Factorizar por agrupación
Factorizar por agrupación es una excelente manera de factorizar una expresión, sin la necesidad de resolver una ecuación polinomial, que podría ser difícil de resolver.
El único problema de factorizar por agrupación es que no existe una receta o estrategia que le proporcione la agrupación adecuada que se necesita. O peor aún, puede que no haya una forma clara de agrupación para realizar una factorización.
En este tutorial nos concentraremos en los casos especiales en los que la agrupación ayudará a factorizar una expresión algebraica, aunque la verdad es que no siempre es posible hacerlo. Para un tratamiento más general, consulte este tutorial sobre como factorizar .
Las condiciones requeridas para factorizar por agrupación
Así es como funciona la factorización por agrupación:
Necesitamos buscar ciertas pistas para utilizar este tipo de factorización. Para empezar, esperaremos tener una expresión algebraica con un número par de términos mayor que 2 (por lo tanto, 4, 6, etc.), y luego intentaremos agrupar.
Como dijimos, no hay reglas fijas, y debes jugarlo de oído siguiendo estos dos pasos.
Paso 1:
Agrupe el primer y segundo término, tercer y cuarto término, y así sucesivamente.
Paso 2:
Ahora, intente factorizar todos los pares que agrupó en el Paso 1. Observe que podría haber más de una forma de factorizar.
Paso 3:
Vea si los factores que obtuvo en el Paso 2 son todos iguales, en cuyo caso, puede factorizarlo.
Paso 4:
Si los pasos anteriores no funcionan, pruebe el truco de "agregar cero": a veces, las cosas funcionarán si agrega algo y también lo resta de la expresión.
Al sumar y restar el mismo término, el efecto neto es el mismo que sumar (es decir, dejar la expresión igual que antes)
EJEMPLO 1
Factorizar usando el método de Factorizar agrupando el siguiente polinomio
\[6x^3 + 3x^2 - 4x -2\]RESPONDER:
Necesitamos seguir los pasos que definimos anteriormente. Tenga en cuenta que estos pasos no están escritos en piedra, pero son una guía útil que debe seguir:
Paso 1: Agrupamos el primer y segundo término, y también el tercer y cuarto término para obtener
\[6x^3 + 3x^2 - 4x -2 = (6x^3 + 3x^2) - (4x + 2)\]
Paso 2: El término \(6x^3 + 3x^2\) se factoriza como \(6x^3 + 3x^2 = 3x^2(2x+1)\), y el término \(4x + 2\) se factoriza como \(4x + 2 = 2(2x+1)\), por lo que obtenemos:
\[6x^3 + 3x^2 - 4x -2 = (6x^3 + 3x^2) - (4x + 2) = 3x^2(2x+1) - 2(2x+1) \]
Paso 3: Ahora podemos ver cómo los dos grupos que factorizamos tienen un factor común, que es \(2x+1\), que puede factorizarse mediante la propiedad distributiva. Por tanto, se obtiene lo siguiente:
\[6x^3 + 3x^2 - 4x -2 = (3x^2-2)(2x+1)\]
que concluye el proceso de factorización.
EJEMPLO 2
Resuelve la siguiente ecuación: \(x^3 -6x^2 + 11x - 6 = 0\):
RESPONDER:
Dado que realmente no sabemos (aunque es posible) cómo encontrar la solución de esa ecuación cúbica, necesitamos usar nuevamente los pasos para encontrar la factorización agrupando \(x^3 -6x^2 + 11x - 6 \) si es posible:
Paso 1: Agrupamos el primer y segundo término, y también el tercer y cuarto término para obtener
\[x^3 -6x^2 + 11x - 6 = (x^3 -6x^2) + (11x - 6) \]
Paso 2: El término \(x^3 -6x^2\) se factoriza como \(x^3 -6x^2 = x^2(x-6)\), y el término \(11x - 6\) se factoriza como \(11x - 6= 11(x - 6/11)\), por lo que obtenemos:
\[x^3 -6x^2 + 11x - 6 = (x^3 -6x^2) + (11x - 6) = x^2(x-6) + 11(x - 6/11) \]
Paso 3: En este caso, no hay un factor común, por lo que el método no ha funcionado hasta este momento.
Paso 4: Agregamos \(0 = 2x - 2x\) y agregamos \(0 = 3x^2 - 3x^2\) que no afectará la expresión (estamos agregando ceros), así obtenemos:
\[ x^3 -6x^2 + 11x - 6 = x^3 -6x^2 + 11x - 6 + 2x - 2x + 3x^2 - 3x^2\] \[ = x^3 - 3x^2 -3x^2 + 9x +2x- 6 \] \[= (x^3 - 3x^2) -(3x^2 - 9x) +(2x- 6) \] \[= x^2(x - 3) -3x(x-3) +2(x- 3) \]
y ahora tenemos el factor común, \(x-3\) que estábamos buscando. Finalmente, factorizando \(x-3\) obtenemos
\[\Large x^3 -6x^2 + 11x - 6 = (x^2-3x +2)(x- 3)\]Entonces, para resolver la ecuación original, también podemos resolver \((x^2-3x +2)(x- 3) = 0\) lo que significa que \(x^2-3x +2 = 0\) o \(x - 3\) = 0.
De la segunda ecuación tenemos la única solución es \(x = 3\). De la primera ecuación necesitamos resolver:
\[ x^2-3x +2 = 0 \Rightarrow x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] \[ \Rightarrow x = \frac{3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(2)}}{2(1)}\] \[ \Rightarrow x = \frac{3 \pm \sqrt{9-8}}{2}\] \[ \Rightarrow x = \frac{3 \pm 1}{2}\]lo que implica que las otras soluciones son \(x = (3-1)/2 = 1\) y \(x = (3+1)/2 = 2\).
¿Por qué factorizar por agrupación?
Recordemos que factorizar siempre es bueno para resolver una ecuación, porque cuando una multiplicación de varios factores es igual a cero, entonces las soluciones de la ecuación se encuentran estableciendo cada factor igual a cero.
Por ejemplo, digamos que desea resolver la ecuación \(x^3 + x^2 + 2x + 2 = 0\). Le apostaría a que no tendría ni idea si tuviera que resolverlo usando medios algebraicos.
¿Por qué? Porque esta es una ecuación cúbica y resolver una ecuación cúbica es difícil. Hay una fórmula, pero no es fácil. ¿Qué alternativas tenemos?
Bueno, podemos factorizar agrupando, si es posible. Veremos que sí es posible en este caso. Seguiremos los pasos que se delinearon anteriormente:
Paso 1: Agrupar el primer y segundo término, y también el tercer y cuarto término conduce a:
\[(x^3 + x^2) + (2x + 2) = 0\]
Paso 2: El término \(x^3 + x^2\) se factoriza como \(x^3 + x^2 = x^2(x+1)\), y el término \(2x + 2\) se factoriza como \(2x + 2 = 2(x+1)\), por lo que obtenemos:
\[x^2(x + 1) + 2(x + 1) = 0\]
Paso 3: Ahora vemos que los dos grupos que factorizamos tienen un factor común, que es \(x+1\), que puede ser factorizado por la propiedad distributiva, por lo que obtenemos:
\[(x^2+2)(x + 1)= 0\]
Por tanto, lo que hemos encontrado es que la expresión cúbica original se ha factorizado como:
\[x^3 + x^2 + 2x + 2 = (x^2+2)(x + 1) = 0\]De esta manera, podemos resolver la ecuación fácilmente, configurando \(x^2 + 2 = 0\) o \(x + 1 = 0\). Tenga en cuenta que dado que \(x^2\) siempre es no negativo, obtenemos que \(x^2 + 2 \ge 2\) y nunca puede ser cero (al menos para \(x\) real).
Por lo tanto, la única solución es \(x = -1\).
Eso vino gratis, usando factor por agrupación. De lo contrario, habríamos tenido que utilizar una fórmula de raíz cúbica engorrosa, o habría utilizado el método de "adivinar las raíces", que seamos honestos, no es realmente un método.