Calculadora de funciones logarítmicas


Instrucciones: Utilice esta calculadora de función logarítmica, calculada paso a paso, para encontrar la función logarítmica que pasa por dos puntos dados en el plano XY. Necesita proporcionar los puntos \((t_1, y_1)\) y \((t_2, y_2)\), y esta calculadora estimará la función exponencial apropiada y proporcionará su gráfica.

Indique el valor de \(t_1\) =
Indique el valor de \(y_1\) =
Indique el valor de \(t_2\) =
Indique el valor de \(y_2)\) =
Puntos para evaluar (Opcional. Separados por espacios) =



Calculadora de funciones logarítmicas de dos puntos

El propósito principal de esta calculadora es estimar los parámetros \(A_0\) y \(k\) para la función logarítmica \(f(t)\) que se define como:

\[f(t) = A_0 \ln(k t)\]

Los parámetros deben ser para que la función logarítmica pase por los dos puntos dados \((t_1, y_1)\) y \((t_2, y_2)\).

¿Cómo se estima una función logarítmica a partir de dos puntos?

Hablando algebraicamente, necesitas resolver el siguiente sistema de ecuaciones para encontrar los parámetros \(A_0\) y \(k\):

\[y_1 = A_0 \ln(k t_1)\] \[y_2 = A_0 \ln(k t_2)\]

Al resolver este sistema para las incógnitas \(A_0\) y \(k\), podemos encontrar soluciones únicas, siempre que \(t_1 = \not t_2\).

De hecho, al restar ambos lados de las ecuaciones:

\[\displaystyle y_1 - y_2 = A_0 \left( \ln(k t_1) - \ln(k t_2) \right)\] \[\displaystyle \Rightarrow \, y_1 - y_2 = A_0 \ln \left(\displaystyle\frac{k t_1}{k t_2}\right) \] \[\displaystyle \Rightarrow \, y_1 - y_2 = A_0 \ln \left(\displaystyle\frac{t_1}{t_2}\right) \] \[ \Rightarrow \, A_0 = \displaystyle \frac{y_1 - y_2}{\ln(t_1) - \ln(t_2)} \]

que resuelve las ecuaciones para \(A_0\). Ahora, para resolver \(k\) usamos la primera ecuación y aplicamos exponencial a ambos lados:

\[y_1 = A_0 \ln(k t_1)\] \[ \Rightarrow \, \displaystyle e^{\frac{y_1}{A_0}} = k t_1 \] \[ \Rightarrow \, k = \displaystyle \frac{e^{\frac{y_1}{A_0}}}{t_1} \]

y allí hemos encontrado \(k\), en función de \(A_0\) que ya está determinado y conocido.

¿Cómo se calcula una función exponencial?

Si en lugar de una función logarítmica está interesado en el comportamiento exponencial, probablemente debería usar esto calculadora de funciones exponenciales , que sigue la misma lógica de estimar parámetros para hacer cumplir la función pasando por dos puntos dados.

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