Instrucciones:
Utilice esta calculadora del teorema del cero racional para tratar de encontrar raíces racionales para cualquier ecuación polinomial que proporcione, mostrando todos los pasos. Escriba una ecuación polinomial en el cuadro de formulario a continuación.
Más sobre el teorema del cero racional
Utilice esta calculadora para aplicar el Teorema del Cero Racional a cualquier ecuación polinomial válida que proporcione, mostrando todos los pasos. Todo lo que necesita hacer es proporcionar una ecuación polinomial válida, como 4x^3 + 4x^2 + 12 = 0, o quizás una ecuación que no esté completamente simplificada como x^3 + 2x = 3x^2 - 2/3, ya que la calculadora se encargará de su simplificación.
Cuando haya terminado de escribir la ecuación polinomial para la que desea encontrar raíces racionales, deberá hacer clic en "Calcular" y se le proporcionarán todos los pasos del proceso. y se le proporcionarán todos los pasos de los cálculos.
Observa que el teorema del cero racional te permite probar racionales que
podría ser
soluciones, pero no necesariamente raíces. Solo estás probando candidatos potenciales.
El teorema del cero racional no es una herramienta para encontrar TODAS las raíces de una ecuación polinomial. Lo que se hace es afirmar que SI hay un
raíz racional
a esta ecuación polinomial, entonces debe estar entre este conjunto propuesto de candidatos, algo así como una 'lista corta'.
¿cómo usar el teorema del cero racional?
El teorema del cero racional obtiene una ecuación polinomial y pone todos los términos en un lado de la ecuación. Luego encontramos los divisores enteros del coeficiente que multiplica el término de mayor potencia y los llamamos {b1,...,,bi}, y también encontramos los divisores enteros del coeficiente constante el término de mayor potencia y los llamamos {a1,...,,aj}
Luego, encontramos raíces potenciales usando ±blak como candidatos, es decir, se construyen tomando la división de los divisores enteros correspondientes encontrados antes
¿cuáles son los pasos usando el teorema del cero racional?
Paso 1
: Identifique la ecuación polinomial con la que desea trabajar y simplifique si es necesario, de modo que tenga la forma f(x) = a₀ + a₁x + ...+ a
norte
x ^ n + c
Paso 2
: Encuentre todos los divisores enteros (tanto positivos como negativos) de a₀ y a
norte
Paso 3
: Entonces necesitas calcular cada divisor de a₀ y dividirlo por cada divisor de a
norte
. Esta es la lista de tus candidatos racionales
Paso 4
: debe revisar cada uno de los elementos en la lista de candidatos anterior y verificar si son raíces de la ecuación polinomial dada o no
Nuevamente, esto no es necesariamente encontrar TODAS las raíces de la ecuación polinomial dada. Todo lo que hace es encontrar una lista de racionales candidatos, que contenga raíces racionales si hay raíces racionales. Pero puede que no haya raíces racionales.
Para el caso especial de una ecuación polinomial de orden 2, puede usar directamente este
Calculadora de ecuaciones cuadráticas
, que le proporcionará todos los pasos.
Encuentra todos los ceros racionales posibles
Entonces, lo que hace esta calculadora es solo eso, encontrar la lista de todos los ceros racionales posibles, que es un excelente punto de partida para encontrar raíces, porque luego usas la división polinomial para seguir resolviendo la ecuación.
Encontrar ceros de una función polinomial
Encontrar ceros de una función polinomial es una tarea difícil, especialmente cuando el
grado polinomial
es largo. En general, un polinomio de orden n tendrá n raíces, como lo establece el
Teorema fundamental del álgebra
, y esas raíces pueden ser reales, reales repetidas o complejas. Eso hace que la búsqueda sea más difícil.
Intentar encontrar raíces simples primero (como raíces enteras y racionales) es la mejor estrategia posible, ya que si encuentra raíces simples, puede usar el teorema de factorización para reducir el grado del polinomio con el que está trabajando.
La prueba del cero racional
Aunque puedes obtener raíces numéricas de una ecuación polinomial usando un software especializado, usar la prueba del cero racional es un gran ejercicio para intentar encontrar primero una solución entera y racional. Es una estrategia inteligente y le brinda una lista que contendrá las raíces racionales de una ecuación, si las hay.
Ejemplo: aplicación del teorema del cero racional
Utilice la prueba del cero racional para encontrar raíces racionales de: 3x4+3x3−x+14=0
Solución:
>Se ha proporcionado la siguiente ecuación polinomial:
3x4+3x3−x+14=0
para lo cual necesitamos usar el Teorema del Cero Racional, para encontrar posibles raíces racionales a la ecuación anterior.
La ecuación polinomial de orden 4 ya tiene todos los términos en un lado y ya está simplificada, por lo que no se necesita más simplificación.
Ahora, necesitamos encontrar los números enteros que dividen el coeficiente principal a4 y el coeficiente constante a0, que se usarán para construir nuestros candidatos a ceros de la ecuación polinomial.
▹ Los divisores de a4=3 son: ±1,±3.
▹ Los divisores de a0=14 son: ±1,±2,±7,±14.
Por tanto, dividiendo cada divisor del coeficiente constante a0=14 por cada divisor del coeficiente principal a4=3, encontramos la siguiente lista de candidatos a raíces:
±11,±31,±12,±32,±17,±37,±114,±314
Ahora, todos los candidatos necesitan ser probados para ver si son una solución. De la prueba de cada candidato se obtiene lo siguiente:
No hay necesidad de simplificar más porque la ecuación polinomial de orden 10 ya tiene todos los términos en un lado.
Ahora debemos identificar los números enteros que dividen el coeficiente principal a10 y el coeficiente constante a0, en base a los cuales crearemos nuestros candidatos para los ceros de la ecuación polinomial.
Los divisores de a10=1 son: ±1.
Los divisores de a0=−4 son: ±1,±2,±4.
Por tanto, dividiendo cada divisor del coeficiente constante a0=−4 por cada divisor del coeficiente principal a10=1, encontramos la siguiente lista de candidatos a raíces:
±11,±12,±14
Ahora, todos los candidatos necesitan ser probados para ver si son una solución. De la prueba de cada candidato se obtiene lo siguiente:
Conclusión:
Entonces, ninguno de los candidatos es raíz, y por lo tanto, la ecuación polinomial original no tiene raíces racionales.
Ejemplo: aplicación del teorema del cero racional
Utilice la prueba del cero racional para encontrar raíces racionales de: x3−38x2+919x−94=0
Solución:
Ahora tenemos que trabajar con:
x3−38x2+919x−94=0
Necesitamos encontrar los números enteros que dividen el coeficiente principal a3 y el coeficiente constante a0.
Usar:
En este caso, observamos que para tener tanto el coeficiente principal como el constante necesitamos amplificar ambos lados de la ecuación por 9. La ecuación equivalente es:
9x3−24x2+19x−4=0
▹ Los divisores de a3=9 son: ±1,±3,±9.
▹ Los divisores de a0=−4 son: ±1,±2,±4.
Por tanto, dividiendo cada divisor del coeficiente constante a0=−4 por cada divisor del coeficiente principal a3=9, encontramos la siguiente lista de candidatos a raíces:
±11,±31,±91,±12,±32,±92,±14,±34,±94
Todos los candidatos ahora deben ser probados para determinar si son una solución. Después de probar cada uno de ellos se obtienen los siguientes resultados:
Conclusión:
Entonces en este caso, de los candidatos propuestos, encontramos las raíces racionales x=1,x=31 y x=34 y luego, el término (x−1)(x−31)(x−34) divide la expresión polinomial x3−38x2+919x−94.
