Calculadora de funciones exponenciales
Instrucciones: Use esta calculadora de funciones exponenciales calculadas paso a paso, para encontrar la función que describe la función exponencial que pasa por dos puntos dados en el plano XY. Necesita proporcionar los puntos \((t_1, y_1)\) y \((t_2, y_2)\), y esta calculadora estimará la función exponencial apropiada y proporcionará su gráfica.
Calculadora de funciones exponenciales a partir de dos puntos
La idea de esta calculadora es estimar los parámetros \(A_0\) y \(k\) para la función \(f(t)\) definida como:
\[f(t) = A_0 e^{kt}\]para que esta función pase por los puntos dados \((t_1, y_1)\) y \((t_2, y_2)\).
Pero, ¿cómo se encuentra una función exponencial a partir de puntos?
Técnicamente, para encontrar los parámetros, debe resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
\[y_1 = A_0 e^{k t_1}\] \[y_2 = A_0 e^{k t_2}\]Resolver este sistema para \(A_0\) y \(k\) conducirá a una solución única, siempre que \(t_1 = \not t_2\).
De hecho, al dividir ambos lados de las ecuaciones:
\[\displaystyle \frac{y_1}{y_2} = \frac{e^{k t_1}}{e^{k t_2}}\] \[\displaystyle \Rightarrow \, \frac{y_1}{y_2} = e^{k (t_1-t_2)}\] \[\displaystyle \Rightarrow \, \ln\left(\frac{y_1}{y_2}\right) = k (t_1-t_2)\] \[\displaystyle \Rightarrow \, k = \frac{1}{t_1-t_2} \ln\left(\frac{y_1}{y_2}\right)\]Para resolver \(A_0\), observamos en la primera ecuación que:
\[A_0 = y_1 e^{-k t_1} = y_1 \frac{y_2}{y_1 e^{k t_2}} =\frac{y_2}{e^{k t_2}} \]¿Cómo se calcula el crecimiento exponencial?
No siempre es crecimiento. De hecho, si el parámetro \(k\) es positivo, entonces tenemos un crecimiento exponencial, pero si el parámetro \(k\) es negativo, entonces tenemos un descenso exponencial.
El parámetro \(k\) será cero solo si \(y_1 = y_2\) (los dos puntos tienen la misma altura).
Para comportamientos exponenciales específicos, puede consultar nuestro calculadora de crecimiento exponencial y el calculadora de decaimiento exponencial , que utilizan parámetros específicos para ese tipo de comportamiento exponencial.