Algebraische gleichungen

Zweifellos sind Gleichungen eines der wichtigsten Elemente, auf die man in der Algebra achten muss. Mit diesem Rechner können Sie eine von Ihnen vorgegebene Algebra-Gleichung lösen, entweder linear oder nicht-linear

Alles, was Sie tun müssen, ist, den folgenden Text einzugeben oder einzufügen gleichung, die Sie lösen wollen und klicken Sie auf die Schaltfläche "Lösen", um alle Schritte der Lösung angezeigt zu bekommen.

Eine Warnung gleich vorweg: Nicht alle Algebra-Gleichungen sind leicht zu lösen, und einige von ihnen lassen sich überhaupt nicht lösen. Natürlich sind einige einfache Beispiele wie Lineare Gleiungen oder quadratische Gleisungen sind recht einfach, aber das war's auch schon.

Für alles, was nicht in diese Kategorien passt, gibt es einfach keine standardisierte/geradlinige Methode zur Lösung. Das bedeutet nicht, dass man sie NICHT lösen kann, es bedeutet nur, dass es keinen "Fahrplan" dafür gibt.

Was ist eine algebra-gleichung?

Eine Algebra-Gleichung, auch bekannt als algebraische Gleichung, ist ein Oberbegriff für die verschiedenen Arten von mathematischen Gleichungen, die man bei der Arbeit mit Algebra findet.

Sie reichen von trivialen linearen Gleichungen wie

\[\displaystyle \frac{1}{2} x + \frac{2}{3} = \frac{5}{6} \]

zu komplizierteren Gleichungen wie

\[\displaystyle \sin \left(\frac{1}{2} x^2 + x + 1 \right)= \frac{\sqrt{2}}{2} \]

für Gleichungen, die mit elementaren Methoden nicht gelöst werden können, wie z. B

\[\displaystyle x e^x = \sin x \]

Was sind die grundlegenden gleichungen/formeln der algebra?

Es gibt viele, vielleicht zu viele, um sie zu nennen:

• Schritt 1: Es gibt verschiedene Arten von Gleichungen, z. B. lineare, quadratische und polynomiale Gleichungen
• Schritt 2: Abgesehen von den Gleichungen (die nur für einige Werte von x gelten), gibt es verschiedene algebraische Identitäten, die für alle Werte gelten
• Schritt 3: Die grundlegenden Identitäten in der Algebra sind die Binomialerweiterung (a+b) ² = a ² + 2ab + b ² die Differenz der Quadrate: a ² - b ² = (a+b)(a-b), um nur einige zu nennen

Der große Unterschied zwischen Algebra-Gleichungen und Identitäten besteht darin, dass Identitäten Ausdrücke sind, die für alle Werte gelten, die man einsetzt, während Gleichungen nur für einige ausgewählte Werte gelten. Normalerweise werden Sie Identitäten verwenden, um Gleichungen zu lösen.

Was ist eine grundlegende algebra-gleichung?

Es gibt viele Arten der grundlegendsten Algebra-Gleichung: die lineare Gleichung. Zum Beispiel, für eine Variable, die Lineare Gleisung Ist:

\[\displaystyle a x + b = c \]

Beachten Sie, dass die linke Seite \(ax + b\) entspricht, die eine lineare Funktion ist. Diese Art von Funktion hat eine starke geometrische Interpretation, da sie eng mit einer geometrischen Linie verbunden ist, wobei \(a\) der Neigung und \(b\) zum Y-Abschnitt .

Welche anwendungen gibt es für algebra-gleichungen?

• Schritt 1: Algebraische Gleichungen kapseln die Beziehungen zwischen Variablen ein. Das Lösen einer Gleichung führt in der Regel zu einem sehr singulären Punkt im Zusammenspiel der Elemente
• Schritt 2: Durch die Verwendung von Gleichungen können wir Dinge quantifizieren und gezielt über Variablen sprechen
• Schritt 3: Gleichungen sind in der Regel der Schlüssel zu großen Dingen: Punkte des Gleichgewichts, Punkte des maximalen Gewinns, Punkte des geringsten Widerstands, usw.

Deshalb wollen wir Gleichungen haben. Ein kleines Problem ist, dass Gleichungen schwer zu lösen sein können. Die Verwendung einer Gleichungslöser mit Schritten kann sich als entscheidend erweisen, wenn es darum geht, die schwierigeren Gleichungen zu lösen, die wir unweigerlich finden werden.

Was ist die beliebteste gleichung in der algebra?

Das hängt davon ab, wer fragt. Für manche ist die beliebteste Gleichung die einfachste, die zweifellos die lineare Gleichung ist. Aber wenn Sie einen Mathematiker fragen, wird er Ihnen etwas anderes sagen.

Einige Puristen werden Ihnen sagen, dass dies die beliebteste Formel in der Algebra ist:

\[\displaystyle e^{-i \pi} + 1 = 0 \]

weil er ALLE wichtigen mathematischen Symbole verwendet. Standpunkte, hm?

Beispiel: lineare gleichungen

Lösen Sie die folgende lineare Gleichung: \(2x + 3y = \frac{1}{6}\)

Lösung: Wir müssen die folgende lineare Gleichung lösen:

\[2x+3y=\frac{1}{6}\]

Die lineare Gleichung hat zwei Variablen, nämlich \(x\) und \(x\), so dass das Ziel darin besteht, \(x\) zu lösen.

Setzt man \(y\) auf die linke Seite und \(x\) und die Konstante auf die rechte Seite, erhält man

\[\displaystyle 3y = -2x + \frac{1}{6}\]

Löst man nun \(y\), indem man beide Seiten der Gleichung durch \(3\) dividiert, erhält man folgendes

\[\displaystyle y=-\frac{2}{3}x+\frac{\frac{1}{6}}{3}\]

und vereinfachen wir endlich die folgenden

\[\displaystyle y=-\frac{2}{3}x+\frac{1}{18}\]

Daher führt die Lösung von \(x\) für die gegebene lineare Gleichung zu \(y=-\frac{2}{3}x+\frac{1}{18}\).

Beispiel: quadratische gleichungen

Lösen Sie die folgende quadratische Gleichung auf: \(2x^2 + \frac{5}{4}x - \frac{1}{6} = 0\)

Lösung: Wir müssen die folgende Polynomgleichung lösen:

\[2x^2+\frac{5}{4}x-\frac{1}{6}=0\]

Die Gleichung, die wir lösen müssen, hat nur eine Variable, nämlich \(x\), und das Ziel ist es, sie zu lösen.

Beachten Sie, dass der Grad des gegebenen Polynoms \(\displaystyle deg(p) = 2\) ist, sein führender Koeffizient \(\displaystyle a_{2} = 2\) und sein konstanter Koeffizient \(\displaystyle a_0 = -\frac{1}{6}\).

Wir müssen die folgende quadratische Gleichung \(\displaystyle 2x^2+\frac{5}{4}x-\frac{1}{6}=0\) lösen.

Verwenden der quadratischen formel

Für eine quadratische Gleichung der Form \(a x^2 + bx + c = 0\) werden die Wurzeln mit Hilfe der folgenden Formel berechnet:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

In diesem Fall ist die Gleichung, die wir lösen müssen, \(\displaystyle 2x^2+\frac{5}{4}x-\frac{1}{6} = 0\), was bedeutet, dass die entsprechenden Koeffizienten sind:

\[a = 2\] \[b = \frac{5}{4}\] \[c = -\frac{1}{6}\]

Erstens werden wir die Diskriminanz berechnen, um die Art der Wurzeln zu bewerten.Die Diskriminierung wird berechnet als:

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( \frac{5}{4}\right)^2 - 4 \cdot \left(2\right)\cdot \left(-\frac{1}{6}\right) = \frac{139}{48}\]

Da die Diskriminante in diesem Fall \(\Delta = \displaystyle \frac{139}{48} > 0\) ist, die positiv ist, wissen wir, dass die Gleichung zwei verschiedene reelle Wurzeln hat.

Stecken Sie diese Werte nun in die Formel für die Wurzeln, die wir erhalten:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{-\frac{5}{4} \pm \sqrt{\left(\frac{5}{4}\right)^2-4\left(2\right)\left(-\frac{1}{6}\right)}}{2\cdot 2} = \displaystyle \frac{-\frac{5}{4} \pm \sqrt{\frac{139}{48}}}{4}\]

Also finden wir das:

\[ {x}_1 = -\frac{\frac{5}{4}}{4}-\frac{1}{4}\sqrt{\frac{139}{48}}=\frac{-5}{4\cdot 4}-\frac{1}{4}\sqrt{\frac{139}{48}}=-\frac{5}{16}-\frac{1}{4}\sqrt{\frac{139}{48}}=-\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}-\frac{5}{16} \] \[{x}_2 = -\frac{\frac{5}{4}}{4}+\frac{1}{4}\sqrt{\frac{139}{48}}=\frac{-5}{4\cdot 4}+\frac{1}{4}\sqrt{\frac{139}{48}}=-\frac{5}{16}+\frac{1}{4}\sqrt{\frac{139}{48}}=\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}-\frac{5}{16}\]

In diesem Fall hat die quadratische Gleichung \( \displaystyle 2x^2+\frac{5}{4}x-\frac{1}{6} = 0 \) zwei reelle Wurzeln, also:

\[\displaystyle 2x^2+\frac{5}{4}x-\frac{1}{6} = 2 \left(x+\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}+\frac{5}{16}\right)\left(x-\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}+\frac{5}{16}\right)\]

das ursprüngliche Polynom wird also als \(\displaystyle p(x) = 2x^2+\frac{5}{4}x-\frac{1}{6} = 2 \left(x+\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}+\frac{5}{16}\right)\left(x-\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}+\frac{5}{16}\right) \) faktorisiert, womit die Faktorisierung abgeschlossen ist.

Schlussfolgerung : Daher ist die endgültige Faktorisierung, die wir erhalten,:

\[\displaystyle p(x) = 2x^2+\frac{5}{4}x-\frac{1}{6} = 2 \left(x+\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}+\frac{5}{16}\right)\left(x-\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}+\frac{5}{16}\right)\]

Die mit dem Faktorisierungsverfahren gefundenen Wurzeln sind \(-\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}-\frac{5}{16}\) und \(\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}-\frac{5}{16}\) .

Daher führt die Lösung von \(x\) für die gegebene Polynomgleichung zu den Lösungen \(x = \, \)\(-\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}-\frac{5}{16}\), \(\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}-\frac{5}{16}\), unter Verwendung von Faktorisierungsmathoden.

Andere nützliche gleichungsrechner rechner

Lineare Gleichungen sind bei weitem die einfachsten. Sie werden viel mehr Schwierigkeiten finden lösen trigonometrischer Gleichungen oder eine beliebige nichtlineare Gleichung, die nicht eine Polynomielle Gleichung auch wenn Polynomgleichungen immer noch sehr schwer zu lösen sein können.

Sie werden lernen, dass verschiedene Arten von Gleichungen unterschiedlichen Regeln folgen. Sie können zum Beispiel eine exponentialgleichungs-Rechner die Eigenschaften von Exponenten zu nutzen, um bestimmte Gleichungen zu lösen.

Das Gleiche gilt, wenn Sie versuchen eine logarithmische Gleichung lösen wobei bestimmte Strukturen der logarithmischen Funktion das Lösen der Gleichung erleichtern werden.