Cómo utilizar esta calculadora de covarianza

El uso de esta calculadora es simple: debe ingresar los datos de muestra para las variables \(X\) y \(Y\), y presionar el botón "Calcular". La calculadora le mostrará todos los pasos necesarios para calcular el coeficiente de covarianza.

¿Cómo se calcula la covarianza de la muestra?

Primero, necesitamos tener dos muestras del mismo tamaño: \(X_1, X_2, ...., X_n\) y \(Y_1, Y_2, ...., Y_n\). Luego, usando esta información sobre las muestras, usa la siguiente fórmula:

\[ cov(X, Y) = \displaystyle \frac{1}{n-1}\left(\sum_{i=1}^n X_i Y_i - \left( \sum_{i=1}^n X_i \right) \times \left( \sum_{i=1}^n Y_i \right) \right) \]

Por lo general, esto se calcula construyendo una tabla con los valores \(X_i\) y \(Y_i\), pero también con los productos \(X_i Y_i\) en una columna.

Fórmulas alternativas para calcular la covarianza muestral

A menudo, verá una fórmula diferente para la covarianza de muestra que se muestra como:

\[ cov(X, Y) = \displaystyle \frac{1}{n-1}\left(\sum_{i=1}^n (X_i - \bar X)(Y_i - \bar Y) \right)\]

Esta fórmula es absolutamente equivalente a las anteriores, y es cuestión de gustos si usas esta u otra.

Algunas personas piensan que la última fórmula es mejor porque muestra la covarianza como este producto de las desviaciones de la media. Pero otras personas piensan que este último es ineficiente, porque se ve obligado a calcular las medias muestrales, que no se requieren en el primero.

¿Están relacionadas la covarianza y la correlación de alguna manera?

Sí lo son. Tanto la covarianza como el coeficiente de correlación miden el grado de asociación lineal entre dos variables.

La principal diferencia es que la correlación mide la asociación en relación con las desviaciones estándar, lo que hace que el coeficiente de correlación varíe entre -1 y 1, lo que hace una medida de asociación MUCHO más interpretable que la covarianza misma.

Aún así, el coeficiente de covarianza, aunque sea menos interpretable, tiene sus usos en las finanzas, especialmente en el cálculo de el beta de una empresa.

Calculadora de covarianza caso continuo

Observe que el caso anterior corresponde a la correlación muestral. Cuando conoce la distribución de las variables \(X\) e \(Y\), así como su distribución conjunta, puede calcular la covarianza exacta usando la expresión:

\[cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)\]