Más información sobre esta herramienta calculadora de probabilidad de distribución normal para distribuciones de muestreo

Cuando se promedia una secuencia de variables normalmente distribuidas \(X_1, X_2, ...., X_n\), obtenemos la media muestral

\[\bar X = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\]

Dado que cualquier combinación lineal de variables normales también es normal, la media muestral \(\bar X\) también se distribuye normalmente (suponiendo que cada \(X_i\) se distribuye normalmente). La distribución de \(\bar X\) se conoce comúnmente como la Distribución muestral de las medias muestrales .

Otro nombre al que se referirá la distribución normal es la distribución gaussiana, o distribución en forma de campana.

¿cómo se calcula la distribución de muestreo?

Suponiendo que \(X_i \sim N(\mu, \sigma^2)\), para todo \(i = 1, 2, 3, ...n\), entonces \(\bar X\) se distribuye normalmente con la misma media común \(\mu\), pero con una varianza de \(\displaystyle\frac{\sigma^2}{n}\).

Esto nos dice que \(\bar X\) también está centrado en \(\mu \) pero su dispersión es menor que la de cada \( X_i \) individual. De hecho, cuanto mayor sea el tamaño de la muestra, menor será la dispersión de \(\bar X\).

La fórmula de distribución normal

La fórmula de distribución normal es relativamente difícil, no es una que manejará manualmente. La fórmula es:

\[ f(x)=\frac{1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}} e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}\]

La fórmula de distribución normal de muestreo

La clave cuando se trabaja con distribuciones muestrales es utilizar el hecho de que si \(\mu\) es la media de la población y \(\sigma\) es la desviación estándar de la población, entonces

\[ \displaystyle \frac{\bar X - \mu}{\sigma}\]

tiene una distribución normal estándar. Esto es crucial, porque podemos usarlo para reducir todas las distribuciones de muestreo a cálculos de probabilidad normal estándar .

En términos simples, lo que está haciendo es reducir el cálculo de cualquier probabilidad de distribución normal a la cálculo de puntuaciones z .

Al reducir todos los cálculos de distribución normal para trabajar con puntajes z, todo lo que necesita es una tabla normal estándar, donde encontrar los valores z, o una herramienta como esta calculadora o Excel.

¿cuál es la media de la distribución muestral?

La media de las distribuciones de muestreo, \(\mu(\bar X)\), es la misma que la media subyacente de la distribución \(\mu\).

Desviación estándar de la distribución de muestreo

A diferencia del caso de la media, la desviación estándar de las medias muestrales se puede calcular mediante la fórmula:

\[s(\bar X) = \displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt n}\]

Calculadoras relacionadas con la distribución normal

Si desea calcular las probabilidades normales para una sola observación \(X\), puede usar esta calculadora con \(n=1\), o puede usar nuestra calculadora regular Calculadora de distribución normal .

Muchas veces le interesa el proceso inverso: Dada una probabilidad, desea encontrar el puntaje, como la probabilidad a la derecha de ese puntaje es esa probabilidad dada, para lo cual puede usar un calculadora de normas de inversión

Además, si lo que necesitas es visualización gráfica, puedes probar directamente nuestro creador de gráficos de distribución normal .

Además, para evaluar si una muestra proviene de una distribución normal real, puede usar una gráfico de probabilidad normal , y ver el patrón obtenido. Si parece bastante lineal, indica que la muestra probablemente provino de una generación distribuida normalmente.

Ejemplo:

Pregunta : Considere una distribución normal donde la media de la población es 12 y la desviación estándar de la población es 3.4. Suponga que toma muestras de tamaño n = 16. ¿Cuál es la probabilidad de que las medias de la muestra estén en el intervalo (11.3, 12.4)?

Solución:

Los siguientes son la media de la población \((\mu)\), la desviación estándar de la población \((\sigma)\) y el tamaño de la muestra \((n)\) proporcionados:

Population Mean \((\mu)\) =	\(12\)
Population Standard Deviation \((\sigma)\) =	\(3.4\)
Sample Size \((n)\) =	\(16\)
Event to compute its probability =	\(11.3 \leq \bar X \leq 12.4\)

Necesitamos calcular \(\Pr(11.3 \leq \bar X \leq 12.4)\). Los valores z correspondientes necesarios para calcular son:

\[Z_{lower} = \frac{X_1 - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{ 11.3 - 12}{ 3.4/\sqrt{16}} = -0.82 \] \[Z_{upper} = \frac{X_2 - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{ 12.4 - 12}{ 3.4/\sqrt{16}}= 0.47 \]

Usando las propiedades de la distribución normal, si \(X ~ N(\mu, \sigma)\), entonces las variables \(Z_{lower} = \displaystyle \frac{X_1 - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \) y \(Z_{upper} = \displaystyle \frac{X_2 - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \) tienen una distribución normal estándar. Por lo tanto, la probabilidad se calcula como:

\[ \begin{array}{ccl} \Pr(11.3 \leq \bar X \leq 12.4) & = & \Pr\left(\displaystyle \frac{ 11.3 - 12}{ 3.4 / \sqrt{ 16}} \leq \frac{ \bar X - 12}{ 3.4 / \sqrt{ 16}} \leq \frac{ 12.4 - 12}{ 3.4 / \sqrt{ 16}}\right) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle\Pr\left(\frac{ 11.3 - 12}{ 3.4 / \sqrt{ 16}} \leq Z \leq \frac{ 12.4 - 12}{ 3.4 / \sqrt{ 16}}\right) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \Pr\left(-0.82 \leq Z \leq 0.47\right) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \Pr\left(Z \leq 0.47\right) - \Pr\left(Z \leq -0.82\right) \\\\ \\\\ & = & 0.681 - 0.2051 \\\\ \\\\ & = & 0.4759 \end{array}\]

Por lo tanto, con base en la información proporcionada, se concluye que \( \Pr(11.3 \leq \bar X \leq 12.4) = 0.4759\).