Acerca de las funciones cuadráticas y esta calculadora

Esta calculadora te permitirá simplificar y graficar cualquier función cuadrática. Todo lo que necesita para proporcionar una función cuadrática válida en x.

Podría ser algo que ya esté simplificado, como f(x) = 2x^2 + 3x +1, o podría ser algo que no esté completamente simplificado, como , siempre que sea válido función cuadrática

Una vez que se proporcione una función cuadrática válida, haga clic en "Calcular" para ver los resultados.

Las funciones cuadráticas son muy importantes en matemáticas y, de hecho, se encuentran entre las funciones más utilizadas en álgebra básica. Sus propiedades son realmente intuitivas desde un punto de vista geométrico.

¿qué es una función cuadrática?

Una función cuadrática univariante es una función donde la variable aparece con una potencia de 2, posiblemente multiplicada por un coeficiente, más posiblemente términos de orden inferior. La fórmula cuadrática es:

\[f(x) = a x^2 + b x + c \]

donde \(a\), \(b\) y \(c\) son constantes, y \(x\) es la variable de la función.

Gráficamente, todas las funciones cuadráticas son parábolas, que abren hacia arriba para a > 0 y abren hacia abajo para a < 0. La parábola descrita por la función \(f(x) = a x^2 + b x + c \) será simétrica alrededor de la línea vertical \(x_V = \displaystyle -\frac{b}{2a}\), que es llamó al Eje de simetria .

Pasos para resolver una función cuadrática

• Paso 1: Identifique la función cuadrática con la que desea trabajar y simplifique si es necesario hasta que tenga la forma \(f(x) = a x^2 + b x + c \)
• Paso 2: El Ecuación cuadrática asociada a la función cuadrática dada es \(f(x) = a x^2 + b x + c = 0\)
• Paso 3: Esta ecuación tiene 2 raíces en general. Pueden ser raíces complejas reales o conjugadas. Hay un caso especial con una sola raíz real, en cuyo caso decimos que las raíces son repetido
• Paso 4: puede intentar encontrar las raíces adivinando, probando posibles candidatos racionales
• Paso 5: Si las raíces no se pueden encontrar fácilmente adivinando, siempre puedes usar el general Fórmula cuadrática : \(x = \displaystyle \frac{-b \pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)

Los tipos de raíces que obtendrá dependen en gran medida de la calculo del discriminante , que es \(\Delta = b^2 - 4ac\).

De hecho, para un discriminante positivo \(\Delta = b^2 - 4ac > 0\), habrá dos raíces reales. Gráficamente, esto indica que la parábola cruza el eje x en dos puntos diferentes

Cuando el discriminante es cero, \(\Delta = b^2 - 4ac = 0\), habrá una raíz real. Gráficamente, esto indica que la parábola toca el eje x en un solo punto

Para un discriminante negativo \(\Delta = b^2 - 4ac < 0\), habrá dos raíces complejas. Gráficamente, esto indica que la parábola no cruza el eje x

Función cuadrática en forma estándar

Aunque la forma cuadrática general es \(f(x) = a x^2 + b x + c \), y suele ser suficiente para saber todo lo que necesitamos sobre las propiedades de la función cuadrática, existen otras formas que son comunes.

Tenemos la función cuadrática en forma estándar, también conocida como Forma de vértice , cuando se escribe como

\[f(x) = a(x-h)^2 + k \]

Esto es particularmente útil porque el punto (h, k) corresponde al vértice.

¿cuáles son los pasos para obtener la forma estándar de una función cuadrática?

• Paso 1: Identifique claramente la función cuadrática que se le proporciona
• Paso 2: si aún no se proporciona en forma estándar, simplifique y póngalo en forma general primero \(f(x) = a x^2 + b x + c \)
• Paso 3: Una vez que lo tengas en forma general, solo tienes que completar el cuadrado para llegar a la forma estándar de la función cuadrática

El proceso de completar los cuadrados puede ser laborioso pero te llevará sistemáticamente a la forma estándar de la cuadrática.

¿por qué las funciones cuadráticas son tan importantes?

De hecho, las funciones cuadráticas son cruciales, ya que juegan un papel muy importante en una miríada de problemas de aplicación, incluida la maximización y minimización.

El centro de toda calculadora algebraica comienza con el poder de los números básicos de fracciones.

Ejemplo: forma estándar cuadrática

Encuentre la forma estándar para la siguiente función cuadrática: \(f(x) = 2x^2 + 2x - 1\)

Solución:

con lo que se concluye el cálculo.

Ejemplo: eje de simetría

Encuentre el eje de simetría para: \(f(x) = \frac{1}{3} x^2 + \frac{5}{4}x - \frac{5}{6}\)

Solución:

con lo que se concluye el cálculo.

Ejemplo: forma cuadrática y el vértice

Encuentra el vértice de la función cuadrática \( f(x) = \left(\frac{2}{3}(x - 2)^2 + \frac{2}{5} \).

Solución:

con lo que se concluye el cálculo.

Más calculadoras cuadráticas

Hay tantas cosas que puedes hacer con las funciones cuadráticas. Puedes encontrar el raíces de una ecuación cuadrática , puedes encuentra el vértice , y encuentre el eje de simetría. Una de las cosas que hacen que las funciones cuadráticas sean tan atractivas son sus propiedades geométricas altamente intuitivas.

Por graficar una función cuadrática también puedes decir mucho sobre sus raíces, vértice y eje de simetría.