Teorema del factor

Esta calculadora te ayudará a usar el Teorema del Factor, mostrando todos los pasos. Todo lo que necesita hacer es proporcionar un polinomio válido, como por ejemplo x^3 - 3x + 4, y un número o expresión numérica, como 1/3. Si llamamos al polinomio p(x), y al valor a, usamos el Teorema del factor para evaluar si (x - a) es un factor de p(x) o no.

Una vez que proporcione un polinomio válido y un valor, lo que le queda por hacer es simplemente hacer clic en "Calcular" para obtener todos los pasos que se muestran.

Observa que x - a siendo factor de p(x) es lo mismo que x - a divide exactamente a p(x).

¿qué es el teorema del factor?

La idea de factorizar un polinomio es simple: queremos saber si un polinomio se puede escribir o no como la multiplicación de polinomios más pequeños. Como por ejemplo, si \(p(x)\) es un polinomio, y podemos escribir

\[ p(x) = q(x)(x-a)\]

para algún polinomio \(q(x)\) entonces podemos decir que \(x - a\) es un factor de \(p(x)\). El teorema del factor establece que para que \(x - a\) sea un factor de \(p(x)\), entonces necesitamos tener ese \(p(a) = 0\), y por el contrario, si \(p(a) = 0\), entonces < > es un factor de \(p(x)\).

Entonces, el Teorema del factor nos dice esta crucial y estrecha asociación entre las raíces de los polinomios y los factores del polinomio, al punto que \(a\) es una raíz del polinomio si y solo si \(x - a\) es un factor de \(p(x)\). Por lo tanto, para encontrar las raíces de un polinomio, necesitamos encontrar sus factores.

Cómo usar el teorema del factor para factorizar polinomios

Hay bastantes enfoques diferentes, pero los más comunes son:

• Paso 1: Comienza con un polinomio p(x). Asegúrate de que esté lo más simplificado posible.
• Paso 2: Si el grado de p(x) es 2 o menos, entonces existen fórmulas directas para obtener las raíces. Para el grado 2, si las raíces son r1 y r2, el polinomio se factoriza como p(x) = a(x-r1)(x-r2), donde a es el término principal
• Paso 3: Para el grado 3 o superior, intente adivinar una raíz, o mejor use primero el teorema de la raíz racional encontrar tantas raíces racionales como sea posible
• Paso 4: Si el paso anterior no produjo ninguna raíz, deténgase. No hay nada que pueda hacer con métodos básicos, y probablemente necesite una aproximación numérica
• Paso 5: Si encontraste raíces simples de los pasos anteriores, entonces, según el teorema del factor, los términos x - r (donde r es una raíz) deben ser factor. Entonces dividimos p(x) por todos los factores correspondientes. Esto conducirá a un polinomio que tiene un grado que se ha reducido tanto como el número de raíces encontradas en los pasos anteriores. Llame al polinomio resultante p(x)
• Paso 6: Aplique todos los pasos nuevamente al nuevo polinomio p(x), hasta que la iteración se detenga.

En realidad, existen fórmulas exactas para las raíces de los polinomios de grado 3 y 4, pero no son realmente fáciles de usar, por lo que normalmente no se tratan en un curso básico de álgebra.

Cómo relacionar el teorema del factor y el teorema del recordatorio

El teorema del factor está estrechamente relacionado con el teorema del resto . Esto se debe a que a partir de la descomposición euclidiana obtenida cuando dividir polinomios \(p(x)\) y \(s(x)\), obtenemos que existen polinomios \(q(x)\) y \(r(x)\) tales que

\[p(x) = s(x) q(x) + r(x) \]

con \(deg(r(x)) < deg(s(x))\). Entonces, en particular, cuando \(s(x) = x-a\), que tiene grado 1, tenemos

\[p(x) = s(x) (x-a) + r(x) \]

y en este caso, \(r(x)\) debe tener grado 0 (porque debe ser menor que el grado de s, que es 1), entonces \(r(x) = r\) es una constante. Después

\[p(x) = s(x) (x-a) + r \]

y reemplazando \(x = a\) en la ecuación anterior conduce a:

\[p(a) = s(a) (a-a) + r \Rightarrow p(a) = r\]

Entonces, el teorema del resto implica que si \(a\) es una raíz, entonces \(p(a) = 0\) y, por lo tanto, el resto también es \(r = 0\).

Consejos para el éxito

El teorema del factor también es bueno para encontrar las raíces de un polinomio y nos dice que las raíces se pueden convertir directamente en factores. Es probable que esto lo lleve a evaluar expresiones, para lo cual a veces puede ser más conveniente cuando se usa el proceso de sustitución sintética , en lugar de simplemente conectar y hacer los cálculos.

Evite errores como tratar de pensar en una "fórmula" para encontrar factores. Encontrar factores es esencialmente lo mismo que encontrar raíces, lo que implica ser capaz de evaluar polinomios en valores dados.

Ejemplo: teorema del factor

¿Es \(x - 1\) un factor de \(p(x) = 3x^3 - x^2 + 2x - 1\)?

Solución: Se ha proporcionado el siguiente polinomio: \(\displaystyle p(x) = 3x^3-x^2+2x-1\), y necesitamos averiguar para el punto dado \(\displaystyle x = 1\) si \(\displaystyle x - 1\) es o no factor de \(p(x)\).

Para ello, utilizaremos la sustitución sintética para evaluar si \(\displaystyle p(1) = 0\) es o no.

Para realizar la sustitución sintética, necesitamos hacer una división sintética de: \(\displaystyle p(x) = 3x^3-x^2+2x-1\), y el divisor \(\displaystyle s = x-1\), y encontrar el resto.

Observe que el grado del dividendo es \(\displaystyle deg(p) = 3\), mientras que el grado del divisor es \(\displaystyle deg(s)) = 1\).

Paso 1: Como el divisor tiene grado 1, podemos usar el método de la División Sintética. Resolviendo \(\displaystyle s(x) = x-1 = 0\) encontramos directamente que el número a poner en la casilla de división es: \(\displaystyle 1\).

\[\begin{array}{c|ccc} 1 & 3 & -1 & 2 & -1 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & \end{array}\]

Paso 2: Ahora pasamos directamente el término inicial \(3\) a la fila de resultados:

\[\begin{array}{c|ccc} 1 & 3 & -1 & 2 & -1 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline &3&&& \end{array}\]

Paso 3: Multiplicando el término en el cuadro de división por el resultado en la columna 1, obtenemos: \(1 \cdot \left(3\right) = 3\) y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 1.

\[\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & \\[0.6em]\hline&3&&&\end{array}\]

Paso 4: Ahora sumando los valores en la columna 2, obtenemos: \( -1+3 = 2\) y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 2.

\[\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & \\[0.6em]\hline& 3 & 2 & \end{array}\]

Paso 5: Multiplicando el término en el cuadro de división por el resultado en la columna 2, obtenemos: \(1 \cdot \left(2\right) = 2\) y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 2.

\[\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & 2\\[0.6em]\hline& 3 & 2 & \end{array}\]

Paso 6: Ahora sumando los valores en la columna 3, obtenemos: \( 2+2 = 4\) y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 3.

\[\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & 2\\[0.6em]\hline& 3 & 2 & 4\end{array}\]

Paso 7: Multiplicando el término en el cuadro de división por el resultado en la columna 3, obtenemos: \(1 \cdot \left(4\right) = 4\) y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 3.

\[\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & 2 & 4\\[0.6em]\hline& 3 & 2 & 4\end{array}\]

Paso 8: Ahora sumando los valores en la columna 4, obtenemos: \( -1+4 = 3\) y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 4.

\[\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & 2 & 4\\[0.6em]\hline& 3 & 2 & 4 & 3\end{array}\]

lo que concluye este cálculo, ya que hemos llegado al resultado en la columna final, que contiene el resto.

Conclusión: Por lo tanto, concluimos que para el dividendo \(\displaystyle p(x) = 3x^3-x^2+2x-1\) y el divisor \(\displaystyle s(x) = x-1\) dados, obtenemos que el resto es \(\displaystyle r(x) = 3\), entonces concluimos que \(\displaystyle p\left(1\right) = 3 \ne 0\).

Por lo tanto, concluimos que \(\displaystyle x - 1\) NO es factor de \(p(x)\).

Ejemplo: más ejemplos de teoremas de factores

Para el polinomio : \(p(x) = 3x^3 + x^3 - 15x + 4\), ¿qué es \(p(1/3)\), qué implica en términos de x - 1/3 ser factor de p(x)?

Solución: En este caso tenemos: \(\displaystyle p(x) = 3x^3+x^3-15x+4\), y el punto dado es \(\displaystyle x = \frac{1}{3}\) . Necesitamos averiguar si \(\displaystyle x - \frac{1}{3}\) es factor de \(p(x)\) o no.

Como en el ejemplo anterior, se utilizará la sustitución sintética para evaluar si\(\displaystyle p(\frac{1}{3}) = 0\).

Paso Inicial: En este caso, primero necesitamos simplificar el dividendo \(\displaystyle P(x) = 3x^3+x^3-15x+4\), y para hacerlo, realizamos los siguientes pasos de simplificación:

Ahora, procedemos a hacer una división sintética de: \(\displaystyle p(x) = 4x^3-15x+4\), con el divisor \(\displaystyle s = x-\frac{1}{3}\), y necesitamos encontrar el resto.

Paso 1: Como el divisor tiene grado 1, podemos usar el método de la División Sintética. Resolviendo \(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{3} = 0\) encontramos directamente que el número a poner en la casilla de división es: \(\displaystyle \frac{1}{3}\).

\[\begin{array}{c|ccc} \frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & \end{array}\]

Paso 2: Ahora pasamos directamente el término inicial \(4\) a la fila de resultados:

\[\begin{array}{c|ccc} \frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline &4&&& \end{array}\]

Paso 3: Multiplicando el término en el cuadro de división por el resultado en la columna 1, encontramos: \(\frac{1}{3} \cdot \left(4\right) = \frac{4}{3}\) y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 1.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \\[0.6em]\hline&4&&&\end{array}\]

Paso 4: Ahora sumando los valores en la columna 2, encontramos: \( 0+\frac{4}{3} = \frac{4}{3}\) y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 2.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \\[0.6em]\hline& 4 & \frac{4}{3} & \end{array}\]

Paso 5: Multiplicando el término en el cuadro de división por el resultado en la columna 2, encontramos: \(\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{9}\) y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 2.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \frac{4}{9}\\[0.6em]\hline& 4 & \frac{4}{3} & \end{array}\]

Paso 6: Ahora sumando los valores en la columna 3, encontramos: \( -15+\frac{4}{9} = -\frac{131}{9}\) y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 3.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \frac{4}{9}\\[0.6em]\hline& 4 & \frac{4}{3} & -\frac{131}{9}\end{array}\]

Paso 7: Multiplicando el término en el cuadro de división por el resultado en la columna 3, encontramos: \(\frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{131}{9}\right) = -\frac{131}{27}\) y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 3.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \frac{4}{9} & -\frac{131}{27}\\[0.6em]\hline& 4 & \frac{4}{3} & -\frac{131}{9}\end{array}\]

Paso 8: Ahora sumando los valores en la columna 4, encontramos: \( 4-\frac{131}{27} = -\frac{23}{27}\) y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 4.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \frac{4}{9} & -\frac{131}{27}\\[0.6em]\hline& 4 & \frac{4}{3} & -\frac{131}{9} & -\frac{23}{27}\end{array}\]

lo que concluye este cálculo, ya que hemos llegado al resultado en la columna final, que contiene el resto.

Conclusión: Por lo tanto, después de simplificar, encontramos que al dividir \(\displaystyle p(x) = 4x^3-15x+4\) y el divisor \(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{3}\), obtenemos que el resto es \(\displaystyle r(x) = -\frac{23}{27}\), entonces concluimos que \(\displaystyle p\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{23}{27} \ne 0\).

Por lo tanto, concluimos que \(\displaystyle x - \frac{1}{3}\) NO es factor de \(p(x)\).

Ejemplo: más sobre el teorema del factor

¿Es \(x - 2\) un factor de \(p(x) = 2x^4 - x^3 + x - 2\)?

Solución: Para este ejemplo tenemos: \(\displaystyle p(x) = 2x^4-x^3+x-2\), entonces necesitamos encontrar si \(\displaystyle x = 2\) es una raíz del polinomio o no, para evaluar si \(\displaystyle x - 2\) es factor de \(p(x)\) O no.

Para ello, utilizaremos la sustitución sintética para evaluar si \(\displaystyle p(2) = 0\) es o no.

La división sintética de se realizará para : \(\displaystyle p(x) = 2x^4-x^3+x-2\), y \(\displaystyle s = x-2\), y necesitamos encontrar el resto de la división.

Paso 1: Como el divisor tiene grado 1, podemos usar el método de la División Sintética. Resolviendo \(\displaystyle s(x) = x-2 = 0\) encontramos directamente que el número a poner en la casilla de división es: \(\displaystyle 2\).

\[\begin{array}{c|cccc} 2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & & \end{array}\]

Paso 2: Ahora pasamos directamente el término inicial \(2\) a la fila de resultados:

\[\begin{array}{c|cccc} 2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline &2&&&& \end{array}\]

Paso 3: Multiplicando el término en el cuadro de división por el resultado en la columna 1, encontramos: \(2 \cdot \left(2\right) = 4\) y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 1.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & & \\[0.6em]\hline&2&&&&\end{array}\]

Paso 4: Ahora sumando los valores en la columna 2, encontramos: \( -1+4 = 3\) y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 2.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & & \\[0.6em]\hline& 2 & 3 & & \end{array}\]

Paso 5: Multiplicando el término en el cuadro de división por el resultado en la columna 2, encontramos: \(2 \cdot \left(3\right) = 6\) y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 2.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & \\[0.6em]\hline& 2 & 3 & & \end{array}\]

Paso 6: Ahora sumando los valores en la columna 3, encontramos: \( 0+6 = 6\) y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 3.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & \\[0.6em]\hline& 2 & 3 & 6 & \end{array}\]

Paso 7: Multiplicando el término en el cuadro de división por el resultado en la columna 3, encontramos: \(2 \cdot \left(6\right) = 12\) y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 3.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & 12\\[0.6em]\hline& 2 & 3 & 6 & \end{array}\]

Paso 8: Ahora sumando los valores en la columna 4, encontramos: \( 1+12 = 13\) y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 4.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & 12\\[0.6em]\hline& 2 & 3 & 6 & 13\end{array}\]

Paso 9: Multiplicando el término en el cuadro de división por el resultado en la columna 4, encontramos: \(2 \cdot \left(13\right) = 26\) y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 4.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & 12 & 26\\[0.6em]\hline& 2 & 3 & 6 & 13\end{array}\]

Paso 10: Ahora sumando los valores en la columna 5, encontramos: \( -2+26 = 24\) y este resultado se inserta en la fila de resultados, columna 5.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & 12 & 26\\[0.6em]\hline& 2 & 3 & 6 & 13 & 24\end{array}\]

y detenemos la división ya que el resto tiene grado 0.

Conclusión: Por lo tanto, concluimos que para el dividendo \(\displaystyle p(x) = 2x^4-x^3+x-2\) y el divisor \(\displaystyle s(x) = x-2\) dados, obtenemos que el resto es \(\displaystyle r(x) = 24\), entonces concluimos que \(\displaystyle p\left(2\right) = 24 \ne 0\).

Por lo tanto, concluimos que \(\displaystyle x - 2\) NO es factor de \(p(x)\).

Más calculadoras de polinomios

No se puede exagerar la importancia de los polinomios, ya que son uno de los objetos más importantes en álgebra. cálculos de polinomios son realmente importantes en matemáticas y en muchas aplicaciones más allá de las matemáticas.

Los polinomios plantean el problema principal de resolver ecuaciones polinómicas, que se encuentran entre las más importantes en álgebra, aunque no necesariamente son fáciles de resolver y, de hecho, no existe realmente una fórmula para obtener esas soluciones, para grados superiores.

Encontrar raíces implica usar el Teorema del cero racional para encontrar soluciones simples, utilizando División de polinomios reducir la ecuación a una de menor grado usando División larga o División sintética , y enjuagar y repetir hasta encontrar todas las raíces. Aunque esto no siempre es posible teniendo en cuenta que puede haber raíces que no son racionales y también raíces complejas.