La fórmula cuadrática: ¿cómo resolver una ecuación cuadrática?

La ecuación cuadrática es una ecuación de la forma:

\[a x^2 + b x + c = 0\]

con \( a \neq 0\). Esta es la fórmula principal que determina un Ecuación cuadrática .

La buena noticia es que la ecuación anterior no es demasiado difícil de resolver, lo cual es una gran cosa teniendo en cuenta que la ecuación cuadrática aparece literalmente en todas partes en Álgebra, Cálculo y prácticamente en todas partes.

La solución de la fórmula cuadrática

Ahora, la pregunta es cómo resolver esta fórmula cuadrática. Afortunadamente, la respuesta simple y conocida: tiene soluciones de la forma

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Estos son conocidos como los raíces de la ecuación cuadrática (también conocidas como soluciones de la ecuación). Para analizar la naturaleza de la solución, el discriminante se define como:

\[D = b^2 - 4ac\]

Tipos de soluciones a la fórmula cuadrática

A partir del valor del discriminante se define la naturaleza de las soluciones. De hecho, cuando \(D > 0\), entonces hay dos soluciones reales diferentes, cuando \(D = 0\), hay una solución real repetida, y cuando \(D < 0\), hay dos soluciones imaginarias diferentes. Este Calculadora de ecuaciones cuadráticas le ayuda a hacer estos cálculos automáticamente.

Una de las cosas interesantes de este salculadora de ecuaciones cuadráticas es que mostrará los pasos para calcular la intersección y, las coordenadas del vértice y trazará la función cuadrática.

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Pasos de fórmula cuadrática

Hay varios pasos que debe seguir para resolver con éxito una ecuación cuadrática:

Paso 1: Identifique los coeficientes. Examine la ecuación dada de la forma \(ax^2+bx+c\) y determine los coeficientes \(a\), \(b\) y \(c\). El coeficiente \(a\) es el coeficiente que aparece al multiplicar el término cuadrático \(x^2\). El coeficiente \(b\) es el coeficiente que aparece al multiplicar el término lineal \(x\), y el coeficiente \(c\) es la constante.

Ejemplo: Suponga que tiene la siguiente expresión: \(x^2+3x+1\). ¿Qué son los coeficientes? En este caso, \(a = 1\) (el coeficiente que multiplica el término cuadrático \(x^2\)), \(b = 3\) (el coeficiente que multiplica el término lineal \(x\)) y \(c = 1\) (la constante).

Ejemplo: Supongamos que tiene la siguiente expresión: \(\frac{5}{4} + \frac{3}{4} x + \frac{1}{2} x^2\). ¿Cuáles son los coeficientes ahora? En este caso, \(a = \frac{1}{2}\) (el coeficiente que multiplica el término cuadrático \(x^2\)), \(b = \frac{3}{4}\) (el coeficiente que multiplica el término lineal \(x\)) y \(c = \frac{5}{4}\) (la constante).

Ejemplo: Qué sucede con la siguiente expresión: \(-3 + \frac{1}{2} x\). En este caso, tenemos que \(a = 0\), porque la expresión no contiene un término cuadrático \(x^2\), así que en este caso, esta no es una expresión cuadrática.

Paso 2: reemplaza los coeficientes que encontraste en la fórmula. la fórmula es fórmula cuadrática es

\[x = \displaystyle\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

por lo que debe reemplazar el valor de los coeficientes \(a\), \(b\) y \(c\).

Ejemplo: si tiene la ecuación: \(-3x^2 + 2x-1 = 0\), encontrará que \(a = -3\), \(b = 2\) y \(c = -1\). Entonces, reemplazando estos valores en la fórmula obtenemos:

\[x = \displaystyle\frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(-3)(-1)}}{2(-3)}\]

Paso 3: simplifica los valores en la ecuación, una vez que hayas insertado los valores de \(a\), \(b\) y \(c\) . En el ejemplo anterior, tendríamos

\[x = \displaystyle\frac{-2 \pm \sqrt{4 - 12}}{-6} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{-6}\]

Paso 4: Mira dentro de la raíz cuadrada. Si el valor es positivo, entonces el Ecuación cuadrática tiene dos raíces reales. Si el valor es 0, entonces hay una raíz real, y si el valor dentro de la raíz cuadrada es negativo, entonces hay dos raíces complejas. En el ejemplo anterior, tenemos un -8 dentro de la raíz cuadrada, por lo que tenemos dos soluciones complejas, como se muestra a continuación:

\[x = \displaystyle\frac{-2 \pm \sqrt{4 - 12}}{-6} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{-6}= \frac{-2 \pm i \sqrt{8}}{-6}\]

¿para qué se usa la fórmula cuadrática?

El Fórmula cuadrática es una de las fórmulas más ubicuas en matemáticas. Aparece cuando está resolviendo todo tipo de problemas geométricos, como cuando está maximizando un área, dado un perímetro fijo, o en numerosos problemas verbales.

Mucha gente se pregunta si existe alguna relación entre esta fórmula de ecuación cuadrática y el método de Completando el cuadrado . La respuesta es simple: llegas a la fórmula cuadrática por resolviendo la ecuación cuadrática completando el cuadrado. Es exactamente la misma idea, que deriva de la fórmula cuadrática que todos conocemos.

Observa que las soluciones de la ecuación cuadrática tienen una propiedad geométrica muy interesante: cuando calculas el promedio de las soluciones encontradas, obtienes la coordenada x del vértice de la parábola, que te ayuda a encontrar la Forma de vértice de una parábola, también conocida como la forma estándar, utilizada en muchas aplicaciones, ejemplo de forma con secciones cónicas.

Ejemplos de fórmulas cuadráticas

Calcule las raíces de la siguiente ecuación cuadrática: \(3x^2 - 2x + 4 = 0\)

Solución:

La siguiente ecuación debe ser resuelta:

\[ 3 x^2 -2 x + 4 = 0\]

Esto corresponde a una ecuación cuadrática. La siguiente fórmula se utiliza para encontrar las soluciones:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Usando la fórmula anterior, obtenemos que:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{ (-2)^2 - 4(3)(4)}}{2(3)}\]\[= \frac{ 2 \pm \sqrt{ -44}}{ 6}\]

Por lo tanto, las soluciones son:

\[x_1 = 0.333 - 1.106 i \] \[x_2 = 0.333 + 1.106 i \]

Por lo tanto, hay dos soluciones imaginarias \(x_1 = 0.333 - 1.106 i \) y \(x_2 = 0.333 + 1.106 i \).

Además, la intersección con el eje y ocurre en \(y = 4\), lo que significa que las coordenadas de la intersección con el eje y son \((0, 4)\).

Finalmente, las coordenadas del vértice son:

\[x_V = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2\cdot 3} = 0.3333\] \[y_V = f(x_V) = 3 (0.3333)^2 -2 (0.3333) + 4 = 3.6667\]