Polynomgleichungsrechner

Dieser Polynomgleichungslöser hilft Ihnen bei der Lösung von Polynomgleichungen, die Sie eingeben, wie z.B. '3x^2 - 2/3 x + 1/4 = 0', was eine einfache Quadratische Gleisung oder Polynomgleichungen höherer Ordnung wie "x^5 - x^2 + 1 = 0", usw.

Wenn Sie dem angegebenen Ausdruck kein Gleichheitszeichen "=" hinzufügen, fügt der Rechner automatisch ein " = 0" hinzu, um ihn in eine Gleichung umzuwandeln.

Sobald Sie eine gültige Polynomgleichung eingegeben haben, können Sie auf die Schaltfläche "Berechnen" klicken, woraufhin die Lösungen der Gleichung Schritt für Schritt berechnet werden.

Eine Polynomgleichung ist eine Art von Algebra-Gleichung und eine der einfachsten Arten, die von Lineare Gleiungen . Die Tatsache, dass Polynomgleichungen einfach sind, bedeutet nicht, dass sie EINFACH zu lösen sind, und in der Tat dauert es manchmal ziemlich lange, bis sie gelöst sind, wenn sie überhaupt gelöst werden können.

Wie kann ich ein polynom lösen?

Polynome sind zwar einfache Ausdrücke, aber das Lösen Polynomgleichungen kann sehr kompliziert sein, insbesondere für Polynomgrad größer als 2.

Bei quadratischen Gleichungen werden die Lösungen einfach mithilfe einer quadratischen Formel gefunden. Sicher, Sie denken vielleicht, dass es schwer ist, sich die Formeln einzuprägen, aber zumindest gibt es eine Formel.

Für kubische Gleichungen (3. Grad) und quartische Gleichungen (4. Grad) gibt es einige sehr ausgeklügelte Gleichungen, die jedoch keineswegs einfach zu verwenden oder zu merken sind. Für Polygleichungen vom 5. Grad und darüber gibt es keine Formel.

Das heißt aber nicht, dass wir nicht die Polynomwurzeln für diese Gleichungen, aber wir haben keine Formel dafür, und eine Formel gibt es nicht (falls es Sie interessiert, solche Schlussfolgerungen waren einer der wichtigsten Durchbrüche der modernen Mathematik im späten 18.

Schritte zum finden von lösungen für eine polynomgleichung

Es gibt eine Reihe von systematischen Schritten, die Sie befolgen können, um die besten Chancen zu haben, die Lösungen einer Polynomgleichung zu finden, aber seien Sie sich bewusst, dass Sie am Ende möglicherweise keine Lösungen finden, besonders bei Gleichungen höheren Grades.

• Schritt 1: Beachten Sie, dass es theoretisch \(n\) Lösungen für eine Polynomgleichung vom Grad \(n\) gibt. Aber diese Lösungen können reell oder komplex sein, und jenseits von Grad 4 gibt es keine Formel für sie
• Schritt 2: Versuchen Sie, die Terme des Polynoms zu faktorisieren. Setze alle Terme auf eine Seite der Gleichung und suche einen Weg, um den polynomialen Ausdruck faktorisieren . Durch Faktorisierung können Sie versuchen, Lösungen für jeden Faktor zu finden und das Problem auf niedrigere Grade zu reduzieren
• Schritt 3: Versuchen Sie zunächst, rationale/ganzzahlige Lösungen zu finden, indem Sie die Satz von der rationalen Null . Dies wird erreicht, indem ganzzahlige Faktoren des konstanten Terms gefunden und durch Faktoren des führenden Terms (der mit der höchsten Potenz) geteilt werden
• Schritt 4: Mit diesen rationalen Kandidaten testen Sie einen nach dem anderen (es könnten viele sein), in der Hoffnung, dass Sie Lösungen finden. Wenn Sie zufällig \(n\) Lösungen für eine Gleichung vom Grad \(n\) gefunden haben, dann sind Sie fertig
• Schritt 5: Wenn Sie eine oder mehrere rationale Wurzeln gefunden haben, aber nicht alle, konstruieren Sie eine Multiplikation der Terme \(x - \alpha\), wobei \(\alpha\) eine gefundene rationale Wurzel ist. Multiplizieren Sie diese Terme, bilden Sie ein Polynom und DIVISTIEREN Sie dann das Polynom der ursprünglichen Gleichung durch dieses Produkt aus den Termen \(x - \alpha\). Um die verbleibenden Wurzeln zu finden, müssen Sie die Wurzeln des Divisionsergebnisses finden (die einen niedrigeren Grad als das ursprüngliche Polynom haben werden).

Das hört sich schwierig an, und ehrlich gesagt, ist es das auch. Es ist ein mühsamer Prozess, der höchstwahrscheinlich viele Berechnungen erfordert. Deshalb sollten Sie einen gleichungsrechner die Ihnen die einzelnen Schritte aufzeigt, weil Sie dadurch viel Zeit sparen und die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers bei der Berechnung minimieren können.

Wie findet man die gleichung eines polynoms?

Die Lösung Polynomgleichungen ist definitiv keine triviale Aufgabe. Sie werden sie nicht allgemein lösen können, da es keine allgemeine Gleichung gibt, mit der ALLE Polynome gelöst werden können. Wir wissen jedoch aufgrund des Fundamentalsatzes der Algebra, dass es \(n\) Lösungen für eine Polynomgleichung vom Grad \(n\) gibt.

Wie der Name schon sagt, ist dieses Ergebnis eine große Leistung, weil es uns genau sagt, WIE VIELE Lösungen wir suchen. Wenn wir zum Beispiel die Gleichung \(x^4 = x^6\) haben, haben wir eine Gleichung vom Grad 6 (weil es die höchste polynomiale Potenz ist, die dort gefunden werden kann). Nach dem Fundamentalsatz der Algebra wissen wir also, dass es 6 Lösungen gibt.

Nun kann es knifflig werden, denn nicht alle Lösungen sind reell, einige könnten komplex sein, und einige könnten sich wiederholen. Wenn wir ein Polynom vom Grad \(n\) hätten, dann wüssten wir, dass es \(n\) Lösungen gibt, und eine weitere bemerkenswerte Sache, die dieser Satz aussagt, ist, dass der Polynomteil geschrieben werden kann als

\[\displaystyle p(x) = (x - \alpha_1) (x - \alpha_2) (x - \alpha_3) \cdot\cdot\cdot (x - \alpha_n) \]

wobei \(\alpha_1\), ..., \(\alpha_n\) die Lösungen sind. Es kann aber vorkommen, dass nicht alle Lösungen unterschiedlich sind. In der Tat könnten wir etwas haben wie

\[ p = (x - \alpha)^n\]

was bedeutet, dass alle n Lösungen gleich sind.

Wie lauten die regeln für polynome?

• Schritt 1: Polynome sind Linearkombinationen von Ausdrücken der Form \(x^k\)
• Schritt 2: Die Polynome, an denen wir interessiert sind, sind solche mit Termen \(x^k\), nur mit ganzen Zahlen \(k\)
• Schritt 3: Polynome sind eine einfache Art von Funktionen, die addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden können.

Beachten Sie, dass Polynomoperation sind nicht geschlossen. Beachten Sie, dass beim Addieren, Subtrahieren und Multiplizieren von Polynomen das Ergebnis immer ein Polynom ist. Bei der Division von Polynomen ist das Ergebnis jedoch nicht unbedingt ein Polynom, obwohl die Division und der Rest Polynome sind. Prüfen Sie die polynomialer langer Divisionsalgorithmus .

Was ist eine polynomgleichung und wie kann man sie lösen?

Eine Polynomgleichung ist, einfach ausgedrückt, eine mathematische Gleichung, bei der die Terme auf der linken und rechten Seite der Gleichung Polynome sind. Normalerweise werden diese Gleichungen mit einer Konstante auf der rechten Seite angegeben, aber das ist nicht immer der Fall.

Zum Beispiel ist \(x^2 + 3x = 2\) eine Polynomgleichung, weil die Terme auf beiden Seiten der Gleichung Polynome sind (die Konstante '2' ist ein Polynom der Ordnung 0).

Aber \(x^2 + \sin(x) = 2x\) ist KEINE Polynomgleichung, weil der Term auf der linken Seite kein Polynom ist (wegen des Terms \(\sin(x)\)).

Beispiel: berechnung der lösungen von polynomgleichungen

Berechnen Sie die Lösung von: \(x^2 = x^4\)

Lösung:

Wir müssen die folgende Polynomgleichung lösen:

\[x^2=x^4\]

Die Gleichung, die wir lösen müssen, hat nur eine Variable, nämlich \(x\), und das Ziel ist es, sie zu lösen.

Beachten Sie, dass der Grad des gegebenen Polynoms \(\displaystyle deg(p) = 4\) ist, sein führender Koeffizient \(\displaystyle a_{4} = -1\) und sein konstanter Koeffizient \(\displaystyle a_0 = 0\).

Da der erste Term mit einem Nicht-Null-Koeffizienten in \(p(x)\) \(x^2\) ist, können wir diesen Term herausrechnen und erhalten:

\[\displaystyle p(x) = -x^4+x^2 = x^2 \left(\displaystyle -x^2+1 \right) \]

aber der Term in Klammern hat den Grad 2, und wir müssen sehen, ob er weiter faktorisiert werden kann.

Wir müssen die folgende quadratische Gleichung \(\displaystyle -x^2+1=0\) lösen.

Für eine quadratische Gleichung der Form \(a x^2 + bx + c = 0\) werden die Wurzeln mit Hilfe der folgenden Formel berechnet:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

In diesem Fall ist die Gleichung, die wir lösen müssen, \(\displaystyle -x^2+1 = 0\), was bedeutet, dass die entsprechenden Koeffizienten sind:

\[a = -1\] \[b = 0\] \[c = 1\]

Erstens werden wir die Diskriminanz berechnen, um die Art der Wurzeln zu bewerten.Die Diskriminierung wird berechnet als:

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( 0\right)^2 - 4 \cdot \left(-1\right)\cdot \left(1\right) = 4\]

Da die Diskriminante in diesem Fall \(\Delta = \displaystyle 4 > 0\) ist, die positiv ist, wissen wir, dass die Gleichung zwei verschiedene reelle Wurzeln hat.

Stecken Sie diese Werte nun in die Formel für die Wurzeln, die wir erhalten:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{0 \pm \sqrt{\left(0\right)^2-4\left(-1\right)\left(1\right)}}{2\cdot -1} = \displaystyle \frac{0 \pm \sqrt{4}}{-2}\]

Also finden wir das:

\[ {x}_1 = \frac{0}{-2}-\frac{1}{-2}\sqrt{4}=\frac{0}{-2}-\left(-1\right)=1 \] \[{x}_2 = \frac{0}{-2}+\frac{1}{-2}\sqrt{4}=\frac{0}{-2}-1=-1\]

In diesem Fall hat die quadratische Gleichung \( \displaystyle -x^2+1 = 0 \) zwei reelle Wurzeln, also:

\[\displaystyle -x^2+1 = - \left(x-1\right)\left(x+1\right)\]

das ursprüngliche Polynom wird also als \(\displaystyle p(x) = -x^4+x^2 = - x^2 \left(x-1\right)\left(x+1\right) \) faktorisiert, womit die Faktorisierung abgeschlossen ist.

Schlussfolgerung : Daher ist die endgültige Faktorisierung, die wir erhalten,:

\[\displaystyle p(x) = -x^4+x^2 = - x^2\left(x-1\right)\left(x+1\right)\]

Die mit dem Faktorisierungsverfahren gefundenen Wurzeln sind \(0\), \(1\) und \(-1\) .

Andere nützliche gleichungsrechner

Gleichungslöser sind in der Mathematik sehr wichtig, da Gleichungen in der Regel die Verbindung zwischen verwandten Größen ausdrücken. Wenn man in der Lage ist, Gleichungen zu lösen, kann man einige spezielle Punkte aufdecken, die eine bestimmte Gleichheit erfüllen.

Allgemeine Taschenrechner sind schwierig zu realisieren, da unterschiedliche Gleichungsstrukturen unterschiedliche Lösungsstrategien erfordern. A rechner für trigonometrische Gleichungen wird in der Regel die Beziehung zwischen verschiedenen trigonometrischen Funktionen ausnutzen, um Lösungen zu finden, so wie es bei exponentialgleichungen und logarithmische Gleichungen haben ihre eigenen Ansätze, die auf Schlüsseleigenschaften von Exponenten bzw. Logarithmen beruhen. .

Die meisten Algebra-Probleme lassen sich darstellen, so dass wir durch das Lösen von Gleichungen den Schlüssel zu diesen Algebra-Problemen finden, jene speziellen Punkte, die bestimmte Eigenschaften von Interesse erfüllen.

Das Lösen von Gleichungen ist im Allgemeinen nicht einfach. Sie können bestimmte nützliche Strategien anwenden, wie z. B. das Umstellen von Gleichungen, Faktorisieren oder Ausdrücke vereinfachen . Aber letztendlich wird jede Art von Gleichung Ihnen eine Art von Struktur geben, die den Weg zu ihrer Lösung enthüllen wird

Bei radikalen Gleichungen beispielsweise müssen Sie auf jeden Fall den Term lösen, der eine Wurzel hat, und eine Potenz verwenden, um die Wurzel zu eliminieren und die Gleichung in eine Polynomgleichung umzuwandeln. Aber dieser Weg, der für eine radikale Gleichung perfekt funktioniert, kann zum Beispiel für eine trigonometrische Gleichung nicht funktionieren.