Solvers Álgebra

Calculadora del teorema del cero racional

Instrucciones: Utilice esta calculadora del teorema del cero racional para tratar de encontrar raíces racionales para cualquier ecuación polinomial que proporcione, mostrando todos los pasos. Escriba una ecuación polinomial en el cuadro de formulario a continuación.

Ingrese una ecuación polinomial (Ej: 2x^3 + 5x + 14 = 0, etc.)

Más sobre el teorema del cero racional

Utilice esta calculadora para aplicar el Teorema del Cero Racional a cualquier ecuación polinomial válida que proporcione, mostrando todos los pasos. Todo lo que necesita hacer es proporcionar una ecuación polinomial válida, como 4x^3 + 4x^2 + 12 = 0, o quizás una ecuación que no esté completamente simplificada como x^3 + 2x = 3x^2 - 2/3, ya que la calculadora se encargará de su simplificación.

Cuando haya terminado de escribir la ecuación polinomial para la que desea encontrar raíces racionales, deberá hacer clic en "Calcular" y se le proporcionarán todos los pasos del proceso. y se le proporcionarán todos los pasos de los cálculos.

Observa que el teorema del cero racional te permite probar racionales que podría ser soluciones, pero no necesariamente raíces. Solo estás probando candidatos potenciales.

El teorema del cero racional no es una herramienta para encontrar TODAS las raíces de una ecuación polinomial. Lo que se hace es afirmar que SI hay un raíz racional a esta ecuación polinomial, entonces debe estar entre este conjunto propuesto de candidatos, algo así como una 'lista corta'.

Calculadora Del Teorema Del Cero Racional

¿cómo usar el teorema del cero racional?

El teorema del cero racional obtiene una ecuación polinomial y pone todos los términos en un lado de la ecuación. Luego encontramos los divisores enteros del coeficiente que multiplica el término de mayor potencia y los llamamos \(\{b_1, ...,, b_i\}\), y también encontramos los divisores enteros del coeficiente constante el término de mayor potencia y los llamamos \(\{a_1, ...,, a_j\}\)

Luego, encontramos raíces potenciales usando \(\pm\frac{a_k}{b_l}\) como candidatos, es decir, se construyen tomando la división de los divisores enteros correspondientes encontrados antes

¿cuáles son los pasos usando el teorema del cero racional?

  • Paso 1 : Identifique la ecuación polinomial con la que desea trabajar y simplifique si es necesario, de modo que tenga la forma f(x) = a₀ + a₁x + ...+ a norte x ^ n + c
  • Paso 2 : Encuentre todos los divisores enteros (tanto positivos como negativos) de a₀ y a norte
  • Paso 3 : Entonces necesitas calcular cada divisor de a₀ y dividirlo por cada divisor de a norte . Esta es la lista de tus candidatos racionales
  • Paso 4 : debe revisar cada uno de los elementos en la lista de candidatos anterior y verificar si son raíces de la ecuación polinomial dada o no

Nuevamente, esto no es necesariamente encontrar TODAS las raíces de la ecuación polinomial dada. Todo lo que hace es encontrar una lista de racionales candidatos, que contenga raíces racionales si hay raíces racionales. Pero puede que no haya raíces racionales.

Para el caso especial de una ecuación polinomial de orden 2, puede usar directamente este Calculadora de ecuaciones cuadráticas , que le proporcionará todos los pasos.

Encuentra todos los ceros racionales posibles

Entonces, lo que hace esta calculadora es solo eso, encontrar la lista de todos los ceros racionales posibles, que es un excelente punto de partida para encontrar raíces, porque luego usas la división polinomial para seguir resolviendo la ecuación.

Encontrar ceros de una función polinomial

Encontrar ceros de una función polinomial es una tarea difícil, especialmente cuando el grado polinomial es largo. En general, un polinomio de orden n tendrá n raíces, como lo establece el Teorema fundamental del álgebra , y esas raíces pueden ser reales, reales repetidas o complejas. Eso hace que la búsqueda sea más difícil.

Intentar encontrar raíces simples primero (como raíces enteras y racionales) es la mejor estrategia posible, ya que si encuentra raíces simples, puede usar el teorema de factorización para reducir el grado del polinomio con el que está trabajando.

La prueba del cero racional

Aunque puedes obtener raíces numéricas de una ecuación polinomial usando un software especializado, usar la prueba del cero racional es un gran ejercicio para intentar encontrar primero una solución entera y racional. Es una estrategia inteligente y le brinda una lista que contendrá las raíces racionales de una ecuación, si las hay.

Calculadora Del Teorema Del Cero Racional

Ejemplo: aplicación del teorema del cero racional

Utilice la prueba del cero racional para encontrar raíces racionales de: \(3 x^4 + 3x^3 - x + 14 = 0\)

Solución: >Se ha proporcionado la siguiente ecuación polinomial:

\[\displaystyle 3 x^4 + 3x^3 - x + 14 = 0\]

para lo cual necesitamos usar el Teorema del Cero Racional, para encontrar posibles raíces racionales a la ecuación anterior.

La ecuación polinomial de orden \(4\) ya tiene todos los términos en un lado y ya está simplificada, por lo que no se necesita más simplificación.

Ahora, necesitamos encontrar los números enteros que dividen el coeficiente principal \(a_{4}\) y el coeficiente constante \(a_0\), que se usarán para construir nuestros candidatos a ceros de la ecuación polinomial.

▹ Los divisores de \(a_{4} = 3\) son: \(\pm 1,\pm 3\).

▹ Los divisores de \(a_0 = 14\) son: \(\pm 1,\pm 2,\pm 7,\pm 14\).

Por tanto, dividiendo cada divisor del coeficiente constante \(a_0 = 14\) por cada divisor del coeficiente principal \(a_{4} = 3\), encontramos la siguiente lista de candidatos a raíces:

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 1}{ 3},\pm \frac{ 2}{ 1},\pm \frac{ 2}{ 3},\pm \frac{ 7}{ 1},\pm \frac{ 7}{ 3},\pm \frac{ 14}{ 1},\pm \frac{ 14}{ 3}\]

Ahora, todos los candidatos necesitan ser probados para ver si son una solución. De la prueba de cada candidato se obtiene lo siguiente:

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-1\right)^4+3\cdot\left(-1\right)^3-\left(-1\right)+14 & = & \displaystyle 15 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(1\right)^4+3\cdot\left(1\right)^3-1+14 & = & \displaystyle 19 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)^4+3\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)^3+\frac{ 1}{ 3}+14 & = & \displaystyle \frac{385}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\frac{1}{3}^4+3\cdot\frac{1}{3}^3-\frac{1}{3}+14 & = & \displaystyle \frac{373}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -2 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-2\right)^4+3\cdot\left(-2\right)^3-\left(-2\right)+14 & = & \displaystyle 40 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 2 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(2\right)^4+3\cdot\left(2\right)^3-2+14 & = & \displaystyle 84 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{2}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)^4+3\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)^3+\frac{ 2}{ 3}+14 & = & \displaystyle \frac{388}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{2}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\frac{2}{3}^4+3\cdot\frac{2}{3}^3-\frac{2}{3}+14 & = & \displaystyle \frac{400}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -7 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-7\right)^4+3\cdot\left(-7\right)^3-\left(-7\right)+14 & = & \displaystyle 6195 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 7 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(7\right)^4+3\cdot\left(7\right)^3-7+14 & = & \displaystyle 8239 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{7}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-\frac{7}{3}\right)^4+3\cdot\left(-\frac{7}{3}\right)^3+\frac{ 7}{ 3}+14 & = & \displaystyle \frac{1813}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{7}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\frac{7}{3}^4+3\cdot\frac{7}{3}^3-\frac{7}{3}+14 & = & \displaystyle \frac{3745}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -14 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-14\right)^4+3\cdot\left(-14\right)^3-\left(-14\right)+14 & = & \displaystyle 107044 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 14 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(14\right)^4+3\cdot\left(14\right)^3-14+14 & = & \displaystyle 123480 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{14}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-\frac{14}{3}\right)^4+3\cdot\left(-\frac{14}{3}\right)^3+\frac{ 14}{ 3}+14 & = & \displaystyle \frac{30688}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{14}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\frac{14}{3}^4+3\cdot\frac{14}{3}^3-\frac{14}{3}+14 & = & \displaystyle \frac{46900}{27} \ne 0 \\\\ \end{array}\]

Conclusión: Entonces, ninguno de los candidatos es raíz y, por lo tanto, este método no nos permite encontrar soluciones racionales en este caso.

Ejemplo: aplicación del teorema del cero racional

¿La ecuación: \(x^{10} - 4 = 0\) tiene raíces racionales?

Solución: Necesitamos intentar encontrar raíces racionales para:

\[\displaystyle x^{10}-4=0\]

utilizando el teorema de los ceros racionales.

No hay necesidad de simplificar más porque la ecuación polinomial de orden 10 ya tiene todos los términos en un lado.

Ahora debemos identificar los números enteros que dividen el coeficiente principal \(a_{10}\) y el coeficiente constante \(a_0\), en base a los cuales crearemos nuestros candidatos para los ceros de la ecuación polinomial.

Los divisores de \(a_{10} = 1\) son: \(\pm 1\).

Los divisores de \(a_0 = -4\) son: \(\pm 1,\pm 2,\pm 4\).

Por tanto, dividiendo cada divisor del coeficiente constante \(a_0 = -4\) por cada divisor del coeficiente principal \(a_{10} = 1\), encontramos la siguiente lista de candidatos a raíces:

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 2}{ 1},\pm \frac{ 4}{ 1}\]

Ahora, todos los candidatos necesitan ser probados para ver si son una solución. De la prueba de cada candidato se obtiene lo siguiente:

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle \left(-1\right)^{10}-4 & = & \displaystyle -3 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 1^{10}-4 & = & \displaystyle -3 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -2 &:&    & \displaystyle \left(-2\right)^{10}-4 & = & \displaystyle 1020 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 2 &:&    & \displaystyle 2^{10}-4 & = & \displaystyle 1020 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -4 &:&    & \displaystyle \left(-4\right)^{10}-4 & = & \displaystyle 1048572 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 4 &:&    & \displaystyle 4^{10}-4 & = & \displaystyle 1048572 \ne 0 \\\\ \end{array}\]

Conclusión: Entonces, ninguno de los candidatos es raíz, y por lo tanto, la ecuación polinomial original no tiene raíces racionales.

Ejemplo: aplicación del teorema del cero racional

Utilice la prueba del cero racional para encontrar raíces racionales de: \( x^3-\frac{8}{3}x^2+\frac{19}{9}x-\frac{4}{9}=0\)

Solución: Ahora tenemos que trabajar con:

\[\displaystyle x^3-\frac{8}{3}x^2+\frac{19}{9}x-\frac{4}{9}=0\]

Necesitamos encontrar los números enteros que dividen el coeficiente principal \(a_{3}\) y el coeficiente constante \(a_0\).

Usar: En este caso, observamos que para tener tanto el coeficiente principal como el constante necesitamos amplificar ambos lados de la ecuación por \(9\). La ecuación equivalente es:

\[9x^3-24x^2+19x-4 = 0\]

▹ Los divisores de \(a_{3} = 9\) son: \(\pm 1,\pm 3,\pm 9\).

▹ Los divisores de \(a_0 = -4\) son: \(\pm 1,\pm 2,\pm 4\).

Por tanto, dividiendo cada divisor del coeficiente constante \(a_0 = -4\) por cada divisor del coeficiente principal \(a_{3} = 9\), encontramos la siguiente lista de candidatos a raíces:

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 1}{ 3},\pm \frac{ 1}{ 9},\pm \frac{ 2}{ 1},\pm \frac{ 2}{ 3},\pm \frac{ 2}{ 9},\pm \frac{ 4}{ 1},\pm \frac{ 4}{ 3},\pm \frac{ 4}{ 9}\]

Todos los candidatos ahora deben ser probados para determinar si son una solución. Después de probar cada uno de ellos se obtienen los siguientes resultados:

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-1\right)^3-24\cdot\left(-1\right)^2+19\cdot\left(-1\right)-4 & = & \displaystyle -56 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(1\right)^3-24\cdot\left(1\right)^2+19\cdot\left(1\right)-4 & = & \displaystyle 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{3} &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)^3-24\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)^2+19\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)-4 & = & \displaystyle -\frac{40}{3} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{3} &:&    & \displaystyle 9\cdot\frac{1}{3}^3-24\cdot\frac{1}{3}^2+19\cdot\frac{1}{3}-4 & = & \displaystyle 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{9} &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-\frac{1}{9}\right)^3-24\cdot\left(-\frac{1}{9}\right)^2+19\cdot\left(-\frac{1}{9}\right)-4 & = & \displaystyle -\frac{520}{81} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{9} &:&    & \displaystyle 9\cdot\frac{1}{9}^3-24\cdot\frac{1}{9}^2+19\cdot\frac{1}{9}-4 & = & \displaystyle -\frac{176}{81} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -2 &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-2\right)^3-24\cdot\left(-2\right)^2+19\cdot\left(-2\right)-4 & = & \displaystyle -210 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 2 &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(2\right)^3-24\cdot\left(2\right)^2+19\cdot\left(2\right)-4 & = & \displaystyle 10 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{2}{3} &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)^3-24\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)^2+19\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)-4 & = & \displaystyle -30 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{2}{3} &:&    & \displaystyle 9\cdot\frac{2}{3}^3-24\cdot\frac{2}{3}^2+19\cdot\frac{2}{3}-4 & = & \displaystyle \frac{2}{3} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{2}{9} &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-\frac{2}{9}\right)^3-24\cdot\left(-\frac{2}{9}\right)^2+19\cdot\left(-\frac{2}{9}\right)-4 & = & \displaystyle -\frac{770}{81} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{2}{9} &:&    & \displaystyle 9\cdot\frac{2}{9}^3-24\cdot\frac{2}{9}^2+19\cdot\frac{2}{9}-4 & = & \displaystyle -\frac{70}{81} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -4 &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-4\right)^3-24\cdot\left(-4\right)^2+19\cdot\left(-4\right)-4 & = & \displaystyle -1040 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 4 &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(4\right)^3-24\cdot\left(4\right)^2+19\cdot\left(4\right)-4 & = & \displaystyle 264 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{4}{3} &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)^3-24\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)^2+19\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)-4 & = & \displaystyle -\frac{280}{3} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{4}{3} &:&    & \displaystyle 9\cdot\frac{4}{3}^3-24\cdot\frac{4}{3}^2+19\cdot\frac{4}{3}-4 & = & \displaystyle 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{4}{9} &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-\frac{4}{9}\right)^3-24\cdot\left(-\frac{4}{9}\right)^2+19\cdot\left(-\frac{4}{9}\right)-4 & = & \displaystyle -\frac{1456}{81} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{4}{9} &:&    & \displaystyle 9\cdot\frac{4}{9}^3-24\cdot\frac{4}{9}^2+19\cdot\frac{4}{9}-4 & = & \displaystyle \frac{40}{81} \ne 0 \\\\ \end{array}\]

Conclusión: Entonces en este caso, de los candidatos propuestos, encontramos las raíces racionales \(\displaystyle x = 1 \),\(\displaystyle x = \frac{1}{3} \) y \(\displaystyle x = \frac{4}{3} \) y luego, el término \( \displaystyle \left(x-1\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{4}{3}\right)\) divide la expresión polinomial \(\displaystyle x^3-\frac{8}{3}x^2+\frac{19}{9}x-\frac{4}{9}\).

Más calculadoras de álgebra

Trabajando con polinomios es una habilidad crucial de la que puede beneficiarse enormemente. Muchas aplicaciones en Álgebra lo usan, especialmente con aplicaciones de ecuaciones cuadráticas .

El caso más simple de una ecuación polinomial es un ecuación lineal , que tiene una gran variedad de aplicaciones.

Calculadoras relacionadas

  • Calculadora De Coeficiente Combinatorio Calculadora De Coeficiente Combinatorio
  • Calculadora De La Media Armónica Calculadora De La Media Armónica
  • Calculadora De Operaciones Polinomiales Calculadora De Operaciones Polinomiales
  • Creador de gráficos de funciones exponenciales Creador de gráficos de funciones exponenciales

    • iniciar sesión

    ¿Se te olvidó tu contraseña?
    No tiene una membresia?
    Regístrate

    restablecer la contraseña

    Volver
    iniciar sesión

    Regístrate

    Volver
    iniciar sesión