Calculadora de sustitución sintética

Esta calculadora puede ayudarte con el proceso de evaluar un polinomio $p(x)$ en un punto dado $x = a$. Para que la calculadora funcione, debe proporcionar un polinomio válido de cualquier orden y una expresión numérica válida.

Por ejemplo, es posible que desee evaluar un punto en el polinomio x^5 + 10x^3 - 2x - 12, y el punto que desea evaluar es 1/3.

No es necesario simplificar el polinomio, siempre que sea un polinomio válido. Por ejemplo, puede escribir x^5 + 10x^3 - 2x - x + 3 - 1/3 y la calculadora primero simplificar el polinomio , antes de realizar la sustitución sintética .

Una vez que haya proporcionado un polinomio válido y una expresión numérica, puede hacer clic en "Calcular", para que se muestren los pasos del proceso, que consiste en aplicar División sintética . .

¿por qué usar sustitución sintética?

La sustitución sintética es simplemente una forma de evaluar un valor en un polinomio dado. Es decir, tiene un valor $x = a$ y un polinomio $p(x)$, y desea evaluar el polinomio en el valor dado, por lo que desea obtener el valor de $p(a)$.

Ahora, la pregunta es ¿por qué no simplemente reemplazar el valor de x = a en p(x)? Por ejemplo, con el polinomio $p(x) = x^5 + 10x^3 - 2x - 12$ y el valor $x = \displaystyle \frac{1}{3}$ necesitaríamos calcular

$$\displaystyle p\left(\frac{1}{3}\right) = \displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^5 + 10\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 - 2\cdot \left(\frac{1}{3}\right) - 12$$

Aunque es factible, el cálculo anterior se siente como, hmmmmm, por no decir tentador, por decir lo menos. Entonces, ¿hay una forma mejor y más fácil de evaluar $x = \displaystyle \frac{1}{3}$ a través del polinomio $p(x) = x^5 + 10x^3 - 2x - 12$?? ¿Apuesto a que hay?

Resulta que, en virtud de la teorema del resto , cuando tienes un polinomio $p(x)$, y lo divides por $x-a$, entonces el resto es igual a $p(a)$.

Magia, ¿verdad? Entonces todo lo que necesitas hacer es tomar el polinomio $p(x)$, y hacer una división de polinomios con $x-a$ usando División sintética (usted puede usar divisiones largas también, pero es un poco más engorroso)

Pasos para usar la sustitución sintética

• Paso 1: Identifique el polinomio p(x) con el que está trabajando y el valor x = a en el que desea evaluar el polinomio
• Paso 2: Si el grado del polinomio es cero, entonces el polinomio es constante y p(a) también lo es.
• Paso 3: Suponga que el polinomio tiene grado 1 o superior. Aplicar división sintética al dividendo p(x) y al divisor x - a
• Paso 4: Una vez que haya terminado, mire la última columna y encontrará el resto numérico. Tendrás entonces que p(a) es igual a ese valor

Entonces, podemos ver que evaluar un polinomio está íntimamente relacionado con la división de polinomios, y eso es exactamente lo que establece el Teorema del Resto.

Aplicaciones de la sustitución sintética

Como mencionamos antes, está claro que podemos usar una calculadora para calcular explícitamente $\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^5 + 10\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 - 2\cdot \left(\frac{1}{3}\right) - 12$, pero obviamente es computacionalmente costoso.

En ingeniería y otras aplicaciones, está claro que querremos utilizar un proceso lo más eficiente posible, y el proceso de sustitución sintética se reduce a un puñado de simples multiplicaciones y sumas, que son mucho "más baratas" que las exponenciaciones que serían requerido de otra manera

¿cómo saber cuándo usar la evaluación sintética o simplemente conectar el polinomio?

• Paso 1: Determine el polinomio p(x) con el que está trabajando y el valor de x = a, en el que desea evaluar el polinomio
• Paso 2: Mire el grado de p(x), para grados de 0 o 1, simplificará, conecte el valor
• Paso 3: Para grados de 2 y superiores, es más conveniente utilizar la evaluación sintética

La conveniencia de utilizar la sustitución sintética se hace evidente a medida que grado del polinomio aumenta, especialmente para el grado 4 y superior.

Consejos para el éxito

Intente seguir un enfoque sistemático, utilizando el método tabular habitual para dominarlo. Evitar errores con los signos y al agregar las filas es crucial para llegar al resto final sin errores.

Ejemplo: usar sustitución sintética

Considere el polinomio: $p(x) = x^5 + 10x^3 - 2x - 12$, evalúelo en el punto $x = \frac{1}{3}$

Solución: Se ha proporcionado el siguiente polinomio: $\displaystyle p(x) = x^5+10x^3-2x-12$, que debe evaluarse en el punto $\displaystyle x = \frac{1}{3}$ mediante sustitución sintética.

Para realizar la sustitución sintética, necesitamos hacer una división sintética de: $\displaystyle p(x) = x^5+10x^3-2x-12$, y el divisor $\displaystyle s = x-\frac{1}{3}$, y encontrar el resto.

Observe que el grado del dividendo es $\displaystyle deg(p) = 5$, mientras que el grado del divisor es $\displaystyle deg(s)) = 1$.

Paso 1: Como el divisor tiene grado 1, podemos usar el método de la División Sintética. Resolviendo $\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{3} = 0$ encontramos directamente que el número a poner en la casilla de división es: $\displaystyle \frac{1}{3}$.

$$\begin{array}{c|ccccc} \frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12 \\[0.6em] & & & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & & & \end{array}$$

Paso 2: Ahora pasamos directamente el término inicial $1$ a la fila de resultados:

$$\begin{array}{c|ccccc} \frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12 \\[0.6em] & & & & & & & \\[0.6em] \hline &1&&&&& \end{array}$$

Paso 3: Multiplicando el término en el cuadro de división por el resultado en la columna 1, obtenemos: $\frac{1}{3} \cdot \left(1\right) = \frac{1}{3}$ y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 1.

$$\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & & & \\[0.6em]\hline&1&&&&&\end{array}$$

Paso 4: Ahora sumando los valores en la columna 2, obtenemos: $0+\frac{1}{3} = \frac{1}{3}$ y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 2.

$$\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & & & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & & & \end{array}$$

Paso 5: Multiplicando el término en el cuadro de división por el resultado en la columna 2, obtenemos: $\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{9}$ y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 2.

$$\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & & & \end{array}$$

Paso 6: Ahora sumando los valores en la columna 3, obtenemos: $10+\frac{1}{9} = \frac{91}{9}$ y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 3.

$$\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & & \end{array}$$

Paso 7: Multiplicando el término en el cuadro de división por el resultado en la columna 3, obtenemos: $\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{91}{9}\right) = \frac{91}{27}$ y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 3.

$$\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & & \end{array}$$

Paso 8: Ahora sumando los valores en la columna 4, obtenemos: $0+\frac{91}{27} = \frac{91}{27}$ y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 4.

$$\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & \frac{91}{27} & \end{array}$$

Paso 9: Multiplicando el término en el cuadro de división por el resultado en la columna 4, obtenemos: $\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{91}{27}\right) = \frac{91}{81}$ y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 4.

$$\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \frac{91}{81}\\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & \frac{91}{27} & \end{array}$$

Paso 10: Ahora sumando los valores en la columna 5, obtenemos: $-2+\frac{91}{81} = -\frac{71}{81}$ y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 5.

$$\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \frac{91}{81}\\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & \frac{91}{27} & -\frac{71}{81}\end{array}$$

Paso 11: Multiplicando el término en el cuadro de división por el resultado en la columna 5, obtenemos: $\frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{71}{81}\right) = -\frac{71}{243}$ y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 5.

$$\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \frac{91}{81} & -\frac{71}{243}\\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & \frac{91}{27} & -\frac{71}{81}\end{array}$$

Paso 12: Ahora sumando los valores en la columna 6, obtenemos: $-12-\frac{71}{243} = -\frac{2987}{243}$ y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 6.

$$\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \frac{91}{81} & -\frac{71}{243}\\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & \frac{91}{27} & -\frac{71}{81} & -\frac{2987}{243}\end{array}$$

lo que concluye este cálculo, ya que hemos llegado al resultado en la columna final, que contiene el resto.

Conclusión: Por lo tanto, concluimos que para el dividendo $\displaystyle p(x) = x^5+10x^3-2x-12$ y el divisor $\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{3}$ dados, obtenemos que el resto es $\displaystyle r(x) = -\frac{2987}{243}$, entonces concluimos que $\displaystyle p\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{2987}{243}$.

Ejemplo: aplicación de sustitución sintética

¿Es el valor x = 1 una raíz del polinomio: $p(x) = x^4 - x^3 + 4x + 3$?

Solución: La sustitución sintética se puede aplicar como en el ejemplo anterior, pero en el caso de un valor simple como x = 1, simplemente podemos reemplazar x = 1 y el cálculo es muy simple:

$$p(1) = 1^4 - 1^3 + 4\cdot 1 + 3 = 1 - 1 + 4 + 3 = 7 \ne 0$$

entonces x = 1 no es una raíz.

Ejemplo: más sustituciones sintéticas

Evalúe p(1/2) para $p(x) = x^4 - 2x^3 + 4x + 3$.

Solución: Ahora tenemos $\displaystyle p(x) = x^4-2x^3+4x+3$, a evaluar en el punto $\displaystyle x = \frac{1}{2}$ usando sustitución sintética.

Entonces usamos la división sintética de: $\displaystyle p(x) = x^4-2x^3+4x+3$, y el divisor $\displaystyle s = x-\frac{1}{2}$, y el objetivo es encontrar el resto.

Paso 1: Como el divisor tiene grado 1, podemos usar el método de la División Sintética. Resolviendo $\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{2} = 0$ encontramos directamente que el número a poner en la casilla de división es: $\displaystyle \frac{1}{2}$.

$$\begin{array}{c|cccc} \frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & & \end{array}$$

Paso 2: Ahora pasamos directamente el término inicial $1$ a la fila de resultados:

$$\begin{array}{c|cccc} \frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline &1&&&& \end{array}$$

Paso 3: Multiplicando el término en el cuadro de división por el resultado en la columna 1, encontramos: $\frac{1}{2} \cdot \left(1\right) = \frac{1}{2}$ y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 1.

$$\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & & \\[0.6em]\hline&1&&&&\end{array}$$

Paso 4: Ahora sumando los valores en la columna 2, encontramos: $-2+\frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$ y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 2.

$$\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & & \\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & & \end{array}$$

Paso 5: Multiplicando el término en el cuadro de división por el resultado en la columna 2, encontramos: $\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -\frac{3}{4}$ y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 2.

$$\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & \\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & & \end{array}$$

Paso 6: Ahora sumando los valores en la columna 3, encontramos: $0-\frac{3}{4} = -\frac{3}{4}$ y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 3.

$$\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & \\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \end{array}$$

Paso 7: Multiplicando el término en el cuadro de división por el resultado en la columna 3, encontramos: $\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = -\frac{3}{8}$ y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 3.

$$\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & -\frac{3}{8}\\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \end{array}$$

Paso 8: Ahora sumando los valores en la columna 4, encontramos: $4-\frac{3}{8} = \frac{29}{8}$ y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 4.

$$\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & -\frac{3}{8}\\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \frac{29}{8}\end{array}$$

Paso 9: Multiplicando el término en el cuadro de división por el resultado en la columna 4, encontramos: $\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{29}{8}\right) = \frac{29}{16}$ y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 4.

$$\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & -\frac{3}{8} & \frac{29}{16}\\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \frac{29}{8}\end{array}$$

Paso 10: Ahora sumando los valores en la columna 5, encontramos: $3+\frac{29}{16} = \frac{77}{16}$ y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 5.

$$\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & -\frac{3}{8} & \frac{29}{16}\\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \frac{29}{8} & \frac{77}{16}\end{array}$$

Conclusión: Por lo tanto, concluimos que para el dividendo $\displaystyle p(x) = x^4-2x^3+4x+3$ y el divisor $\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{2}$ dados, y obtenemos que el resto es igual a $\displaystyle r(x) = \frac{77}{16}$, entonces concluimos que $\displaystyle p\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{77}{16}$.

Más calculadoras de polinomios

La importancia de la evaluaciones de polinomios y los cálculos no pueden ser subestimados. raíces polinómicas son increíblemente versátiles y aparecen en muchas aplicaciones en física e ingeniería. .

En este artículo vimos la clara conexión con la sustitución sintética con ambos División sintética y División larga , que cierra el círculo recorrido por el Teorema Del Resto , que sin duda es antecesor directo del Teorema Fundamental del Álgebra.