División de polinomios

Esta calculadora realizará una división de polinomios por ti, y todo lo que tienes que hacer es proporcionar dos polinomios válidos. El orden en que se dan estos polinomios importa, ya que la división de polinomios es no conmutativo (entonces p(x)/s(x) no es lo mismo que s(x)/p(x)).

El primer polinomio que proporcionas, a menudo llamado dividendo, corresponde al dividendo, y el segundo polinomio es por el que estás dividiendo, generalmente llamado divisor.

Ejemplos de polinomios válidos son p(x) = x^4 + 3x^3 - 2 y s(x) = x - 3, pero los coeficientes polinómicos no tienen que ser números enteros, ya que pueden ser fracciones o cualquier tipo de expresión numérica válida. Además, los polinomios no tienen por qué venir simplificados. Si es necesario, la calculadora realizará una simplificación de polinomios antes de dividir.

Una vez que proporcione los polinomios válidos, estará listo. Todo lo que queda por hacer es hacer clic en "Calcular", para que pueda obtener todos los pasos del proceso que se muestra.

Cómo dividir polinomios

La división de polinomios es un poco más complicada que la división de números. Por ejemplo, cuando dividimos dos números como '4 dividido por 2', hacemos 4/2 = 2. Así que es fácil, ¿verdad?

Pero no siempre es tan fácil, porque podemos tener algo como '7/2'. Puedes decir 'bueno, 7/2 = 3.5' y estarías en lo correcto, pero otra forma de verlo es decir que '7 dividido por 2 es 3, con un resto de 1'. ¿Por qué? Porque no hay ningún entero tal que multiplicando por 2 llegue a 7. El más cercano es 3, por lo que $2 \cdot 3 = 6$, pero me queda un resto de 1

Exactamente la misma idea se aplica a la división de polinomios. Dado un polinomio $p(x)$ y un divisor $s(x)$ vamos a intentar para encontrar un cociente $q(x)$ tal que

$$\displaystyle p(x) = s(x) \cdot q(x)$$

pero no siempre podremos, del mismo modo que para '7/2' no pudimos encontrar una división exacta. Luego, identificaremos el resto $r(x)$, que es el polinomio que da cuenta de cuánto $s(x) \cdot q(x)$ "falla" al apuntar a p(x). Entonces escribimos

$$\displaystyle p(x) = s(x) \cdot q(x) + r(x)$$

Idealmente, queremos que $r(x)$ sea cero, y si no, queremos que sea lo más pequeño posible. El algoritmo de Euclides nos muestra cómo encontrar el $r(x)$ más pequeño posible y, si todo va bien, podría ser cero, en cuyo caso decimos que el divisor $s(x)$ divide al polinomio $p(x)$.

¿cuáles son los pasos de la división de polinomios?

• Paso 1: Identifica el dividendo p(x) y el divisor s(x). Asegúrese de simplificarlos tanto como sea posible antes de continuar.
• Paso 2: Si el grado de s(x) es mayor que el grado de p(x) , alto, en este caso el cociente es cero y el resto es p(x)
• Paso 3: Si no se detuvo en el paso 2, tome nota del término principal del divisor y el término principal del dividendo
• Paso 4: Encuentre la división entre los términos principales del dividendo y el divisor (esto se interpreta como el término que necesita para multiplicar el término principal del divisor para obtener el término principal del dividendo), y este será el factor actual, que será sumarse al cociente actual
• Paso 5: Multiplicar el factor actual por el divisor, y el resultado, restarlo al dividendo, creando así un nuevo dividendo actual
• Paso 6: Repite este proceso hasta que el dividendo actual tenga un grado menor que el divisor. Entonces detente, tu divisor actual será tu resto

Se garantiza que este proceso funcione ya que el dividendo actual reduce su grado al menos en uno en cada paso. Inteligente, ¿eh?.

¿qué método usar, división larga o división sintética?

La división sintética se utiliza en el caso especial de que el divisor sea de grado uno. Por ejemplo s(x) = x - 1, pero no funcionaría para s(x) = x^2 - 1 aunque hay versiones del algoritmo de división sintética para grados superiores. La división sintética generalmente se restringe a divisores de grado 1 debido a su íntima asociación con sustitución sintética y el teorema del resto , tiene sentido.

La división larga ocurrirá en la mayoría de los casos, cuando la división sintética no sea aplicable. Tenga en cuenta que la división sintética usa un método de división larga, solo que está adaptado para ser súper rápido, por eso es la forma preferida cuando es posible.

¿cómo usar la división de polinomios para resolver ecuaciones polinómicas?

• Paso 1: Identifique su ecuación polinomial y asegúrese de que cada lado de la ecuación sea un polinomio válido
• Paso 2: Pasar todos los términos de un lado al otro lado cambiando los signos
• Paso 3: Agrupe todos los términos en un lado y simplifique
• Paso 4: Ahora tienes una ecuación polinomial en la que un lado es un polinomio y el otro lado es 0, por lo que se resuelve factorizando el polinomio correspondiente
• Paso 5: Primero, prueba con el teorema de la raíz racional para tratar de encontrar raíces simples
• Paso 6: Agrupe las raíces simples, cree los términos lineales correspondientes asociados (ej: si x = 1 es una solución, forme el término x - 1), multiplíquelos y divida el polinomio por él. De esta forma, obtendrás un cociente de orden inferior
• Paso 7: Repita los pasos con el cociente de orden inferior encontrado en los pasos anteriores

Como puedes ver, no existen atajos ni fórmulas mágicas para encontrar las raíces de polinomios . Pero existe un procedimiento sistemático que puede aumentar sus posibilidades de encontrar las raíces con la mayor facilidad posible.

¿por qué se preocuparía por dividir polinomios?

Precisamente porque la división de polinomios es la clave para hallar raíces de ecuaciones polinómicas , que son uno de los temas centrales de Álgebra.

Ejemplo: cálculo de división de polinomios

Calcula la siguiente división: $\frac{3x^3+3x+3}{3x+1}$

Solución: En este caso, de la división siempre tenemos que el dividendo es $\displaystyle p(x) = 3x^3+3x+3$, y el divisor es $\displaystyle s(x) = 3x+1$.

En este caso, el grado del dividendo es $\displaystyle deg(p) = 3$, mientras que el grado del divisor es $\displaystyle deg(s)) = 1$.

Paso 1: El término principal del dividendo $\displaystyle p(x) = 3x^3+3x+3$ es $\displaystyle 3x^3$, mientras que el término principal del divisor $\displaystyle s(x) = 3x+1$ es igual a $\displaystyle 3x$.

Entonces, el término que necesitamos multiplicar $3x$ para llegar al término principal del dividendo es $\displaystyle \frac{ 3x^3}{ 3x} = x^2$, entonces sumamos este término al cociente. Además, multiplicamos esto por el divisor para obtener $\displaystyle x^2 \cdot \left(3x+1\right) = 3x^3+x^2$, que debemos restar al dividendo:

$$\begin{array}{rcccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle & \displaystyle &\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle 3x^3 & \displaystyle & \displaystyle +3x & \displaystyle +3\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -3x^3 & \displaystyle -x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -x^2 & \displaystyle +3x & \displaystyle +3\\[0.8em] \end{array}$$

Paso 2: Ahora, el término principal del resto actual $\displaystyle -x^2+3x+3$ es $\displaystyle x^2$, y sabemos que el término principal del divisor es $\displaystyle 3x$.

Entonces, el término que necesitamos multiplicar $3x$ para llegar al término principal del resto actual es $\displaystyle \frac{ -1x^2}{ 3x} = -\frac{1}{3}x$, entonces sumamos este término al cociente. Además, multiplicamos esto por el divisor para obtener $\displaystyle -\frac{1}{3}x \cdot \left(3x+1\right) = -x^2-\frac{1}{3}x$, que debemos restar al recordatorio actual:

$$\begin{array}{rcccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle -\frac{1}{3}x & \displaystyle &\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle 3x^3 & \displaystyle & \displaystyle +3x & \displaystyle +3\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -3x^3 & \displaystyle -x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -x^2 & \displaystyle +3x & \displaystyle +3\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle x^2 & \displaystyle +\frac{1}{3}x & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{10}{3}x & \displaystyle +3\\[0.8em] \end{array}$$

Paso 3: Ahora, el término principal del resto actual $\displaystyle \frac{10}{3}x+3$ es $\displaystyle \frac{10}{3}x$, y sabemos que el término principal del divisor es $\displaystyle 3x$.

Entonces, el término que necesitamos multiplicar $3x$ para llegar al término principal del resto actual es $\displaystyle \frac{ \frac{10}{3}x}{ 3x} = \frac{10}{9}$, entonces sumamos este término al cociente. Además, multiplicamos esto por el divisor para obtener $\displaystyle \frac{10}{9} \cdot \left(3x+1\right) = \frac{10}{3}x+\frac{10}{9}$, que debemos restar al recordatorio actual:

$$\begin{array}{rcccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle -\frac{1}{3}x & \displaystyle +\frac{10}{9}&\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle 3x^3 & \displaystyle & \displaystyle +3x & \displaystyle +3\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -3x^3 & \displaystyle -x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -x^2 & \displaystyle +3x & \displaystyle +3\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle x^2 & \displaystyle +\frac{1}{3}x & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{10}{3}x & \displaystyle +3\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{3}x & \displaystyle -\frac{10}{9}\\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{17}{9}\\[0.8em] \end{array}$$

que en consecuencia termina el proceso.

Conclusión: Por lo tanto, concluimos que para el dividendo $\displaystyle p(x) = 3x^3+3x+3$ y el divisor $\displaystyle s(x) = 3x+1$ dados, obtenemos que el cociente es $\displaystyle q(x) = x^2-\frac{1}{3}x+\frac{10}{9}$ y el resto es $\displaystyle r(x) = \frac{17}{9}$, y que

$$\displaystyle \frac{p(x)}{s(x)} = \frac{3x^3+3x+3}{3x+1} = x^2-\frac{1}{3}x+\frac{10}{9} + \frac{\frac{17}{9}}{3x+1}$$

Ejemplo: otra división de polinomios

Calcular la división del dividendo $\frac{1}{3} x^4 - x^3 + 2x - \frac{5}{6}$ y el divisor $s(x) = 3x+1$

Solución: En este caso se nos ha proporcionado: $\displaystyle p(x) = \frac{1}{3}x^4-x^3+2x-\frac{5}{6}$, que hay que dividir por el polinomio $\displaystyle s(x) = 3x+1$.

Ahora, el grado del dividendo es $\displaystyle deg(p) = 4$, y el grado del divisor es $\displaystyle deg(s)) = 1$.

Paso 1: El término principal del dividendo $\displaystyle p(x) = \frac{1}{3}x^4-x^3+2x-\frac{5}{6}$ es $\displaystyle \frac{1}{3}x^4$, mientras que el término principal del divisor $\displaystyle s(x) = 3x+1$ es igual a $\displaystyle 3x$.

Entonces, el término que necesitamos multiplicar $3x$ para llegar al término principal del dividendo es $\displaystyle \frac{ \frac{1}{3}x^4}{ 3x} = \frac{1}{9}x^3$, entonces sumamos este término al cociente. Además, multiplicamos esto por el divisor para obtener $\displaystyle \frac{1}{9}x^3 \cdot \left(3x+1\right) = \frac{1}{3}x^4+\frac{1}{9}x^3$, que debemos restar al dividendo:

$$\begin{array}{rccccc} &\displaystyle \frac{1}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle &\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle \frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -\frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -\frac{1}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \end{array}$$

Paso 2: En este caso, el término principal del resto actual $\displaystyle -\frac{10}{9}x^3+2x-\frac{5}{6}$ es $\displaystyle -\frac{10}{9}x^3$, y sabemos que el término principal del divisor es $\displaystyle 3x$.

Entonces, el término que necesitamos multiplicar $3x$ para llegar al término principal del resto actual es $\displaystyle \frac{ -\frac{10}{9}x^3}{ 3x} = -\frac{10}{27}x^2$, entonces sumamos este término al cociente. Además, multiplicamos esto por el divisor para obtener $\displaystyle -\frac{10}{27}x^2 \cdot \left(3x+1\right) = -\frac{10}{9}x^3-\frac{10}{27}x^2$, que debemos restar al recordatorio actual:

$$\begin{array}{rccccc} &\displaystyle \frac{1}{9}x^3 & \displaystyle -\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle & \displaystyle &\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle \frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -\frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -\frac{1}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle \frac{10}{9}x^3 & \displaystyle +\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{10}{27}x^2 & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \end{array}$$

Paso 3: En este caso, el término principal del resto actual $\displaystyle \frac{10}{27}x^2+2x-\frac{5}{6}$ es $\displaystyle \frac{10}{27}x^2$, y sabemos que el término principal del divisor es $\displaystyle 3x$.

Entonces, el término que necesitamos multiplicar $3x$ para llegar al término principal del resto actual es $\displaystyle \frac{ \frac{10}{27}x^2}{ 3x} = \frac{10}{81}x$, entonces sumamos este término al cociente. Además, multiplicamos esto por el divisor para obtener $\displaystyle \frac{10}{81}x \cdot \left(3x+1\right) = \frac{10}{27}x^2+\frac{10}{81}x$, que debemos restar al recordatorio actual:

$$\begin{array}{rccccc} &\displaystyle \frac{1}{9}x^3 & \displaystyle -\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle +\frac{10}{81}x & \displaystyle &\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle \frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -\frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -\frac{1}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle \frac{10}{9}x^3 & \displaystyle +\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{10}{27}x^2 & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle -\frac{10}{81}x & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{152}{81}x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \end{array}$$

Paso 4: En este caso, el término principal del resto actual $\displaystyle \frac{152}{81}x-\frac{5}{6}$ es $\displaystyle \frac{152}{81}x$, y sabemos que el término principal del divisor es $\displaystyle 3x$.

Entonces, el término que necesitamos multiplicar $3x$ para llegar al término principal del resto actual es $\displaystyle \frac{ \frac{152}{81}x}{ 3x} = \frac{152}{243}$, entonces sumamos este término al cociente. Además, multiplicamos esto por el divisor para obtener $\displaystyle \frac{152}{243} \cdot \left(3x+1\right) = \frac{152}{81}x+\frac{152}{243}$, que debemos restar al recordatorio actual:

$$\begin{array}{rccccc} &\displaystyle \frac{1}{9}x^3 & \displaystyle -\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle +\frac{10}{81}x & \displaystyle +\frac{152}{243}&\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle \frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -\frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -\frac{1}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle \frac{10}{9}x^3 & \displaystyle +\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{10}{27}x^2 & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle -\frac{10}{81}x & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{152}{81}x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -\frac{152}{81}x & \displaystyle -\frac{152}{243}\\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -\frac{709}{486}\\[0.8em] \end{array}$$

con lo cual concluye este cálculo, ya que el grado del resto actual $r(x) = -\frac{709}{486}$ es menor que el grado del divisor $s(x) = 3x+1$.

Conclusión: Por lo tanto, concluimos que para el dividendo $\displaystyle p(x) = \frac{1}{3}x^4-x^3+2x-\frac{5}{6}$ y el divisor $\displaystyle s(x) = 3x+1$ dados, obtenemos que el cociente es $\displaystyle q(x) = \frac{1}{9}x^3-\frac{10}{27}x^2+\frac{10}{81}x+\frac{152}{243}$ y el resto es $\displaystyle r(x) = -\frac{709}{486}$, y que

$$\displaystyle \frac{p(x)}{s(x)} = \frac{\frac{1}{3}x^4-x^3+2x-\frac{5}{6}}{3x+1} = \frac{1}{9}x^3-\frac{10}{27}x^2+\frac{10}{81}x+\frac{152}{243} - \frac{\frac{709}{486}}{3x+1}$$

Ejemplo: más divisiones de polinomios

Calcula la siguiente división de polinomios: $\frac{4x^4-2x^2+x-1}{x+1}$. ¿Podemos decir que x = -1 es una raíz de $4x^4-2x^2+x-1$?

Solución: Tenemos los siguientes dividendos y divisores: $\displaystyle p(x) = 4x^4-2x^2+x-1$ y $\displaystyle s(x) = x+1$.

Tenemos que el grado del dividendo es $\displaystyle deg(p) = 4$, y el grado del divisor es $\displaystyle deg(s)) = 1$.

Paso 1: El término principal del dividendo $\displaystyle p(x) = 4x^4-2x^2+x-1$ es $\displaystyle 4x^4$, mientras que el término principal del divisor $\displaystyle s(x) = x+1$ es igual a $\displaystyle x$.

Entonces, el término que necesitamos multiplicar $x$ para llegar al término principal del dividendo es $\displaystyle \frac{ 4x^4}{ x} = 4x^3$, entonces sumamos este término al cociente. Además, multiplicamos esto por el divisor para obtener $\displaystyle 4x^3 \cdot \left(x+1\right) = 4x^4+4x^3$, que debemos restar al dividendo:

$$\begin{array}{rccccc} &\displaystyle 4x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle &\\[0.8em] \hline x+1\,) & \displaystyle 4x^4 & \displaystyle & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -4x^4 & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \end{array}$$

Paso 2: En este caso, el término principal del resto actual $\displaystyle -4x^3-2x^2+x-1$ es $\displaystyle -4x^3$, y sabemos que el término principal del divisor es $\displaystyle x$.

Entonces, el término que necesitamos multiplicar $x$ para llegar al término principal del resto actual es $\displaystyle \frac{ -4x^3}{ x} = -4x^2$, entonces sumamos este término al cociente. Además, multiplicamos esto por el divisor para obtener $\displaystyle -4x^2 \cdot \left(x+1\right) = -4x^3-4x^2$, que debemos restar al recordatorio actual:

$$\begin{array}{rccccc} &\displaystyle 4x^3 & \displaystyle -4x^2 & \displaystyle & \displaystyle &\\[0.8em] \hline x+1\,) & \displaystyle 4x^4 & \displaystyle & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -4x^4 & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle 4x^3 & \displaystyle +4x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle 2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \end{array}$$

Paso 3: En este caso, el término principal del resto actual $\displaystyle 2x^2+x-1$ es $\displaystyle 2x^2$, y sabemos que el término principal del divisor es $\displaystyle x$.

Entonces, el término que necesitamos multiplicar $x$ para llegar al término principal del resto actual es $\displaystyle \frac{ 2x^2}{ x} = 2x$, entonces sumamos este término al cociente. Además, multiplicamos esto por el divisor para obtener $\displaystyle 2x \cdot \left(x+1\right) = 2x^2+2x$, que debemos restar al recordatorio actual:

$$\begin{array}{rccccc} &\displaystyle 4x^3 & \displaystyle -4x^2 & \displaystyle +2x & \displaystyle &\\[0.8em] \hline x+1\,) & \displaystyle 4x^4 & \displaystyle & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -4x^4 & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle 4x^3 & \displaystyle +4x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle 2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle -2x & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -x & \displaystyle -1\\[0.8em] \end{array}$$

Paso 4: En este caso, el término principal del resto actual $\displaystyle -x-1$ es $\displaystyle -1x$, y sabemos que el término principal del divisor es $\displaystyle x$.

Entonces, el término que necesitamos multiplicar $x$ para llegar al término principal del resto actual es $\displaystyle \frac{ -1x}{ x} = -1$, entonces sumamos este término al cociente. Además, multiplicamos esto por el divisor para obtener $\displaystyle -1 \cdot \left(x+1\right) = -x-1$, que debemos restar al recordatorio actual:

$$\begin{array}{rccccc} &\displaystyle 4x^3 & \displaystyle -4x^2 & \displaystyle +2x & \displaystyle -1&\\[0.8em] \hline x+1\,) & \displaystyle 4x^4 & \displaystyle & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -4x^4 & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle 4x^3 & \displaystyle +4x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle 2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle -2x & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle x & \displaystyle +1\\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle 0\\[0.8em] \end{array}$$

y detenemos la iteración, ya que el grado del resto actual $r(x) = 0$ es menor que el grado del divisor $s(x) = x+1$.

Conclusión: Por lo tanto, concluimos que para el dividendo $\displaystyle p(x) = 4x^4-2x^2+x-1$ y el divisor $\displaystyle s(x) = x+1$ dados, obtenemos que el cociente es $\displaystyle q(x) = 4x^3-4x^2+2x-1$ y el resto es $\displaystyle r(x) = 0$, lo que significa que $s(x)$ divide $p(x)$ exactamente, y obtenemos

$$\displaystyle \frac{p(x)}{s(x)} = \frac{4x^4-2x^2+x-1}{x+1} = 4x^3-4x^2+2x-1$$

Más calculadoras de polinomios

Ser capaz de con éxito calcular polinomios puede resultar crucial en su arsenal de habilidades de álgebra al momento de factorizar polinomios o resolver ecuaciones polinómicas . fracción a decimal