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Calculadora de factorización

Instrucciones: Utilizar esta Calculadora de factores para hacer una descomposición en factores de cualquier polinomio que proporcione en el cuadro de formulario a continuación.

Calculadora de factor de polinomio

Esta calculadora de factorización con pasos te permitirá encontrar el factor completo de un polinomio dado que proporciones, mostrando todos los pasos del proceso.

El polinomio que proporcione debe ser válido, algo simple como p(x) = x^3 - x + 1, o puede ser más complicado, con coeficientes que son fracciones o cualquier expresión numérica válida.

Una vez que proporcione un polinomio válido, puede proceder a hacer clic en el botón "Calcular", y se le proporcionará paso a paso la ejecución del proceso necesario para factorizar completamente el polinomio proporcionado, un proceso que puede ser bastante laborioso se hace a mano, especialmente cuando el grado del polinomio es alto.

No hay forma de exagerar la importancia de saber cómo factorizar polinomios, ya que se encuentran en el centro de muchas aplicaciones en álgebra, cálculo, finanzas e ingeniería.

¿cómo factorizar polinomios?

A excepción de los polinomios cuadráticos, la factorización de polinomios no es necesariamente fácil y puede presentar dificultades cuando se hace a mano. Hay una serie de pasos que debe seguir para mejorar sus cambios de al menos encontrar algunos de los factores

Pasos de la calculadora de factores

Paso 1: Identifica la expresión con la que estás trabajando, simplifícala lo más posible y asegúrate de que sea un polinomio. Si no es un polinomio, entonces no hay un enfoque definido a seguir
Paso 2: Una vez que tengas un polinomio simplificado, toma nota de su grado. Si es cuadrático (grado 2), puede usar el Fórmula cuadrática encontrar sus factores
Paso 3: Si el grado del polinomio es 3 o mayor, verifique el coeficiente constante, si es cero, significa que puede factorizar x y reducir el grado del polinomio que queda para factorizar
Paso 4: Después de completar el Paso 4, debe probar candidatos a raíces simples utilizando el teorema del cero racional. Si encuentra alguna raíz racional, esos son factores de la forma (x - a) (donde a es una raíz racional), y luego divide el polinomio entre estos factores, por lo que reduce el grado del polinomio que necesita factorizar.
Paso 5: Repita los pasos anteriores hasta que tenga una factorización completa o no pueda hacer ninguna reducción adicional.

Hay una cosa que si bien es técnica, es necesario mencionarla: el factoraje se realiza sobre un campo , que es un tipo de estructura algebraica. Normalmente, el campo que usamos es el campo de los números reales.

Si usamos la calculadora de factores para el campo de los números reales, entonces no todos los factores serán de la forma $x - a$, ya que también podemos tener factores cuadráticos, que son irreducibles en el campo real. Por ejemplo, $x^2 + x + 10$ no se puede reducir a factores lineales reales, porque el Ecuación cuadrática $x^2 + x + 10 = 0$ tiene raíces complejas.

Entonces, en el Paso 3, cuando se trata de una función cuadrática, el factor puede ser él mismo, si sus raíces son complejas.

Factores y raíces

La forma de utilizar un proceso de cálculo de factorización es esencialmente intentar diferentes tipos de factorización explotando ciertas simetrías o encontrando raíces. Encontrar simetrías no es algo seguro, ya que realmente depende de las regularidades específicas que se pueden encontrar, que no son comunes a todos los polinomios.

Comúnmente se intenta la factorización por inspección o por agrupación, pero requieren patrones específicos que no siempre existen. Vale la pena inspeccionar un polinomio para ver si se puede hacer algo directo, pero el método de factorización mediante la búsqueda de raíces es más sistemático y funcionará en más casos que los métodos de inspección.

Errores comunes a evitar

Es crucial comprender que el factor de un polinomio está estrechamente relacionado con encontrar su raíz, que está todo incluido en el teorema del factor . Entonces, saber cómo factorizar depende de tu habilidad para saber cómo encontrar las raíces de un polinomio.

No habrá una fórmula, a menos que estés tratando con una función cuadrática. Para títulos superiores, tiene diferentes alternativas: puede usar el proceso sistemático descrito anteriormente, o puede intentar adivinar e intentar factorizar por inspección, o intentar usar otras alternativas como factorización por agrupación .

Ejemplo: factores polinómicos

Factorizar completamente: $p(x) = x^5 - 3x^4 + 3x^3 - 3x^2 + 2x$

Solución: Se proporcionó el siguiente polinomio: $\displaystyle p(x) = x^5-3x^4+3x^3-3x^2+2x$, que debe factorizarse completamente en los números reales.

Paso Inicial: La expresión polinómica proporcionada es irreducible, por lo que no hay nada que simplificar. Podemos proceder a factorizarlo.

Observa que el grado del polinomio dado es $\displaystyle deg(p) = 5$, su coeficiente principal es $\displaystyle a_{5} = 1$ y su coeficiente constante es $\displaystyle a_0 = 0$.

Candidatos De Raíces Racionales : Dado que el primer término con un coeficiente distinto de cero en $p(x)$ es $x$, podemos factorizar este término para obtener

\[\displaystyle p(x) = x^5-3x^4+3x^3-3x^2+2x = x \left(x^4-3x^3+3x^2-3x+2 \right) \]

pero el término entre paréntesis tiene un grado superior a 2, por lo que no existe una fórmula elemental para factorizarlo. Necesitamos probar posibles raíces racionales.

La siguiente tarea es encontrar los números enteros que dividen el coeficiente principal $a_{4}$ y el coeficiente constante $a_0$, que se utilizarán para construir nuestros candidatos a ceros de la ecuación polinomial.

▹ Los divisores de $a_{4} = 1$ son: $\pm 1$.

▹ Los divisores de $a_0 = 2$ son: $\pm 1,\pm 2$.

Por tanto, dividiendo cada divisor del coeficiente constante $a_0 = 2$ por cada divisor del coeficiente principal $a_{4} = 1$, encontramos la siguiente lista de candidatos a raíces:

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 2}{ 1}\]

Ahora, todos los candidatos necesitan ser probados para ver si son una solución. De la prueba de cada candidato se obtiene lo siguiente:

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:& & \displaystyle \left(-1\right)^4-3\cdot \left(-1\right)^3+3\cdot \left(-1\right)^2-3\cdot \left(-1\right)+2 & = & \displaystyle 12 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:& & \displaystyle 1^4-3\cdot 1^3+3\cdot 1^2-3\cdot 1+2 & = & \displaystyle 0 \\\\ x & = & \displaystyle -2 &:& & \displaystyle \left(-2\right)^4-3\cdot \left(-2\right)^3+3\cdot \left(-2\right)^2-3\cdot \left(-2\right)+2 & = & \displaystyle 60 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 2 &:& & \displaystyle 2^4-3\cdot 2^3+3\cdot 2^2-3\cdot 2+2 & = & \displaystyle 0 \\\\ \end{array}\]

División De Polinomios : Como no tenemos raíces suficientes entre los candidatos racionales, dividiremos $\displaystyle x^4-3x^3+3x^2-3x+2$ por el producto de los factores derivados de las raíces racionales, que es $\displaystyle \left(x-1\right)\left(x-2\right) $.

Paso 1: El término principal del dividendo $\displaystyle p(x) = x^4-3x^3+3x^2-3x+2$ es $\displaystyle x^4$, mientras que el término principal del divisor $\displaystyle s(x) = x^2-3x+2$ es igual a $\displaystyle x^2$.

Entonces, el término que necesitamos multiplicar $x^2$ para llegar al término principal del dividendo es $\displaystyle \frac{ x^4}{ x^2} = x^2$, entonces sumamos este término al cociente. Además, multiplicamos esto por el divisor para obtener $\displaystyle x^2 \cdot \left(x^2-3x+2\right) = x^4-3x^3+2x^2$, que debemos restar al dividendo:

\[\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{rccccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle & \displaystyle &&\\[0.3em] \hline x^2-3x+2\,) & \displaystyle x^4 & \displaystyle -3x^3 & \displaystyle +3x^2 & \displaystyle -3x & \displaystyle +2\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle -x^4 & \displaystyle +3x^3 & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle x^2 & \displaystyle -3x & \displaystyle +2\\[0.3em] \end{array}\]

Paso 2: En este caso, el término principal del resto actual $\displaystyle x^2-3x+2$ es $\displaystyle x^2$, y sabemos que el término principal del divisor es $\displaystyle x^2$.

Entonces, el término que necesitamos multiplicar $x^2$ para llegar al término principal del resto actual es $\displaystyle \frac{ x^2}{ x^2} = 1$, entonces sumamos este término al cociente. Además, multiplicamos esto por el divisor para obtener $\displaystyle 1 \cdot \left(x^2-3x+2\right) = x^2-3x+2$, que debemos restar al recordatorio actual:

\[\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{rccccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle & \displaystyle +1&&\\[0.3em] \hline x^2-3x+2\,) & \displaystyle x^4 & \displaystyle -3x^3 & \displaystyle +3x^2 & \displaystyle -3x & \displaystyle +2\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle -x^4 & \displaystyle +3x^3 & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle x^2 & \displaystyle -3x & \displaystyle +2\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -x^2 & \displaystyle +3x & \displaystyle -2\\[0.3em] \hline \displaystyle & & & & & 0\\[0.3em] \end{array}\]

Por lo tanto, el cociente es $\displaystyle q(x) = x^2+1$ y el resto es $\displaystyle r(x) = 0$.

Así que después de dividir, hemos avanzado en la factorización con

\[\displaystyle p(x) = x^5-3x^4+3x^3-3x^2+2x = x \left(x-1\right)\left(x-2\right) \left(x^2+1\right)\]

Pero ahora, dado que el cociente encontrado $\displaystyle x^2+1$ es cuadrático, podemos encontrar sus raíces para ver si podemos factorizarlo en el campo real.

Necesitamos resolver la siguiente ecuación cuadrática dada $\displaystyle x^2+1=0$.

Para una ecuación cuadrática de la forma $a x^2 + bx + c = 0$, las raíces se calculan usando la siguiente fórmula:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

En este caso, tenemos que la ecuación que debemos resolver es $\displaystyle x^2+1 = 0$, lo que implica que los coeficientes correspondientes son:

\[a = 1\] \[b = 0\] \[c = 1\]

Primero, calcularemos el discriminante para evaluar la naturaleza de las raíces. La discriminación se calcula como:

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( 0\right)^2 - 4 \cdot \left(1\right)\cdot \left(1\right) = -4\]

Dado que en este caso obtenemos que el discriminante es $\Delta = \displaystyle -4 < 0$, que es negativo, sabemos que la ecuación dada tiene dos raíces complejas conjugadas diferentes.

Ahora, reemplazando estos valores en la fórmula de las raíces obtenemos:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{0 \pm \sqrt{\left(0\right)^2-4\left(1\right)\left(1\right)}}{2\cdot 1} = \displaystyle \frac{0 \pm \sqrt{-4}}{2}\]

entonces, encontramos que:

\[\displaystyle x_1 = \frac{0 - i \sqrt{4}}{2} = -i\] \[\displaystyle x_2 = \frac{0 + i \sqrt{4}}{2} = i\]

Entonces, después de encontrar las raíces de la última parte cuadrática, encontramos dos raíces complejas, por lo que no podemos factorizar el término $x^2+1$ en el campo real, así que terminamos el proceso con $\displaystyle p(x) = x^5-3x^4+3x^3-3x^2+2x = x \left(x-1\right)\left(x-2\right) \left(x^2+1\right)$.

Conclusión : Por lo tanto, la factorización final que obtenemos es:

\[\displaystyle p(x) = x^5-3x^4+3x^3-3x^2+2x = x\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x^2+1\right)\]

Las raíces encontradas usando el proceso de factorización son $0$,$1$,$2$,$-i$ y $i$ .

Ejemplo: cálculo de factores

Encuentre los factores de lo siguiente: $p(x) = x^4 - 2x^3 - x^2 + 2x$

Solución: Ahora necesitamos factorizar: $\displaystyle p(x) = x^4-2x^3-x^2+x$.

Paso Inicial: La expresión polinómica proporcionada no se puede reducir, y luego podemos proceder directamente a factorizarla.

Candidatos De Raíces Racionales : Dado que el primer término con un coeficiente distinto de cero en $p(x)$ es $x$, podemos factorizar este término para obtener

\[\displaystyle p(x) = x^4-2x^3-x^2+x = x \left(x^3-2x^2-x+1 \right) \]

pero el término entre paréntesis tiene un grado superior a 2, por lo que no existe una fórmula elemental para factorizarlo. Necesitamos probar posibles raíces racionales.

La siguiente tarea es encontrar los números enteros que dividen el coeficiente principal $a_{3}$ y el coeficiente constante $a_0$, que se utilizarán para construir nuestros candidatos a ceros de la ecuación polinomial.

▹ Los divisores de $a_{3} = 1$ son: $\pm 1$.

▹ Los divisores de $a_0 = 1$ son: $\pm 1$.

Por tanto, dividiendo cada divisor del coeficiente constante $a_0 = 1$ por cada divisor del coeficiente principal $a_{3} = 1$, encontramos la siguiente lista de candidatos a raíces:

\[\pm \frac{ 1}{ 1}\]

Ahora, todos los candidatos necesitan ser probados para ver si son una solución. De la prueba de cada candidato se obtiene lo siguiente:

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:& & \displaystyle \left(-1\right)^3-2\cdot \left(-1\right)^2-\left(-1\right)+1 & = & \displaystyle -1 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:& & \displaystyle 1^3-2\cdot 1^2-1+1 & = & \displaystyle -1 \ne 0 \\\\ \end{array}\]

Pero como no hemos encontrado raíces racionales por inspección, no podemos continuar con la factorización usando métodos elementales, por lo que el proceso se detiene aquí.

Conclusión : Por lo tanto, en este caso, obtenemos:

\[\displaystyle p(x) = x^4-2x^3-x^2+x = x\left(x^3-2x^2-x+1\right)\]

Por lo tanto, la única raíz que se encuentra usando el proceso de factorización es $0$.

Ejemplo: cálculo de factorización

Completamente el factor $ p(x) = x^3 - \frac{7}{2}x^2 + \frac{7}{2}x - 1$. ¿Cuáles son las raíces de este polinomio?

Solución: Para este ejemplo, tenemos $\displaystyle p(x) = x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1$, y usaremos el proceso de factorización como herramienta para calcular sus raíces.

Paso Inicial: La expresión polinómica proporcionada es irreducible, por lo que no hay nada que simplificar. Podemos proceder a factorizarlo.

Primero debemos intentar encontrar raíces racionales simples, lo cual se logra con la ayuda del Teorema de la Raíz Racional.

▹ Los divisores enteros de $a_{3} = 1$ son: $\pm 1$.

▹ Los divisores enteros de $a_0 = -1$ son: $\pm 1$.

Por lo tanto, dividimos cada divisor del coeficiente constante $a_0 = -1$ por todos y cada uno de los divisores del coeficiente principal $a_{3} = 1$, por lo que podemos encontrar una lista de candidatos racionales para ser raíces:

\[\pm \frac{ 1}{ 1}\]

Ahora, todos los candidatos necesitan ser probados para ver si son una solución. De la prueba de cada candidato se obtiene lo siguiente:

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:& & \displaystyle \left(-1\right)^3-\frac{7}{2}\cdot \left(-1\right)^2+\frac{7}{2}\cdot \left(-1\right)-1 & = & \displaystyle -9 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:& & \displaystyle 1^3-\frac{7}{2}\cdot 1^2+\frac{7}{2}\cdot 1-1 & = & \displaystyle 0 \\\\ \end{array}\]

Proceso De División De Polinomios : No tenemos suficientes raíces racionales de los candidatos encontrados con el Teorema del Cero Racional, por lo que dividiremos $\displaystyle x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1$ por el producto de estos factores racionales derivados de los candidatos de raíces racionales, lo que nos lleva a $\displaystyle \left(x-1\right) $ .

Paso 1: El término principal del dividendo $\displaystyle p(x) = x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1$ es $\displaystyle x^3$, mientras que el término principal del divisor $\displaystyle s(x) = x-1$ es igual a $\displaystyle x$.

Entonces, el término que necesitamos multiplicar $x$ para llegar al término principal del dividendo es $\displaystyle \frac{ x^3}{ x} = x^2$, entonces sumamos este término al cociente. Además, multiplicamos esto por el divisor para obtener $\displaystyle x^2 \cdot \left(x-1\right) = x^3-x^2$, que debemos restar al dividendo:

\[\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{rcccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle & \displaystyle &\\[0.3em] \hline x-1\,) & \displaystyle x^3 & \displaystyle -\frac{7}{2}x^2 & \displaystyle +\frac{7}{2}x & \displaystyle -1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle -x^3 & \displaystyle +x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{5}{2}x^2 & \displaystyle +\frac{7}{2}x & \displaystyle -1\\[0.3em] \end{array}\]

Paso 2: Ahora, el término principal del resto actual $\displaystyle -\frac{5}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1$ es $\displaystyle -\frac{5}{2}x^2$, y sabemos que el término principal del divisor es $\displaystyle x$.

Entonces, el término que necesitamos multiplicar $x$ para llegar al término principal del resto actual es $\displaystyle \frac{ -\frac{5}{2}x^2}{ x} = -\frac{5}{2}x$, entonces sumamos este término al cociente. Además, multiplicamos esto por el divisor para obtener $\displaystyle -\frac{5}{2}x \cdot \left(x-1\right) = -\frac{5}{2}x^2+\frac{5}{2}x$, que debemos restar al recordatorio actual:

\[\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{rcccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle -\frac{5}{2}x & \displaystyle &\\[0.3em] \hline x-1\,) & \displaystyle x^3 & \displaystyle -\frac{7}{2}x^2 & \displaystyle +\frac{7}{2}x & \displaystyle -1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle -x^3 & \displaystyle +x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{5}{2}x^2 & \displaystyle +\frac{7}{2}x & \displaystyle -1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle \frac{5}{2}x^2 & \displaystyle -\frac{5}{2}x & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle x & \displaystyle -1\\[0.3em] \end{array}\]

Paso 3: Ahora, el término principal del resto actual $\displaystyle x-1$ es $\displaystyle x$, y sabemos que el término principal del divisor es $\displaystyle x$.

Entonces, el término que necesitamos multiplicar $x$ para llegar al término principal del resto actual es $\displaystyle \frac{ x}{ x} = 1$, entonces sumamos este término al cociente. Además, multiplicamos esto por el divisor para obtener $\displaystyle 1 \cdot \left(x-1\right) = x-1$, que debemos restar al recordatorio actual:

\[\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{rcccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle -\frac{5}{2}x & \displaystyle +1&\\[0.3em] \hline x-1\,) & \displaystyle x^3 & \displaystyle -\frac{7}{2}x^2 & \displaystyle +\frac{7}{2}x & \displaystyle -1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle -x^3 & \displaystyle +x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{5}{2}x^2 & \displaystyle +\frac{7}{2}x & \displaystyle -1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle \frac{5}{2}x^2 & \displaystyle -\frac{5}{2}x & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle x & \displaystyle -1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -x & \displaystyle +1\\[0.3em] \hline \displaystyle & & & & 0\\[0.3em] \end{array}\]

Por lo tanto, del cociente de división, concluimos que $\displaystyle q(x) = x^2-\frac{5}{2}x+1$, con un resto de $\displaystyle r(x) = 0$.

Entonces, obtendremos:

\[\displaystyle p(x) = x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1 = \left(x-1\right) \left(x^2-\frac{5}{2}x+1\right)\]

Pero la ecuación $\displaystyle x^2-\frac{5}{2}x+1$ es cuadrática, por lo que las raíces se pueden calcular directamente.

Entonces, necesitamos calcular el discriminante para conocer la naturaleza de las raíces. La fórmula para discriminar es:

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( -\frac{5}{2}\right)^2 - 4 \cdot \left(1\right)\cdot \left(1\right) = \frac{9}{4}\]

Pero vemos que el discriminante es $\Delta = \displaystyle \frac{9}{4} > 0$, que es positivo, y por tanto, concluimos que la ecuación tiene dos raíces reales distintas.

Ahora, conectamos estos valores para obtener:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{\frac{5}{2} \pm \sqrt{\left(-\frac{5}{2}\right)^2-4\left(1\right)\left(1\right)}}{2\cdot 1} = \displaystyle \frac{\frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}}}{2}\]

entonces, encontramos que:

\[ x_1 = \frac{\frac{5}{2}}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{\frac{5}{2}}{2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}=\frac{5}{4}-\frac{3}{4}=\frac{1}{2} \] \[x_2 = \frac{\frac{5}{2}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{\frac{5}{2}}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}=\frac{5}{4}+\frac{3}{4}=2\]

Con las soluciones de la ecuación cuadrática anterior, que tiene dos raíces reales, descomponemos aún más el polinomio original como: $\displaystyle p(x) = x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1 = \left(x-1\right) \left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-2\right)$.

Conclusión : Por lo tanto, en este caso logramos una simplificación completa:

\[\displaystyle p(x) = x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1 = \left(x-1\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-2\right)\]

Con base en la factorización anterior, las raíces encontradas son: $1$,$\frac{1}{2}$ y $2$ .

Más calculadoras de polinomios

Hay muchas cosas que puedes hacer con el polinomio, puedes graficarlos , puede analizar su comportamiento final, pero esas son tareas más simples y accesorias hacia la tarea principal que es factorizar un polinomio y encontrar sus raíces.

El problema general para grados superiores es complicado, y normalmente nos reducimos a funciones cuadráticas , y potencialmente funciones cúbicas que tienen ciertas simetrías que permiten una fácil factorización.