Me pareció importante repasar el concepto de derivada de una función. El proceso de diferenciación (es decir, calcular derivadas) es una de las operaciones más fundamentales en cálculo e incluso en matemáticas. En este tutorial de Math Crack intentaré arrojar algo de luz sobre el significado y la interpretación de lo que es y hace un derivado.

En primer lugar, con el fin de aclarar cuál es el alcance de este tutorial, me gustaría decir que no practicaremos con la resolución de problemas de práctica específicos que involucran derivados, sino que intentaremos comprender lo que estamos haciendo cuando operando con derivados. Una vez que entendemos lo que estamos haciendo, tenemos una MUYYY mejor oportunidad de resolver problemas.

DEFINICIÓN DE DERIVADO (NO EL ABURRIDO)

Para empezar, es obligatorio escribir al menos la definición de derivada. Suponga que \(f\) es una función y \({{x}_{0}}\in dom\left( f \right) \). Ok, ¿ya comenzamos con tecnicismos? Todo lo que decimos es que \(f\) es una función. Piense en una función \(f\) por su representación gráfica que se muestra a continuación:

Además, cuando decimos que "\({{x}_{0}}\in dom\left( f \right) \)", todo lo que estamos diciendo es que \({{x}_{0}}\) es un punto donde la función está bien definida (por lo que pertenece a su dominio ). Pero espera, ¿es posible que un punto \({{x}_{0}}\) haga que una función NO esté bien definida….? ¡Ciertamente! Considere la siguiente función:

\[f\left( x \right)=\frac{1}{x-1}\]

Dicha función NO está bien definida en \({{x}_{0}}=1\). ¿Qué no está bien definido en \({{x}_{0}}=1\)? Porque si conectamos el valor de \({{x}_{0}}=1\) en la función obtenemos

\[f\left( 1 \right)=\frac{1}{1-1}=\frac{1}{0}\]

que es una operación INVÁLIDA (como saben en la escuela primaria, no se puede dividir por cero, al menos con las reglas aritméticas tradicionales), entonces la función no está bien definida en \({{x}_{0}}=1\). Que una función esté bien definida en un punto significa simplemente que la función se puede evaluar en ese punto, sin que existan operaciones no válidas.

Así que ahora podemos decirlo de nuevo, porque ahora sabes lo que queremos decir: Supongamos que \(f\) es una función y \({{x}_{0}}\in dom\left( f \right) \). La derivada en el punto \({{x}_{0}}\) se define como

\[f'\left( {{x}_{0}} \right)=\lim_{x \to {x_0}}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}\]

cuando existe tal límite.

Ok, ese es el meollo del problema, y ​​lo discutiremos en un segundo. Me gustaría que tuvieras algunas cosas EXTREMADAMENTE claras aquí:

• Cuando existe el límite anterior, llamamos a if \(f'\left( {{x}_{0}} \right) \), y se le conoce como la "derivada de la función \(f\left( x \right) \) en el punto \({{x}_{0}}\)". Entonces, \(f'\left( {{x}_{0}} \right) \) es simplemente un símbolo que usamos para referirnos a la derivada de la función \(f\left( x \right) \) en el punto \({{x}_{0}}\) (cuando existe). Podríamos haber utilizado cualquier otro símbolo, como “\(deriv{{\left( f \right)}_{{{x}_{0}}}}\)” o “\(derivative\_f\_{{x}_{0}}\)”. Pero algo de sentido estético nos hace preferir “\(f'\left( {{x}_{0}} \right) \)”.

El punto es que es un símbolo MADE UP para REFERIRSE a la derivada de la función \(f\left( x \right) \) en el punto \({{x}_{0}}\). Lo curioso de las matemáticas es que la notación importa. A pesar de que un concepto existe independientemente de la notación utilizada para expresarlo, una notación lógica, flexible y compacta puede hacer que las cosas se incendien en lugar de lo que puede suceder con una notación engorrosa y sin inspiración.

El papel que juega la notación

(Históricamente, los dos desarrolladores simultáneos de una versión utilizable del concepto de derivada, Leibniz y Newton usaron notaciones radicalmente diferentes. Newton usó \(\dot{y}\), mientras que Leibniz usó \(\frac{dy}{dx}\). La notación de Leibniz se incendió y facilitó el desarrollo completo del cálculo, mientras que la notación de Newton causó más de un dolor de cabeza. De verdad, era tan importante).

• La derivada es una operación POINTWISE. Esto significa que es una operación realizada a una función en un punto dado, y necesita verificarse punto por punto. Por supuesto, en un dominio típico como la línea real \(\mathbb{R}\) hay un número infinito de puntos, por lo que puede llevar un tiempo comprobar manualmente si se define una derivada en cada punto. PERO, hay algunas reglas que permiten simplificar enormemente el trabajo al calcular la derivada en un punto genérico \({{x}_{0}}\) y luego analizar para qué valores de \({{x}_{0}}\) el límite define la derivada. Para que pueda relajarse, porque el trabajo manual valiente no será agotador, si sabe lo que está haciendo, por supuesto.

• Cuando la derivada de una función \(f\) existe en un punto \({{x}_{0}}\), decimos que la función es diferenciable en \({{x}_{0}}\). Además, podemos decir que una función es diferenciable en una REGIÓN (una región es un conjunto de puntos) si la función es diferenciable en CADA punto de esa región. Entonces, aunque el concepto de derivada es un concepto puntual (definido en un punto específico), puede entenderse como un concepto global cuando se define para cada punto de una región.

• Si definimos \(D\) el conjunto de todos los puntos en la línea real donde se define la derivada de una función, podemos definir la función derivada \(f'\) de la siguiente manera:

Esta es una función porque asociamos de forma única cada \(x\) en \(D\) con el valor \(f'\left( x \right) \). Esto significa que cada valor de \(x\) en \(D\) está asociado con el valor \(f'\left( x \right) \). El conjunto de todos los pares \(\left( x,f'\left( x \right) \right) \), para \(x\in D\) forman una función, y puedes hacer todo lo que puedes hacer con las funciones, como graficarlas.

Eso debería resolver la pregunta que muchos estudiantes tienen sobre las derivadas, ya que se preguntan cómo tenemos una "función" derivada, cuando la derivada es algo que se calcula en un punto específico. Bueno, la respuesta es que calculamos la derivada en muchos puntos, lo que proporciona la base para definir la derivada como una función.

Palabras finales: infierno de notación

Cuando el concepto de derivada fue puesto en la forma moderna que conocemos por Newton y Leibniz (hago énfasis en el término "forma moderna", ya que el cálculo fue desarrollado casi por completo por los griegos y otros de una manera más intuitiva y menos formal Hace MUCHO tiempo), eligieron notaciones radicalmente diferentes. Newton eligió \(\overset{\bullet }{\mathop{y}}\,\), mientras que Leibniz eligió \(\frac{dy}{dx}\). Hasta ahora tan bueno. Pero el concepto de derivada significa mucho menos si no tenemos teoremas de derivada poderosos.

Usando sus respectivas notaciones, ambos tuvieron pocos problemas para demostrar teoremas básicos de diferenciación, como la linealidad y la regla del producto, pero Newton no vio la necesidad de enunciar formalmente la regla de la cadena, posiblemente porque su notación no se prestaba para eso. , mientras que para la notación de Leibniz, la regla de la cadena se muestra casi como una regla "Duh". Para ser más precisos, suponga que \(y=y\left( x \right) \) es una función y \(u=u\left( x \right) \) es otra función.

Es una pregunta natural preguntar si puedo calcular la derivada de la composición \(y\left( u\left( x \right) \right) \) de una manera fácil, basada en las derivadas de \(y\) y \(u\). La respuesta a esta pregunta es la regla de la cadena. Usando la notación de Leibniz, la regla es

\[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}\]

Es casi como si pudieras cancelar el tipo de \(du\):

pero no es exactamente así. Pero esa es la belleza de la notación de Leibniz. Tiene un atractivo fuertemente intuitivo (y las "cancelaciones" de \(du\) son casi una realidad, es solo que se hace en el nivel de \(\Delta u\) y hay límites involucrados), pero aún necesitas entender lo que Leibniz estaba diciendo con la regla. Él dice:

“La derivada de la función compuesta \(y\left( u\left( x \right) \right) \) es la misma que la derivada de \(y\) en el punto \(u\left( x \right) \) multiplicada por la derivada de \(u\) en el punto \(x\)”

La regla de la cadena que usa la notación de Newton obtiene la siguiente forma:

\[\overset{\bullet }{\mathop{\left( f\circ u \right)}}\,=\overset{\bullet }{\mathop{f}}\,\left( u\left( x \right) \right)\overset{\bullet }{\mathop{u}}\,\left( x \right)\]

Bastante menos bonito, ¿no? Pero adivinen qué, la regla de la cadena de Newton dice EXACTAMENTE LO MISMO que

\[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}\]

Sin embargo, esta última notación se incendió y ayudó enormemente al rápido desarrollo del cálculo moderno, mientras que la forma de Newton fue mucho menos querida. Aunque los teoremas decían exactamente lo mismo, uno era dorado y el otro no tanto. ¿Por qué? NOTACIÓN mi amigo.