Calculadora de funciones exponenciales a partir de dos puntos

La idea de esta calculadora es estimar los parámetros $A_0$ y $k$ para la función $f(t)$ definida como:

$$f(t) = A_0 e^{kt}$$

para que esta función pase por los puntos dados $(t_1, y_1)$ y $(t_2, y_2)$.

Pero, ¿cómo se encuentra una función exponencial a partir de puntos?

Técnicamente, para encontrar los parámetros, debe resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

$$y_1 = A_0 e^{k t_1}$$ $$y_2 = A_0 e^{k t_2}$$

Resolver este sistema para $A_0$ y $k$ conducirá a una solución única, siempre que $t_1 = \not t_2$.

De hecho, al dividir ambos lados de las ecuaciones:

$$\displaystyle \frac{y_1}{y_2} = \frac{e^{k t_1}}{e^{k t_2}}$$ $$\displaystyle \Rightarrow \, \frac{y_1}{y_2} = e^{k (t_1-t_2)}$$ $$\displaystyle \Rightarrow \, \ln\left(\frac{y_1}{y_2}\right) = k (t_1-t_2)$$ $$\displaystyle \Rightarrow \, k = \frac{1}{t_1-t_2} \ln\left(\frac{y_1}{y_2}\right)$$

Para resolver $A_0$, observamos en la primera ecuación que:

$$A_0 = y_1 e^{-k t_1} = y_1 \frac{y_2}{y_1 e^{k t_2}} =\frac{y_2}{e^{k t_2}}$$

¿Cómo se calcula el crecimiento exponencial?

No siempre es crecimiento. De hecho, si el parámetro $k$ es positivo, entonces tenemos un crecimiento exponencial, pero si el parámetro $k$ es negativo, entonces tenemos un descenso exponencial.

El parámetro $k$ será cero solo si $y_1 = y_2$ (los dos puntos tienen la misma altura).

Para comportamientos exponenciales específicos, puede consultar nuestro calculadora de crecimiento exponencial y el calculadora de decaimiento exponencial , que utilizan parámetros específicos para ese tipo de comportamiento exponencial.