Ceros polinomiales

Esta calculadora le permitirá calcular raíces polinómicas de cualquier polinomio válido que proporcione. Este polinomio puede ser cualquier polinomio de grado 1 o superior.

Por ejemplo, puede proporcionar un polinomio cúbico, como p(x) = x^3 + 2x^2 - x + 1, o puede proporcionar un polinomio con coeficientes no enteros, como p(x) = x^ 3 - 13/12 x^2 + 3/8 x - 1/24.

Una vez que haya proporcionado a la calculadora un polinomio válido para el cual desea calcular sus raíces, puede hacer clic en el botón "Calcular" y verá una ejecución del proceso paso a paso.

Es necesario mencionar que el proceso solo involucra métodos elementales utilizados para encontrar raíces, que incluye el Teorema del cero racional y División de polinomios , así como el uso de la Fórmula cuadrática cuando sea apropiado.

No existe un método general para encontrar TODAS las raíces de TODOS los polinomios posibles de calificación por encima de 5, por lo que esta calculadora solo encontrará raíces que se pueden obtener con estos métodos elementales mencionados.

¿qué es la raíz de un polinomio?

Dado un función polinómica \(p(x)\), decimos que \(x\) es raíz del polinomio si:

\[\displaystyle p(x) = 0 \]

En términos sencillos, las raíces de un polinomio son los puntos en los que la función polinomial \(p(x)\) cruza el eje x. Esa es una buena representación para tener una idea, pero no es completamente precisa porque algunas raíces pueden ser números complejos. Entonces, una raíz real será un punto donde \(p(x)\).

Observe que las raíces del polinomio también se llaman ceros polinómicos.

¿cuáles son los pasos para encontrar los ceros de un polinomio?

• Paso 1: Identifique la expresión con la que desea trabajar. Asegúrate de que sea un polinomio y simplifica lo más posible
• Paso 2: Usaremos el factorización de polinomios enfoque para encontrar su raíz
• Paso 3: Comience a tratar de encontrar raíces elementales (racionales) con el Teorema del cero racional , y use División de polinomios para reducir el polinomio original, si es posible
• Paso 4: Si el Paso 3 funcionó y pudo reducir el polinomio original, repita los pasos anteriores para tratar de factorizar el polinomio reducido

Por lo general, no es fácil, puede ser computacionalmente intensivo y no se garantiza que funcione, pero es el mejor enfoque posible si estamos restringidos a usar métodos elementales.

¿la factorización es la única forma de encontrar raíces?

En realidad no, pero las cosas van de la mano. Él teorema del factor establece que \(x - a\) es un factor de un polinomio \(p(x)\) si y solo si \(p(a) = 0\). Entonces, en otras palabras, las raíces y los factores están íntimamente relacionados.

Ahora, para polinomios de grado 2 (esto es, polinomios cuadráticos ) podemos usar una fórmula explícita, que es la bien conocida Fórmula cuadrática .

Lo mismo ocurre con los grados 3 y 4, aunque las fórmulas distan mucho de ser elementales. Pero para el grado 5 y superior, no existe tal fórmula, un resultado clave probado por Galois y Abel. Entonces no hay esperanza de encontrar una "fórmula general", y es por eso que el uso de un más laxo factorización de polinomios Acercarse.

Errores comunes a evitar

Muchas veces los estudiantes se sienten frustrados porque no pueden encontrar las raíces de un determinado función polinómica , dicen \(p(x) = x^3+2 x^2-x+1 \), pero deben afrontar el hecho de que no todos los polinomios podrán resolverse con herramientas elementales.

De acuerdo, hay una fórmula para resolver \(x^3+2 x^2-x+1 = 0 \), pero no es elemental, y no se espera que los estudiantes la conozcan.

Consejos para el éxito

Intenta siempre hacer un mapa mental de cuál será tu estrategia: Toma nota del polinomio que tienes, su grado, su coeficiente principal y su coeficiente constante.

Trazar el polinomio si puedes, para hacerte una idea de su comportamiento. ¿Hay alguna factorización obvia que puedas usar? Usalos, usalos a ellos. Recuerda siempre factores = raíces.

Ejemplo: ceros de un polinomio

¿Cuáles son los ceros de : \(x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1\)?

Solución: Para este ejemplo contamos con el siguiente polinomio: \(\displaystyle p(x) = x^5+x^4-x^3+x^2-x+1\). Usaremos el enfoque de factorización para encontrar raíces.

Simplificación no necesaria: La expresión polinómica proporcionada ya está simplificada, por lo que no hay nada que la simplifique aún más.

Se puede notar que el grado del polinomio provisto es \(\displaystyle deg(p) = 5\). Además, su coeficiente principal es \(\displaystyle a_{5} = 1\) y su coeficiente constante es igual a\(\displaystyle a_0 = 1\).

Ahora buscamos números enteros que dividan el coeficiente principal \(a_{5}\) y el coeficiente constante \(a_0\), que se utiliza para encontrar candidatos racionales.

▹ Los divisores de \(a_{5} = 1\) son: \(\pm 1\).

▹ Los divisores de \(a_0 = 1\) son: \(\pm 1\).

Por lo tanto, al dividir todos los factores del término constante \(a_0 = 1\) entre todos los divisores de \(a_{5} = 1\), obtenemos la siguiente lista de raíces potenciales:

\[\pm \frac{ 1}{ 1}\]

Ahora, todas las posibles soluciones deben ser evaluadas. Los resultados obtenidos de la prueba de cada candidato son los siguientes:

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle \left(-1\right)^5+\left(-1\right)^4-\left(-1\right)^3+\left(-1\right)^2-\left(-1\right)+1 & = & \displaystyle 4 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 1^5+1^4-1^3+1^2-1+1 & = & \displaystyle 2 \ne 0 \\\\ \end{array}\]

Dado que no se identificaron raíces racionales a través de la inspección manual, no es posible una mayor simplificación utilizando técnicas básicas y el proceso finaliza con este paso.

Conclusión : Como resultado, no se obtuvo simplificación y no se identificaron raíces del polinomio a través de técnicas básicas

Ejemplo: cálculo de raíces de una función cuadrática

Calcula las soluciones de: \(3x^2 - 2x - 4 = 0\).

Solución: Necesitamos resolver la ecuación cuadrática dada \(\displaystyle 3x^2-2x-4=0\).

Las raíces de una ecuación cuadrática de la forma \(a x^2 + bx + c = 0\) se calculan usando la siguiente ecuación:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

En este contexto, la ecuación a resolver es \(\displaystyle 3x^2-2x-4 = 0\), indicando que los coeficientes correspondientes son:

\[a = 3\] \[b = -2\] \[c = -4\]

Primero, determinaremos la naturaleza de las raíces calculando el discriminante. El discriminante se calcula de la siguiente manera:

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( -2\right)^2 - 4 \cdot \left(3\right)\cdot \left(-4\right) = 52\]

Dado que en este caso tenemos el discriminante \(\Delta = \displaystyle 52 > 0\), que es positivo, entonces, la ecuación tiene dos raíces reales diferentes.

De esto obtenemos:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{2 \pm \sqrt{\left(-2\right)^2-4\left(3\right)\left(-4\right)}}{2\cdot 3} = \displaystyle \frac{2 \pm \sqrt{52}}{6}\]

entonces, encontramos que:

\[ x_1 = \frac{2}{6}-\frac{1}{6}\sqrt{52}=\frac{2}{6}-\frac{1}{6}\cdot 2\sqrt{13}=\frac{2}{6}-\frac{1}{3}\sqrt{13}=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\sqrt{13} \] \[x_2 = \frac{2}{6}+\frac{1}{6}\sqrt{52}=\frac{2}{6}+\frac{1}{6}\cdot 2\sqrt{13}=\frac{2}{6}+\frac{1}{3}\sqrt{13}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\sqrt{13}\]

Encontramos que la ecuación \( \displaystyle 3x^2-2x-4 = 0 \), tiene dos raíces reales, entonces:

\[\displaystyle 3x^2-2x-4 = 3 \left(x+\frac{1}{3}\sqrt{13}-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{3}\sqrt{13}-\frac{1}{3}\right)\]

entonces el polinomio original se factoriza como \(\displaystyle p(x) = 3x^2-2x-4 = 3 \left(x+\frac{1}{3}\sqrt{13}-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{3}\sqrt{13}-\frac{1}{3}\right) \), lo que completa la factorización.

Conclusión : Por lo tanto, la factorización que buscamos está dada por:

\[\displaystyle p(x) = 3x^2-2x-4 = 3 \left(x+\frac{1}{3}\sqrt{13}-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{3}\sqrt{13}-\frac{1}{3}\right)\]

Las raíces encontradas son \(-\frac{1}{3}\sqrt{13}+\frac{1}{3}\) y \(\frac{1}{3}\sqrt{13}+\frac{1}{3}\) .

Ejemplo: ceros polinómicos

Calcula los ceros del siguiente polinomio: \(p(x)= x^3 - \frac{13}{12} x^2 + \frac{3}{8} x - \frac{1}{24} \).

Solución: Finalmente, en este ejemplo tenemos: \(\displaystyle p(x) = x^3-\frac{13}{12}x^2+\frac{3}{8}x-\frac{1}{24}\).

Primer Paso: La expresión polinómica proporcionada es irreducible, por lo que no hay nada que simplificar. Podemos proceder a factorizarlo.

Observa que el grado del polinomio dado es \(\displaystyle deg(p) = 3\), su coeficiente principal es \(\displaystyle a_{3} = 1\) y su coeficiente constante es \(\displaystyle a_0 = -\frac{1}{24}\).

Raíces Racionales : Intentaremos encontrar raíces racionales simples primero, con el Teorema del Cero Racional.

La siguiente tarea es encontrar los números enteros que dividen el coeficiente principal \(a_{3}\) y el coeficiente constante \(a_0\), que se utilizarán para construir nuestros candidatos a ceros de la ecuación polinomial.

Usar: En este caso, observamos que para tener tanto el coeficiente principal como el constante necesitamos amplificar ambos lados de la ecuación por \(24\). La ecuación equivalente es:

\[24x^3-26x^2+9x-1 = 0\]

▹ Los divisores de \(a_{3} = 24\) son: \(\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\pm 6,\pm 8,\pm 12,\pm 24\).

▹ Los divisores de \(a_0 = -1\) son: \(\pm 1\).

Por tanto, dividiendo cada divisor del coeficiente constante \(a_0 = -1\) por cada divisor del coeficiente principal \(a_{3} = 24\), encontramos la siguiente lista de candidatos a raíces:

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 1}{ 2},\pm \frac{ 1}{ 3},\pm \frac{ 1}{ 4},\pm \frac{ 1}{ 6},\pm \frac{ 1}{ 8},\pm \frac{ 1}{ 12},\pm \frac{ 1}{ 24}\]

Ahora, todos los candidatos necesitan ser probados para ver si son una solución. De la prueba de cada candidato se obtiene lo siguiente:

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle 24\cdot \left(-1\right)^3-26\cdot \left(-1\right)^2+9\cdot \left(-1\right)-1 & = & \displaystyle -60 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 24\cdot 1^3-26\cdot 1^2+9\cdot 1-1 & = & \displaystyle 6 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{2} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{-1}{2}\right)^3-26\left(\frac{-1}{2}\right)^2+9\left(-\frac{ 1}{ 2}\right)-1 & = & \displaystyle -15 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{2} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{1}{2}\right)^3-26\left(\frac{1}{2}\right)^2+9\cdot \frac{1}{2}-1 & = & \displaystyle 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{3} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{-1}{3}\right)^3-26\left(\frac{-1}{3}\right)^2+9\left(-\frac{ 1}{ 3}\right)-1 & = & \displaystyle -\frac{70}{9} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{3} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{1}{3}\right)^3-26\left(\frac{1}{3}\right)^2+9\cdot \frac{1}{3}-1 & = & \displaystyle 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{4} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{-1}{4}\right)^3-26\left(\frac{-1}{4}\right)^2+9\left(-\frac{ 1}{ 4}\right)-1 & = & \displaystyle -\frac{21}{4} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{4} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{1}{4}\right)^3-26\left(\frac{1}{4}\right)^2+9\cdot \frac{1}{4}-1 & = & \displaystyle 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{6} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{-1}{6}\right)^3-26\left(\frac{-1}{6}\right)^2+9\left(-\frac{ 1}{ 6}\right)-1 & = & \displaystyle -\frac{10}{3} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{6} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{1}{6}\right)^3-26\left(\frac{1}{6}\right)^2+9\cdot \frac{1}{6}-1 & = & \displaystyle -\frac{1}{9} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{8} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{-1}{8}\right)^3-26\left(\frac{-1}{8}\right)^2+9\left(-\frac{ 1}{ 8}\right)-1 & = & \displaystyle -\frac{165}{64} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{8} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{1}{8}\right)^3-26\left(\frac{1}{8}\right)^2+9\cdot \frac{1}{8}-1 & = & \displaystyle -\frac{15}{64} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{12} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{-1}{12}\right)^3-26\left(\frac{-1}{12}\right)^2+9\left(-\frac{ 1}{ 12}\right)-1 & = & \displaystyle -\frac{35}{18} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{12} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{1}{12}\right)^3-26\left(\frac{1}{12}\right)^2+9\cdot \frac{1}{12}-1 & = & \displaystyle -\frac{5}{12} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{24} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{-1}{24}\right)^3-26\left(\frac{-1}{24}\right)^2+9\left(-\frac{ 1}{ 24}\right)-1 & = & \displaystyle -\frac{91}{64} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{24} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{1}{24}\right)^3-26\left(\frac{1}{24}\right)^2+9\cdot \frac{1}{24}-1 & = & \displaystyle -\frac{385}{576} \ne 0 \\\\ \end{array}\]

Pero como hemos encontrado todas las raíces requeridas entre los candidatos racionales, encontramos que \(\displaystyle x^3-\frac{13}{12}x^2+\frac{3}{8}x-\frac{1}{24} = \left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{4}\right) \), entonces:

\[\displaystyle p(x) = x^3-\frac{13}{12}x^2+\frac{3}{8}x-\frac{1}{24} = \left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{4}\right) \]

que completa el proceso de factorización.

Resultado : Por lo tanto, la factorización final es:

\[\displaystyle p(x) = x^3-\frac{13}{12}x^2+\frac{3}{8}x-\frac{1}{24} = \left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{4}\right)\]

Por lo tanto, las raíces encontradas son \(\frac{1}{2}\),\(\frac{1}{3}\) y \(\frac{1}{4}\).

Otras calculadoras de polinomios útiles

Encontrar ceros de un polinomio es uno de los pináculos del Álgebra, en la medida en que el Teorema Fundamental del Álgebra trata sobre la existencia de n raíces para un polinomio de grado n. Esas raíces no necesariamente serán todas reales, y algunas de ellas (o todas ellas) pueden ser números complejos.

En última instancia, casi todos los problemas de Álgebra y Cálculo se pueden reducir a encontrar las raíces de un polinomio, incluida la resolución ecuaciones polinómicas , como las que encontraría por ejemplo, al buscar el intersección entre los gráficos de \(y = x^2\) y \(y = x^3\).