\displaystyle 2&&&\end{array}\]

Paso 4: Ahora agregando los valores en la columna 2: \( \displaystyle -3+1 = -2\) y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna2.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & \\[0.6em]\hline& 2 & -2 & \end{array}\]

Paso 5: Multiplicando el término en el cuadro de división por el resultado en la columna 2: \(\frac{1}{2} \cdot \left(-2\right) = -1\) y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna2.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & -1\\[0.6em]\hline& 2 & -2 & \end{array}\]

Paso 6: Ahora agregando los valores en la columna 3: \( \displaystyle 2-1 = 1\) y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna3.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & -1\\[0.6em]\hline& 2 & -2 & 1\end{array}\]

Paso 7: Multiplicando el término en el cuadro de división por el resultado en la columna 3: \(\frac{1}{2} \cdot \left(1\right) = \frac{1}{2}\) y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna3.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & -1 & \frac{1}{2}\\[0.6em]\hline& 2 & -2 & 1\end{array}\]

Paso 8: Ahora agregando los valores en la columna 4: \( \displaystyle -3+\frac{1}{2} = -2\) y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna4.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & -1 & \frac{1}{2}\\[0.6em]\hline& 2 & -2 & 1 & -2\end{array}\]

Conclusión: Por tanto y utilizando el Teorema del Resto, concluimos que para el dividendo \(\displaystyle p(x) = 2x^3-3x^2+2x-3\) y el divisor \(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{2}\) dados, obtenemos que el resto es \(\displaystyle r(x) = -2\), por lo que concluimos que \(\displaystyle p\left(\frac{1}{2}\right) = -2\).

Ejemplo: uso del teorema del resto

Considere el siguiente polinomio de grado 4: \(p(x) = x^4 - 3x^2 + 2x - 1\). Usa el teorema del resto para calcular \(p(-1)\).

Solución: Se ha proporcionado el siguiente polinomio: \(\displaystyle p(x) = x^4-3x^2+2x-1\), que debe evaluarse en el punto \(\displaystyle x = -1\) usando el Teorema del Resto.

Para usar el Teorema del Resto, necesitamos realizar la sustitución sintética, para lo cual necesitamos hacer una división sintética de: \(\displaystyle p(x) = x^4-3x^2+2x-1\), y el divisor \(\displaystyle s = x+1\), y luego encontrar el resto.

Observe que el grado del dividendo es \(\displaystyle deg(p) = 4\), mientras que el grado del divisor es \(\displaystyle deg(s)) = 1\).

Paso 1: Como el divisor tiene grado 1, podemos usar el método de la División Sintética. Resolviendo \(\displaystyle s(x) = x+1 = 0\) encontramos directamente que el número a poner en la casilla de división es: \(\displaystyle -1\).

\[\begin{array}{c|cccc} -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & & \end{array}\]

Paso 2: Ahora pasamos directamente el término inicial \(\displaystyle 1\) a la fila de resultados:

\[\begin{array}{c|cccc} -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline &\displaystyle 1&&&& \end{array}\]

Paso 3: Multiplicando el término en el cuadro de división por el resultado en la columna 1: \(-1 \cdot \left(1\right) = -1\) y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna1.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & & \\[0.6em]\hline&\displaystyle 1&&&&\end{array}\]

Paso 4: Ahora agregando los valores en la columna 2: \( \displaystyle 0-1 = -1\) y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna2.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & & \\[0.6em]\hline& 1 & -1 & & \end{array}\]

Paso 5: Multiplicando el término en el cuadro de división por el resultado en la columna 2: \(-1 \cdot \left(-1\right) = 1\) y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna2.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & \\[0.6em]\hline& 1 & -1 & & \end{array}\]

Paso 6: Ahora agregando los valores en la columna 3: \( \displaystyle -3+1 = -2\) y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna3.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & \\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & \end{array}\]

Paso 7: Multiplicando el término en el cuadro de división por el resultado en la columna 3: \(-1 \cdot \left(-2\right) = 2\) y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna3.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & 2\\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & \end{array}\]

Paso 8: Ahora agregando los valores en la columna 4: \( \displaystyle 2+2 = 4\) y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna4.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & 2\\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & 4\end{array}\]

Paso 9: Multiplicando el término en el cuadro de división por el resultado en la columna 4: \(-1 \cdot \left(4\right) = -4\) y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna4.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & 2 & -4\\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & 4\end{array}\]

Paso 10: Ahora agregando los valores en la columna 5: \( \displaystyle -1-4 = -5\) y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna5.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & 2 & -4\\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & 4 & -5\end{array}\]

lo que concluye este cálculo, ya que hemos llegado al resultado en la columna final, que contiene el resto.

Conclusión: Por tanto y utilizando el Teorema del Resto, concluimos que para el dividendo \(\displaystyle p(x) = x^4-3x^2+2x-1\) y el divisor \(\displaystyle s(x) = x+1\) dados, obtenemos que el resto es \(\displaystyle r(x) = -5\), por lo que concluimos que \(\displaystyle p\left(-1\right) = -5\).

Ejemplo: otra aplicación del teorema del resto

¿Es x = 3 una raíz del polinomio \( p(x) = x^3 - x^2 + x - 2\)?

Solución: Tenemos \(\displaystyle p(x) = x^3-x^2+x-2\), y evaluaremos este polinomio en el punto \(\displaystyle x = 3\) para ver si es una raíz.

Así que usamos el dividendo \(\displaystyle p(x) = x^3-x^2+x-2\) y el divisor \(\displaystyle s = x-3\), y luego necesitamos encontrar el resto.

Paso 1: Como el divisor tiene grado 1, podemos usar el método de la División Sintética. Resolviendo \(\displaystyle s(x) = x-3 = 0\) encontramos directamente que el número a poner en la casilla de división es: \(\displaystyle 3\).

\[\begin{array}{c|ccc} 3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & \end{array}\]

Paso 2: Ahora pasamos directamente el término inicial \(\displaystyle 1\) a la fila de resultados:

\[\begin{array}{c|ccc} 3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline &\displaystyle 1&&& \end{array}\]

Paso 3: Multiplicando el término en el cuadro de división por el resultado en la columna 1: \(3 \cdot \left(1\right) = 3\) y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna1.

\[\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & \\[0.6em]\hline&\displaystyle 1&&&\end{array}\]

Paso 4: Ahora agregando los valores en la columna 2: \( \displaystyle -1+3 = 2\) y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna2.

\[\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & \\[0.6em]\hline& 1 & 2 & \end{array}\]

Paso 5: Multiplicando el término en el cuadro de división por el resultado en la columna 2: \(3 \cdot \left(2\right) = 6\) y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna2.

\[\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & 6\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & \end{array}\]

Paso 6: Ahora agregando los valores en la columna 3: \( \displaystyle 1+6 = 7\) y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna3.

\[\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & 6\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & 7\end{array}\]

Paso 7: Multiplicando el término en el cuadro de división por el resultado en la columna 3: \(3 \cdot \left(7\right) = 21\) y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna3.

\[\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & 6 & 21\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & 7\end{array}\]

Paso 8: Ahora agregando los valores en la columna 4: \( \displaystyle -2+21 = 19\) y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna4.

\[\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & 6 & 21\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & 7 & 19\end{array}\]

Conclusión: Por tanto y utilizando el Teorema del Resto, concluimos que para el dividendo \(\displaystyle p(x) = x^3-x^2+x-2\) y el divisor \(\displaystyle s(x) = x-3\) dados, obtenemos que el resto es \(\displaystyle r(x) = 19\), por lo que concluimos que \(\displaystyle p\left(3\right) = 19\). Como \(\displaystyle p\left(3\right) = 19 \ne 0\), concluimos que \(x = 3\) no es una raíz del polinomio.

Más calculadoras de álgebra

El álgebra se centra en el estudio y calculo de polinomios . Esto se puede ver claramente cuando nos damos cuenta de que el Teorema Fundamental del Cálculo trata sobre las raíces de un general polinomio de grado n

Observe cómo se puede usar el teorema del resto mediante el uso directo del método de sustitución sintética , que a su vez se promulga utilizando división sintética de polinomios . Entonces claramente el teorema del resto así como la división de polinomios están íntimamente ligados con encontrar raíces de polinomios .