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Sustitución sintética

Instrucciones: Utilice esta calculadora de sustitución sintética, que muestra todos los pasos del cálculo. Escriba un polinomio P(x) y un valor x donde desee evaluar el polinomio en el formulario a continuación.

Calculadora de sustitución sintética

Esta calculadora puede ayudarte con el proceso de evaluar un polinomio $p(x)$ en un punto dado $x = a$. Para que la calculadora funcione, debe proporcionar un polinomio válido de cualquier orden y una expresión numérica válida.

Por ejemplo, es posible que desee evaluar un punto en el polinomio x^5 + 10x^3 - 2x - 12, y el punto que desea evaluar es 1/3.

No es necesario simplificar el polinomio, siempre que sea un polinomio válido. Por ejemplo, puede escribir x^5 + 10x^3 - 2x - x + 3 - 1/3 y la calculadora primero simplificar el polinomio , antes de realizar la sustitución sintética .

Una vez que haya proporcionado un polinomio válido y una expresión numérica, puede hacer clic en "Calcular", para que se muestren los pasos del proceso, que consiste en aplicar División sintética . .

¿por qué usar sustitución sintética?

La sustitución sintética es simplemente una forma de evaluar un valor en un polinomio dado. Es decir, tiene un valor $x = a$ y un polinomio $p(x)$, y desea evaluar el polinomio en el valor dado, por lo que desea obtener el valor de $p(a)$.

Ahora, la pregunta es ¿por qué no simplemente reemplazar el valor de x = a en p(x)? Por ejemplo, con el polinomio $p(x) = x^5 + 10x^3 - 2x - 12$ y el valor $x = \displaystyle \frac{1}{3}$ necesitaríamos calcular

\[\displaystyle p\left(\frac{1}{3}\right) = \displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^5 + 10\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 - 2\cdot \left(\frac{1}{3}\right) - 12 \]

Aunque es factible, el cálculo anterior se siente como, hmmmmm, por no decir tentador, por decir lo menos. Entonces, ¿hay una forma mejor y más fácil de evaluar $x = \displaystyle \frac{1}{3}$ a través del polinomio $p(x) = x^5 + 10x^3 - 2x - 12$?? ¿Apuesto a que hay?

Resulta que, en virtud de la teorema del resto , cuando tienes un polinomio $p(x)$, y lo divides por $x-a$, entonces el resto es igual a $p(a)$.

Magia, ¿verdad? Entonces todo lo que necesitas hacer es tomar el polinomio $p(x)$, y hacer una división de polinomios con $x-a$ usando División sintética (usted puede usar divisiones largas también, pero es un poco más engorroso)

Pasos para usar la sustitución sintética

Paso 1: Identifique el polinomio p(x) con el que está trabajando y el valor x = a en el que desea evaluar el polinomio
Paso 2: Si el grado del polinomio es cero, entonces el polinomio es constante y p(a) también lo es.
Paso 3: Suponga que el polinomio tiene grado 1 o superior. Aplicar división sintética al dividendo p(x) y al divisor x - a
Paso 4: Una vez que haya terminado, mire la última columna y encontrará el resto numérico. Tendrás entonces que p(a) es igual a ese valor

Entonces, podemos ver que evaluar un polinomio está íntimamente relacionado con la división de polinomios, y eso es exactamente lo que establece el Teorema del Resto.

Aplicaciones de la sustitución sintética

Como mencionamos antes, está claro que podemos usar una calculadora para calcular explícitamente $\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^5 + 10\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 - 2\cdot \left(\frac{1}{3}\right) - 12$, pero obviamente es computacionalmente costoso.

En ingeniería y otras aplicaciones, está claro que querremos utilizar un proceso lo más eficiente posible, y el proceso de sustitución sintética se reduce a un puñado de simples multiplicaciones y sumas, que son mucho "más baratas" que las exponenciaciones que serían requerido de otra manera

¿cómo saber cuándo usar la evaluación sintética o simplemente conectar el polinomio?

Paso 1: Determine el polinomio p(x) con el que está trabajando y el valor de x = a, en el que desea evaluar el polinomio
Paso 2: Mire el grado de p(x), para grados de 0 o 1, simplificará, conecte el valor
Paso 3: Para grados de 2 y superiores, es más conveniente utilizar la evaluación sintética

La conveniencia de utilizar la sustitución sintética se hace evidente a medida que grado del polinomio aumenta, especialmente para el grado 4 y superior.

Consejos para el éxito

Intente seguir un enfoque sistemático, utilizando el método tabular habitual para dominarlo. Evitar errores con los signos y al agregar las filas es crucial para llegar al resto final sin errores.

Ejemplo: usar sustitución sintética

Considere el polinomio: $p(x) = x^5 + 10x^3 - 2x - 12$, evalúelo en el punto $x = \frac{1}{3}$

Solución: Se ha proporcionado el siguiente polinomio: $\displaystyle p(x) = x^5+10x^3-2x-12$, que debe evaluarse en el punto $\displaystyle x = \frac{1}{3}$ mediante sustitución sintética.

Para realizar la sustitución sintética, necesitamos hacer una división sintética de: $\displaystyle p(x) = x^5+10x^3-2x-12$, y el divisor $\displaystyle s = x-\frac{1}{3}$, y encontrar el resto.

Observe que el grado del dividendo es $\displaystyle deg(p) = 5$, mientras que el grado del divisor es $\displaystyle deg(s)) = 1$.

Paso 1: Como el divisor tiene grado 1, podemos usar el método de la División Sintética. Resolviendo $\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{3} = 0$ encontramos directamente que el número a poner en la casilla de división es: $\displaystyle \frac{1}{3}$.

\[\begin{array}{c|ccccc} \frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12 \\[0.6em] & & & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & & & \end{array}\]

Paso 2: Ahora pasamos directamente el término inicial $1$ a la fila de resultados:

\[\begin{array}{c|ccccc} \frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12 \\[0.6em] & & & & & & & \\[0.6em] \hline &1&&&&& \end{array}\]

Paso 3: Multiplicando el término en el cuadro de división por el resultado en la columna 1, obtenemos: $\frac{1}{3} \cdot \left(1\right) = \frac{1}{3}$ y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 1.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & & & \\[0.6em]\hline&1&&&&&\end{array}\]

Paso 4: Ahora sumando los valores en la columna 2, obtenemos: $ 0+\frac{1}{3} = \frac{1}{3}$ y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 2.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & & & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & & & \end{array}\]

Paso 5: Multiplicando el término en el cuadro de división por el resultado en la columna 2, obtenemos: $\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{9}$ y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 2.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & & & \end{array}\]

Paso 6: Ahora sumando los valores en la columna 3, obtenemos: $ 10+\frac{1}{9} = \frac{91}{9}$ y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 3.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & & \end{array}\]

Paso 7: Multiplicando el término en el cuadro de división por el resultado en la columna 3, obtenemos: $\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{91}{9}\right) = \frac{91}{27}$ y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 3.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & & \end{array}\]

Paso 8: Ahora sumando los valores en la columna 4, obtenemos: $ 0+\frac{91}{27} = \frac{91}{27}$ y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 4.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & \frac{91}{27} & \end{array}\]

Paso 9: Multiplicando el término en el cuadro de división por el resultado en la columna 4, obtenemos: $\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{91}{27}\right) = \frac{91}{81}$ y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 4.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \frac{91}{81}\\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & \frac{91}{27} & \end{array}\]

Paso 10: Ahora sumando los valores en la columna 5, obtenemos: $ -2+\frac{91}{81} = -\frac{71}{81}$ y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 5.

Paso 11: Multiplicando el término en el cuadro de división por el resultado en la columna 5, obtenemos: $\frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{71}{81}\right) = -\frac{71}{243}$ y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 5.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \frac{91}{81} & -\frac{71}{243}\\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & \frac{91}{27} & -\frac{71}{81}\end{array}\]

Paso 12: Ahora sumando los valores en la columna 6, obtenemos: $ -12-\frac{71}{243} = -\frac{2987}{243}$ y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 6.

lo que concluye este cálculo, ya que hemos llegado al resultado en la columna final, que contiene el resto.

Conclusión: Por lo tanto, concluimos que para el dividendo $\displaystyle p(x) = x^5+10x^3-2x-12$ y el divisor $\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{3}$ dados, obtenemos que el resto es $\displaystyle r(x) = -\frac{2987}{243}$, entonces concluimos que $\displaystyle p\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{2987}{243}$.

Ejemplo: aplicación de sustitución sintética

¿Es el valor x = 1 una raíz del polinomio: $p(x) = x^4 - x^3 + 4x + 3$?

Solución: La sustitución sintética se puede aplicar como en el ejemplo anterior, pero en el caso de un valor simple como x = 1, simplemente podemos reemplazar x = 1 y el cálculo es muy simple:

\[p(1) = 1^4 - 1^3 + 4\cdot 1 + 3 = 1 - 1 + 4 + 3 = 7 \ne 0\]

entonces x = 1 no es una raíz.

Ejemplo: más sustituciones sintéticas

Evalúe p(1/2) para $p(x) = x^4 - 2x^3 + 4x + 3$.

Solución: Ahora tenemos $\displaystyle p(x) = x^4-2x^3+4x+3$, a evaluar en el punto $\displaystyle x = \frac{1}{2}$ usando sustitución sintética.

Entonces usamos la división sintética de: $\displaystyle p(x) = x^4-2x^3+4x+3$, y el divisor $\displaystyle s = x-\frac{1}{2}$, y el objetivo es encontrar el resto.

Paso 1: Como el divisor tiene grado 1, podemos usar el método de la División Sintética. Resolviendo $\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{2} = 0$ encontramos directamente que el número a poner en la casilla de división es: $\displaystyle \frac{1}{2}$.

\[\begin{array}{c|cccc} \frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & & \end{array}\]

Paso 2: Ahora pasamos directamente el término inicial $1$ a la fila de resultados:

\[\begin{array}{c|cccc} \frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline &1&&&& \end{array}\]

Paso 3: Multiplicando el término en el cuadro de división por el resultado en la columna 1, encontramos: $\frac{1}{2} \cdot \left(1\right) = \frac{1}{2}$ y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 1.

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & & \\[0.6em]\hline&1&&&&\end{array}\]

Paso 4: Ahora sumando los valores en la columna 2, encontramos: $ -2+\frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$ y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 2.

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & & \\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & & \end{array}\]

Paso 5: Multiplicando el término en el cuadro de división por el resultado en la columna 2, encontramos: $\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -\frac{3}{4}$ y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 2.

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & \\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & & \end{array}\]

Paso 6: Ahora sumando los valores en la columna 3, encontramos: $ 0-\frac{3}{4} = -\frac{3}{4}$ y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 3.

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & \\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \end{array}\]

Paso 7: Multiplicando el término en el cuadro de división por el resultado en la columna 3, encontramos: $\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = -\frac{3}{8}$ y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 3.

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & -\frac{3}{8}\\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \end{array}\]

Paso 8: Ahora sumando los valores en la columna 4, encontramos: $ 4-\frac{3}{8} = \frac{29}{8}$ y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 4.

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & -\frac{3}{8}\\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \frac{29}{8}\end{array}\]

Paso 9: Multiplicando el término en el cuadro de división por el resultado en la columna 4, encontramos: $\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{29}{8}\right) = \frac{29}{16}$ y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 4.

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & -\frac{3}{8} & \frac{29}{16}\\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \frac{29}{8}\end{array}\]

Paso 10: Ahora sumando los valores en la columna 5, encontramos: $ 3+\frac{29}{16} = \frac{77}{16}$ y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 5.

Conclusión: Por lo tanto, concluimos que para el dividendo $\displaystyle p(x) = x^4-2x^3+4x+3$ y el divisor $\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{2}$ dados, y obtenemos que el resto es igual a $\displaystyle r(x) = \frac{77}{16}$, entonces concluimos que $\displaystyle p\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{77}{16}$.

Más calculadoras de polinomios

La importancia de la evaluaciones de polinomios y los cálculos no pueden ser subestimados. raíces polinómicas son increíblemente versátiles y aparecen en muchas aplicaciones en física e ingeniería. .

En este artículo vimos la clara conexión con la sustitución sintética con ambos División sintética y División larga , que cierra el círculo recorrido por el Teorema Del Resto , que sin duda es antecesor directo del Teorema Fundamental del Álgebra.