Calculadora de función logarítmica de dos puntos

El propósito principal de esta calculadora es estimar los parámetros \(A_0\) y \(k\) para la función logarítmica \(f(t)\) que se define como:

\[f(t) = A_0 \ln(k t)\]

Los parámetros deben ser tales que la función logarítmica pase por los dos puntos dados \((t_1, y_1)\) y \((t_2, y_2)\).

¿cómo se estima una función logarítmica a partir de dos puntos?

Algebraicamente hablando, necesitas resolver el siguiente sistema de ecuaciones para encontrar los parámetros \(A_0\) y \(k\):

\[y_1 = A_0 \ln(k t_1)\] \[y_2 = A_0 \ln(k t_2)\]

Al resolver este sistema para las incógnitas \(A_0\) y \(k\), podemos encontrar soluciones únicas, siempre que \(t_1 \ne t_2\).

De hecho, restando ambos lados de las ecuaciones:

\[\displaystyle y_1 - y_2 = A_0 \left( \ln(k t_1) - \ln(k t_2) \right)\] \[\displaystyle \Rightarrow \, y_1 - y_2 = A_0 \ln \left(\displaystyle\frac{k t_1}{k t_2}\right) \] \[\displaystyle \Rightarrow \, y_1 - y_2 = A_0 \ln \left(\displaystyle\frac{t_1}{t_2}\right) \] \[ \Rightarrow \, A_0 = \displaystyle \frac{y_1 - y_2}{\ln(t_1) - \ln(t_2)} \]

que resuelve las ecuaciones para \(A_0\). Ahora, para resolver \(k\) usamos la primera ecuación y aplicamos exponencial a ambos lados:

\[y_1 = A_0 \ln(k t_1)\] \[ \Rightarrow \, \displaystyle e^{\frac{y_1}{A_0}} = k t_1 \] \[ \Rightarrow \, k = \displaystyle \frac{e^{\frac{y_1}{A_0}}}{t_1} \]

y ahí hemos encontrado \(k\), en función de \(A_0\) que ya está determinado y conocido.

¿cómo se calcula una función exponencial?

Si en lugar de una función logarítmica está interesado en el comportamiento exponencial, entonces probablemente debería usar esto Calculadora de función exponencial , que sigue la misma lógica de estimación de parámetros para hacer cumplir la función que pasa por dos puntos dados.