Rechner für trigonometrische gleichungen
Anweisungen: Lösen Sie die von Ihnen angegebenen trigonometrischen Gleichungen mit Hilfe eines Rechners, der alle Schritte anzeigt. Bitte geben Sie die trigonometrische Gleichung, die Sie lösen möchten, in das unten stehende Feld ein.
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Mit diesem Rechner können Sie trigonometrische Gleichungen lösen, wobei alle Schritte des Weges angezeigt werden. Alles, was Sie tun müssen, ist, eine gültige trigonometrische Gleichung mit einer Unbekannten (x) anzugeben. Das kann etwas Einfaches sein wie "sin(x) = 1/2" oder etwas Komplexeres wie "sin^2(x) = cos(x) + tan(x)".
Wenn Sie mit der Eingabe Ihrer Gleichung fertig sind, klicken Sie einfach auf "Lösen", um alle Einzelheiten der Lösungsfindung zu erfahren, sofern Lösungen gefunden werden können.
Trigonometrische Eigenschaften und Regeln erlauben es fast immer, die meisten trigonometrischen Gleichungen in einfachere zu reduzieren, so dass diese Art von Gleichungen oft zu Lösungen führen, aber manchmal auch sehr mühsam sein können.
Was ist eine trigonometrische gleichung?
Eine trigonometrische Gleichung ist, vereinfacht ausgedrückt, eine mathematische Gleichung wobei die Unbekannte x innerhalb eines trigonometrischen Ausdrucks steht.
Der folgende Ausdruck ist zum Beispiel eine trigonometrische Gleichung:
\[\displaystyle \sin(x) = 1\]Warum? Ganz einfach, weil x innerhalb des trigonometrischen Ausdrucks Sinus erscheint. Oder zum Beispiel:
\[\displaystyle \tan(x) = x\]Bei beiden handelt es sich um trigonometrische Gleichungen, aber der Unterschied zwischen den beiden besteht darin, dass bei der ersten Gleichung x NUR innerhalb des Sinus erscheint, während bei der zweiten Gleichung x innerhalb einer trigonometrischen Funktion (Tangens) erscheint, aber auch außerhalb. Dies macht es normalerweise schwierig (oder unmöglich), die Gleichung zu lösen.
Wie man trigonometrische gleichungen löst
- Schritt 1: Vergewissern Sie sich, dass Sie es mit einer trigonometrischen Gleichung zu tun haben. Nicht-trigonometrische Gleichungen erfordern wahrscheinlich einen anderen Ansatz
- Schritt 2: Achten Sie darauf, dass das unbekannte x innerhalb der trigonometrischer Ausdruck , aber x erscheint nicht außerhalb eines trigonometrischen Ausdrucks. Wenn das der Fall ist, werden Sie die Gleichung wahrscheinlich nicht mit elementaren Methoden lösen können
- Schritt 3: Führen Sie eine geeignete Substitution durch, indem Sie zunächst alle trigonometrischen Funktionen in der Gleichung in einem Typ (normalerweise Sinus) ausdrücken und dann eine Substitution mit Sinus verwenden
- Schritt 4: Mit etwas Glück und der richtigen Substitution haben Sie die ursprüngliche trigonometrische Gleichung in eine polynomgleichung zu lösen .
Eine der wichtigsten trigonometrischen Regeln, die Sie verwenden müssen, ist die Fähigkeit, alle trigonometrischen Funktionen in Form einer beliebigen festen trigonometrischen Funktion auszudrücken. Zum Beispiel können wir den Kosinus als Sinus schreiben:
\[\displaystyle \cos(x) = \pm \sqrt{1 - \sin^2 x} \]Trigonometrische substitutionen
Die Verwendung trigonometrischer Identitäten und Substitutionen ist in diesem Fall der richtige Weg. Nehmen wir zum Beispiel an, Sie wollen diese Aufgabe lösen:
\[\displaystyle \sin x = \cos x \]Wir wissen also, dass es sich um eine trigonometrische Gleichung handelt, und wir wissen, dass wir den Kosinus als Sinus schreiben können, also tun wir dies:
\[\displaystyle \sin x = \pm \sqrt{1 - \sin^2 x} \]Was nun? Nun, wir können die Substitution verwenden: \(u = \sin x\), so dass die obige Gleichung wird:
\[\displaystyle u = \pm \sqrt{1 - u} \]die eine rationale Gleichung die durch die Verwendung einfacher algebraische Manipulation bedeutet, dass wir Folgendes tun müssen Ein Polynomgleung Lösen um die ursprüngliche trigonometrische Gleichung zu lösen.
Anwendung der trigonometrie
- Schritt 1: Alles, was mechanisch ist: Bei der Herstellung mechanischer Teile spielen Kreise und Trigonometrie eine entscheidende Rolle
- Schritt 2: Analyse von periodischen Funktionen: Viele Phänomene stehen in engem Zusammenhang mit der Periodizität, dem Punkt, an dem die Trigonometrie ins Spiel kommt
- Schritt 3: Fortgeschrittene Mathe: Mathematiker lieben ihre Fourier-Reihen und Transformationen, die in der Spektralanalyse eine entscheidende Rolle spielen
Kreise und ihre Symmetrie sind im wirklichen Leben sehr wichtig, und die Trigonometrie ist die Sprache, mit der wir Kreise und ihre Beziehungen quantifizieren können. Das Lösen trigonometrischer Gleichungen steht im Mittelpunkt der Mathematik.
Warum sollten sie trigonometrische gleichungen lösen?
Trigonometrische Gleichungen sind in der Praxis, insbesondere im Ingenieurwesen, von großem Wert. Bemerkenswerte Eigenschaften wie die Zeitraum und Häufigkeit ein breites Spektrum von Anwendungen eröffnen.
Kreisförmige Strukturen spielen eine entscheidende Rolle in allen mechanischen Geräten, die wir heute benutzen. Kreise sind ein Synonym für Trigonometrie, und trigonometrische Gleichungen stehen im Mittelpunkt.
Beispiel: lösen einfacher trigonometrischer gleichungen
Lösen: \(\sin(x) = \frac{1}{2}\)
Lösung:
Wir müssen die folgende trigonometrische Gleichung lösen:
\[\sin\left(x\right)=\frac{1}{2}\]Es ergibt sich folgendes Bild:
Durch direkte Anwendung der Eigenschaften der umgekehrten trigonometrischen Funktion \( \arcsin(\cdot)\) sowie der Eigenschaften der trigonometrischen Funktion \( \sin\left(x\right)\) ergibt sich, dass
\[x_1=\frac{5}{6}\pi{}+2\pi{}K_1 \text{ , for } K_1 \text{ an arbitrary integer constant}\] \[ = ... \, -\frac{7}{6}\pi{}, \, \,\, \frac{5}{6}\pi{}, \,\, \, \frac{17}{6}\pi{}, \, \, \, \frac{29}{6}\pi{} \, ...\]\[x_2=\frac{1}{6}\pi{}+2\pi{}K_2 \text{ , for } K_2 \text{ an arbitrary integer constant}\] \[ = ... \, -\frac{11}{6}\pi{}, \, \,\, \frac{1}{6}\pi{}, \,\, \, \frac{13}{6}\pi{}, \, \, \, \frac{25}{6}\pi{} \, ...\]
Daher führt die Lösung von \(x\) für die gegebene Gleichung zu den Lösungen \(x=\frac{5}{6}\pi{}+2\pi{}K_1,\,\,x=\frac{1}{6}\pi{}+2\pi{}K_2\), für \(K_1, K_2\) zu beliebigen ganzzahligen Konstanten.
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Unser trigonometrische Gleichung mit Stufen ist nützlich, wenn Sie mit Gleichungen mit einer bestimmten Struktur zu tun haben. Wenn Sie sich nicht sicher sind, mit welcher Art von Gleichung Sie es zu tun haben, können Sie unsere allgemeine gleichungslöser das die Struktur der gegebenen Gleichung herausfinden und einen geeigneten Ansatz finden wird.
Die Hauptschwierigkeit beim Lösen von Gleichungen, die nicht Lineare Gleisung oder Polynomielle Gleichung ist, dass es weder einen bestimmten Weg gibt, den man einschlagen muss, noch gibt es eine Garantie, dass man Lösungen findet.
In der Regel besteht die Strategie aus Ausdrücke vereinfachen wenn man das getan hat, ist man in der Regel im Nirgendwo gelandet, wo man alles ausprobieren muss, was einem geeignet erscheint.
Natürlich versucht man, die Gleichung auf eine einfachere Gleichung zu reduzieren, indem man eine Art Substitution und ein mehrstufiges Verfahren anwendet, bei dem man zunächst Lösungen für eine Hilfslösung findet, die KANDIDATEN für die ursprüngliche Gleichung liefert. Sie möchten eine Gleichung lösen Lineare Gleisung oder sogar eine Quadratische Gleisung aber vielleicht wird die Ermäßigung, die Sie erhalten, etwas weniger großzügig ausfallen.
