Math Cracks: un enfoque genial para la integración por partes

Introducción

La idea de la integración por partes suena bastante aterradora para muchos estudiantes de Cálculo, y creo que hay una buena razón para ello. En primer lugar, la integración por partes es una técnica que implica dos pasos (o más) en lugar de un paso, como a la mayoría de los estudiantes les gustaría. Los estudiantes querrían APLICAR alguna fórmula y obtener la respuesta de inmediato, pero en Cálculo muchas veces las respuestas vienen después de una secuencia (a veces larga) de pasos.

Aparte del método de sustitución , el método de integración por partes es el método más importante para resolver integrales que no son elementales.

En primer lugar, como principio de la cuestión, una de las razones por las que el cálculo integral suele ser difícil para los estudiantes es la notación bastante desafortunada que se utiliza para la integración. De hecho, al calcular la integral indefinida de una función \(f\left( x \right)\), nos enfrentamos a la siguiente notación

\[\int{f\left( x \right)dx}\] What many students do not understand is what is really meant by the "\(dx\)" in the expression above. Clearly, there are historical reasons why the "\(dx\)" appears in the notation stated above. But, actually there is no reason to include \(dx\) or even to add \(f\left( x \right)\). When we want to compute the indefinite integral of a function \(f\), we should be able to simply write \[\int{f}\] and that way we are stating the indefinite integral of the function \(f\).

¿Son iguales?

\[\int{f\left( x \right)dx}=\int{f\left( u \right)du}\]

¡Absolutamente! Es por eso que a veces ve a la variable de integración (xo u respectivamente) referida como una variable "ficticia", porque en realidad no juega ningún papel en el proceso de integración.

Integración por partes como regla de producto inversa

Después de una breve introducción, ahora vamos al grano. La fórmula típica de integración por partes que se muestra en los libros de texto es

\[\int{udv}=uv-\int{vdu} \,\,\,\,\,(1)\]

Entonces dices: "¿Eh? ¿Qué es eso?" Obviamente, sin dar un significado a los \(u\) y \(dv\) anteriores, es difícil ver de qué se trata. Una pregunta que puede hacerse es: ¿Por qué la fórmula de integración por partes involucra dv y du, si esos ni siquiera juegan un papel en el proceso de integración, como se muestra en la introducción?

La respuesta es simple: en el contexto de la fórmula de integración por partes anterior, \(du\) y \(dv\) no son "variables ficticias", sino que son funciones. Mnemónicamente, lo anterior es bueno para resolver un ejercicio de integración por partes, pero no es bueno entender por qué es realmente cierto o por qué funciona.

Ingrese la regla del producto:

La regla del producto dice que:

\[\frac{d}{dx}\left( fg \right)=\frac{df}{dx}g+f\frac{dg}{dx} \,\,\,\,\,(2)\]

Para abreviar, prefiero escribir

\[\left( fg \right)'=f'g+fg' \,\,\,\,\,(3)\]

¡Pero espera! ¿No nos estamos integrando en este artículo? ¿Por qué menciono una regla de diferenciación? Hum, ¿no sería genial tener también reglas de producto para integrales? ¿No sería genial si \(\int{f'g'}=f\,g + C\) ?? Desafortunadamente no lo es, PERO todavía hay una regla de producto para integrales, solo que es un poco más complicada.

Reorganicemos la ecuación (3), obtenemos:

\[fg'=\left( fg \right)'-f'g \,\,\,\,\,(4)\]

Entonces, si integramos ambos lados de la igualdad anterior obtenemos

\[\int{fg'}=\int{\left( \left( fg \right)'-f'g \right)}\]

que por linealidad de integración conduce a

\[\int{f\,g'}=f\,g-\int{f'g} \,\,\,\,\,(5)\]

Y aquí amigos míos, tenéis vuestra integración por regla parcial. La integración por partes debe verse como una herramienta de integración genial que me permite integrar el producto de dos funciones. Pero es un poco más restrictivo, porque es el producto de dos funciones PERO una de las funciones debe ser una derivada de ALGUNA función.

Entonces, para aplicar de manera fructífera la regla de integración por partes, necesito que sucedan tres cosas:

Estoy intentando integrar el producto de DOS funciones.
Una de esas funciones es una derivada de algo (por lo que tiene la forma \(g'\)).
Necesito saber cómo calcular ese algo (necesito saber quién es \(g\))

Si se dan esas tres condiciones, puedo usar la regla de integración por partes

RECUERDE: Cuando utilice la integración por partes, debe tener el producto de dos funciones, y una de esas dos funciones debe ser la derivada de algo que sepa.

Por ejemplo, veamos cuándo no puede aplicar la integración por partes: considere la siguiente integral

\[\int{\sin \left( {{x}^{2}} \right){{e}^{{{x}^{2}}}}}\]

En este caso, estamos intentando integrar el producto de dos funciones: \(\sin \left( {{x}^{2}} \right)\) y \({{e}^{{{x}^{2}}}}\), pero ¿sabes cuál es la antiderivada de cualquiera de estas dos funciones? O en otras palabras, ¿sabe qué funciones conducen a cualquiera de \(\sin \left( {{x}^{2}} \right)\) o \({{e}^{{{x}^{2}}}}\) después de diferenciar? Bien. No. Esas dos funciones no tienen antiderivadas elementales, por lo que la integración por partes no ayudaría en este caso.

Ahora un ejemplo donde la integración por partes PODRÍA usarse:

\[\int{{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx}\]

En este caso estamos tratando de integrar el producto de dos funciones: \({{x}^{2}}\) y \({{e}^{{{x}^{2}}}}\), y sé cuál es la antiderivada de \({{x}^{2}}\). Entonces puedo usar la regla. Tenemos la siguiente notación:

\[\int{{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx}=\int{\underbrace{{{e}^{{{x}^{2}}}}}_{f\left( x \right)}\underbrace{{{x}^{2}}dx}_{g'\left( x \right)}}\]

Entonces tenemos

\[\begin{aligned} & f\left( x \right)={{e}^{{{x}^{2}}}} \\ & g'\left( x \right)={{x}^{2}} \\ \end{aligned}\]

Diferenciando \(f\) e integrando \(g'\) obtenemos:

\[\begin{aligned} & f\left( x \right)=2x{{e}^{{{x}^{2}}}} \\ & g\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{3} \\ \end{aligned}\]

(Observe que el \(g\left( x \right)\) indicado anteriormente es una posible antiderivada, pero la regla es que puedo elegir CUALQUIER antiderivada, por lo que elijo la más simple). La integración por partes es

\[\int{f\,g'}=f\,g-\int{f'g}\]

así que conectando la información que tenemos, obtenemos lo siguiente:

\[\int{{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx\,}={{e}^{{{x}^{2}}}}\frac{{{x}^{3}}}{3}-\int{2x{{e}^{{{x}^{2}}}}\frac{{{x}^{3}}}{3}dx}\] \[\Rightarrow \,\,\,\int{{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx\,}=\frac{{{e}^{{{x}^{2}}}}{{x}^{3}}}{3}-\frac{2}{3}\int{{{x}^{4}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx}\]

Así que usé la regla de integración por partes anterior, pero en realidad, llegué a una integral más difícil de resolver. Esto es, para resolver \(\int{{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx\,}\) primero necesitamos saber cómo calcular \(\int{{{x}^{4}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx}\), que en realidad es más difícil.

La moraleja de esta historia es que la integración por partes es una especie de regla de producto para integrales, y estás buscando una estructura específica: es la integral del producto de dos funciones, y una de esas funciones necesitas saber cómo para calcular su antiderivada. Si ese es el caso, está en el negocio y puede aplicar la regla de integración por partes.

PERO, como se pudo ver en el ejemplo anterior, el hecho de que PUEDA usar la integración por partes NO significa que será útil en todo momento.