Creador de gráficos de funciones exponenciales

Esta herramienta gráfica le permite graficar una función exponencial o comparar la gráfica de dos funciones exponenciales. Estas funciones exponenciales tendrán la forma:

\[f(t) = A_0 e^{kt}\]

Para obtener el gráfico, solo necesita especificar los parámetros \(A_0\) y \(k\) para una o dos funciones (dependiendo de si desea graficar una función o si desea comparar dos funciones).

Pero, ¿cómo se encuentra una función exponencial a partir de puntos?

Técnicamente, para encontrar los parámetros, debe resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

\[y_1 = A_0 e^{k t_1}\] \[y_2 = A_0 e^{k t_2}\]

Resolver este sistema para \(A_0\) y \(k\) conducirá a una solución única, siempre que \(t_1 = \not t_2\).

De hecho, al dividir ambos lados de las ecuaciones:

\[\displaystyle \frac{y_1}{y_2} = \frac{e^{k t_1}}{e^{k t_2}}\] \[\displaystyle \Rightarrow \, \frac{y_1}{y_2} = e^{k (t_1-t_2)}\] \[\displaystyle \Rightarrow \, \ln\left(\frac{y_1}{y_2}\right) = k (t_1-t_2)\] \[\displaystyle \Rightarrow \, k = \frac{1}{t_1-t_2} \ln\left(\frac{y_1}{y_2}\right)\]

Para resolver \(A_0\), observamos en la primera ecuación que:

\[A_0 = y_1 e^{-k t_1} = y_1 \frac{y_2}{y_1 e^{k t_2}} =\frac{y_2}{e^{k t_2}} \]

Cómo graficar una función exponencial

Una función exponencial de la forma que se especificó anteriormente tendrá una forma exponencial característica, y su forma general dependerá de si la tasa \(r\) es positiva o negativa.

Para una tasa positiva \(r\) tendremos crecimiento exponencial , y para una tasa negativa \(r\) tendremos Decrecimiento exponencial .

¿Cuáles son las principales características de las gráficas exponenciales?

Tienen formas muy específicas, ya que crecen o decaen (dependiendo del signo de \(r\)) muy rápidamente. No hay muchos tipos de gráficos en este caso. Solo decaimiento rápido (exponencial) o crecimiento rápido (exponencial).