Resolver ecuaciones cuadráticas por factorización

Esta calculadora te permite factorizar una ecuación cuadrática que proporciones, mostrando todos los pasos del proceso. Todo lo que necesita hacer es proporcionar una ecuación cuadrática válida.

Un ejemplo de una ecuación cuadrática válida es 2x² + 5x + 1 = 0. También puede proporcionar una ecuación cuadrática que no esté completamente simplificada, como por ejemplo, x² - 3/4 x + 2 = 3x - 2x², y esta calculadora simplificarlo para ti.

Una vez que proporcione una ecuación cuadrática válida, debe hacer clic en "Calcular" y se le mostrarán todos los pasos del proceso.

Factorizar ecuaciones cuadráticas es uno de los métodos para encontrar raíces, pero se considera un método bastante "ingenuo", ya que es un método de "probar y probar", que solo funciona bien para raíces enteras y fraccionarias.

¿cómo factorizar ecuaciones cuadráticas?

El proceso es simple, pero tiene resultados potenciales limitados, porque solo funciona potencialmente bien cuando la ecuación cuadrática tiene raíces muy simples:

¿cuáles son los pasos para resolver ecuaciones cuadráticas por factorización?

• Paso 1: Identifique la ecuación cuadrática que desea resolver y simplifique en su forma ax² + bx + c = 0
• Paso 2: Investiga los coeficientes a y c. Si no son enteros, sus cambios de "adivinar" los factores son nulos
• Paso 3: Si los coeficientes a y c son enteros, encuentre sus divisores enteros a ₁ , a ₂ , ...., y C ₁ , C ₂ ,... etc. Intentarás adivinar una solución de la ecuación probando las fracciones de la forma c _i /a _k
• Paso 4: Encontrar raíces r₁ y r₂ con este método conducirá a una factorización de la forma ax² + bx + c = a(x - r₁)(x - r₂) = 0

La limitación de este método es que es posible que no pueda adivinar las soluciones, ya que las soluciones pueden no ser racionales. En otras palabras, no hay un simple fórmula para factorizar , prefieres seguir un proceso de adivinanzas.

Ahora bien, independientemente de sus limitaciones, la resolución de ecuaciones cuadráticas con factorización es una buena y rápida alternativa cuando las raíces de la ecuación son muy sencillas.

¿por qué se preocuparía por factorizar fracciones cuadráticas?

La factorización juega un papel muy importante en diferentes contextos y, en última instancia, resolver una ecuación cuadrática general se basa en un proceso de factorización sofisticado y elegante.

Muchas veces utilizará la factorización dentro de una ecuación no necesariamente para resolver la ecuación, sino para agrupar términos.

Ejemplo: factorización de ecuaciones cuadráticas

Resuelve la siguiente ecuación factorizando \(4x^2 + 4x + 1 = 0\)

Solución:

Necesitamos tratar de resolver la siguiente ecuación cuadrática dada \(\displaystyle 4x^2+4x+1=0\) por factorización.

En este caso, tenemos que la ecuación que debemos tratar de factorizar es \(\displaystyle 4x^2+4x+1 = 0\), lo que implica que los coeficientes correspondientes son:

\[a = 4\] \[b = 4\] \[c = 1\]

Ahora, necesitamos encontrar los números enteros que dividen \(a\) y \(c\), que se utilizarán para construir nuestros candidatos a factores.

Los divisores de \(a = 4\) son: \(\pm 1,\pm 2,\pm 4\).

Los divisores de \(c = 1\) son: \(\pm 1\).

Por tanto, dividiendo cada divisor de \(c = 1\) por cada divisor de \(a = 4\), encontramos la siguiente lista de candidatos a factores:

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 1}{ 2},\pm \frac{ 1}{ 4}\]

Ahora, todos los candidatos necesitan ser probados para ver si son una solución. De la prueba de cada candidato se obtiene lo siguiente:

\[\begin{array}{cccccccc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle 4 \left(-1\right)^2+4 \left(-1\right)+1 & = & \displaystyle 1 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 4 \left(1\right)^2+4 \left(1\right)+1 & = & \displaystyle 9 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{2} &:&    & \displaystyle 4 \left(-\frac{1}{2}\right)^2+4 \left(-\frac{1}{2}\right)+1 & = & \displaystyle 0 = 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{2} &:&    & \displaystyle 4 \left(\frac{1}{2}\right)^2+4 \left(\frac{1}{2}\right)+1 & = & \displaystyle 4 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{4} &:&    & \displaystyle 4 \left(-\frac{1}{4}\right)^2+4 \left(-\frac{1}{4}\right)+1 & = & \displaystyle \frac{1}{4} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{4} &:&    & \displaystyle 4 \left(\frac{1}{4}\right)^2+4 \left(\frac{1}{4}\right)+1 & = & \displaystyle \frac{9}{4} \ne 0 \\\\ \end{array}\]

Entonces, solo uno de los candidatos, \(x = \displaystyle -\frac{1}{2}\) resulta ser una raíz, entonces tenemos que la ecuación cuadrática dada se puede factorizar como \( 4 \left(x+\frac{1}{2}\right)^2 = 0\).

Ejemplo: resolver ecuaciones cuadráticas por factorización

Resuelva la siguiente ecuación cuadrática factorizando \(x^2 + 5x + 6 = 0\)

Solución: Necesitamos tratar de factorizar \(\displaystyle x^2+5x+6 = 0\), entonces los coeficientes correspondientes son:

\[a = 1\] \[b = 5\] \[c = 6\]

Ahora, necesitamos encontrar los números enteros que dividen \(a\) y \(c\), que se utilizarán para construir nuestros candidatos a factores.

Los divisores de \(a = 1\) son: \(\pm 1\).

Los divisores de \(c = 6\) son: \(\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6\).

Por tanto, dividiendo cada divisor de \(c = 6\) por cada divisor de \(a = 1\), encontramos la siguiente lista de candidatos a factores:

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 2}{ 1},\pm \frac{ 3}{ 1},\pm \frac{ 6}{ 1}\]

Ahora, todos los candidatos necesitan ser probados para ver si son una solución. De la prueba de cada candidato se obtiene lo siguiente:

\[\begin{array}{cccccccc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle 1 \left(-1\right)^2+5 \left(-1\right)+6 & = & \displaystyle 2 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 1 \left(1\right)^2+5 \left(1\right)+6 & = & \displaystyle 12 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -2 &:&    & \displaystyle 1 \left(-2\right)^2+5 \left(-2\right)+6 & = & \displaystyle 0 = 0 \\\\ x & = & \displaystyle 2 &:&    & \displaystyle 1 \left(2\right)^2+5 \left(2\right)+6 & = & \displaystyle 20 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -3 &:&    & \displaystyle 1 \left(-3\right)^2+5 \left(-3\right)+6 & = & \displaystyle 0 = 0 \\\\ x & = & \displaystyle 3 &:&    & \displaystyle 1 \left(3\right)^2+5 \left(3\right)+6 & = & \displaystyle 30 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -6 &:&    & \displaystyle 1 \left(-6\right)^2+5 \left(-6\right)+6 & = & \displaystyle 12 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 6 &:&    & \displaystyle 1 \left(6\right)^2+5 \left(6\right)+6 & = & \displaystyle 72 \ne 0 \\\\ \end{array}\]

Entonces, dos de los candidatos resultan ser raíces, \(x_1 = \displaystyle -2\) y \(x = \displaystyle -3\), entonces hemos encontrado nuestras soluciones y podemos factorizar la ecuación dada como \( \displaystyle \left(x+2\right)\left(x+3\right) = 0\).

Otras calculadoras cuadráticas útiles

El Fórmula cuadrática es realmente uno de los más importantes en Álgebra básica, y tiene aplicaciones en muchos contextos. Es posible que desee calcular una ecuación cuadrática , es posible que desee expresarlo en Forma de vértice , hay muchas posibilidades.

Hay muchos elementos que están todos unidos, como el ecuación cuadrática discriminante , o el eje de simetría de una parábola . Todos esos elementos están estrechamente relacionados y juegan un papel importante juntos.