Polynomabteilung

Dieser Taschenrechner führt eine Polynomabteilung für Sie durch und Sie müssen nur zwei gültige Polynome bereitstellen.Die Reihenfolge, in der diese Polynome angegeben sind Nicht Kommutativ (Dann ist P (x)/S (x) nicht dasselbe wie S (x)/P (x)).

Das erste Polynom, das Sie oft als Dividende bezeichnen, entspricht der Dividende, und das zweite Polynom ist das, nach dem Sie sich teilen, der normalerweise als Divisor bezeichnet wird.

Beispiele für gültige Polynome sind p (x) = x^4 + 3x^3 - 2 und s (x) = x - 3, aber die Polynomkoeffizienten müssen keine Ganzzahlen sein, da sie Fraktionen oder jede Art von Art von sein könnenGültiger numerischer Ausdruck.Außerdem müssen die Polynome nicht vereinfacht werden.Bei Bedarf führt der Taschenrechner a durch Polynomvereinfachung Vor der Teilen.

Sobald Sie die gültigen Polynome zur Verfügung gestellt haben, sind Sie alle festgelegt.Alles, was zu tun ist, ist auf "Berechnen" zu klicken, damit Sie alle angezeigten Schritte des Prozesses erhalten können.

Wie man polynome teilt

Die Polynomabteilung ist etwas komplizierter als die teilenden Zahlen.Wenn wir beispielsweise zwei Zahlen wie '4 geteilt durch 2' teilen, machen wir 4/2 = 2. Es ist also einfach, oder?

Aber es ist nicht immer so einfach, weil wir so etwas wie '7/2' haben können.Sie können sagen: "Nun, 7/2 = 3,5" und Sie wären richtig, aber eine andere Art zu sehen ist zu sagen, dass "7 geteilt durch 2 3 ist, mit einem Rest von 1".Warum?Weil es keine Ganzzahl gibt, so dass sich multipliziert mit 2 erreicht 7. Das nächste ist 3, so dass \(2 \cdot 3 = 6\), aber ich einen Rest von 1 habe

Genau die gleiche Idee gilt für die Polynomabteilung.Bei einem Polynom \(p(x)\) und einem Divisor \(s(x)\) werden wir Mitten einen Quotienten zu finden \(q(x)\) so dass das

\[\displaystyle p(x) = s(x) \cdot q(x)\]

Aber wir werden es nicht immer in der gleichen Weise wie für '7/2' konnten, konnten wir keine genaue Abteilung finden.Dann werden wir den Rest identifizieren \(r(x)\), das das Polynom ist, das ausmacht, wie viel \(s(x) \cdot q(x)\) "vermisst" beim Ziel auf P (x).Also schreiben wir

\[\displaystyle p(x) = s(x) \cdot q(x) + r(x)\]

Idealerweise möchten wir, dass \(r(x)\) Null ist, und wenn nicht, möchten wir, dass es so klein wie möglich ist.Der Algorithmus von Euklid zeigt uns, wie wir das kleinstmögliche \(r(x)\) finden können. Wenn die Dinge richtig gehen, könnte es Null sein. In diesem Fall sagen wir, dass der Divisor \(s(x)\) das Polynom \(p(x)\) teilt.

Was sind die schritte der polynomabteilung?

• Schritt 1: Identifizieren Sie die Dividende P (x) und den Divisor S (x).Stellen Sie sicher, dass Sie sie so weit wie möglich vereinfachen, bevor Sie fortfahren
• Schritt 2: Wenn der Grad von s (x) größer ist als der Grad von P (x) , Stop, in diesem Fall ist der Quotient Null und der Rest P (x)
• Schritt 3: Wenn Sie in Schritt 2 nicht aufgehalten haben, beachten Sie die führende Begriff des Divisors und die führende Begriff der Dividende
• Schritt 4: Finden Sie die Trennung zwischen den führenden Begriffen des Dividendens und des Divisors (dies wird so interpretiert, welchen Begriff Sie benötigen, um den führenden Begriff des Divisors zu multiplizieren, um zum führenden Begriff der Dividende zu gelangen), und dies wird der aktuelle Faktor sein, der wird werdenzum aktuellen Quotienten hinzugefügt werden
• Schritt 5: Multiplizieren Sie den aktuellen Faktor mit dem Divisor und dem Ergebnis, subtrahieren Sie ihn mit der Dividende und schaffen Sie eine neue aktuelle Dividende
• Schritt 6: Wiederholen Sie diesen Vorgang, bis die aktuelle Dividende einen Grad hat, der weniger als der Divisor ist.Dann stoppen Sie, Ihr aktueller Divisor wird Ihr Rest sein

Dieser Prozess funktioniert garantiert, da die derzeitige Dividende in jedem Schritt zumindest um eins um einen verringert wird.Klug, huh?.

Welche methode zu verwenden, lange teilung oder synthetische teilung?

Die synthetische Aufteilung wird in dem Sonderfall verwendet, dass der Divisor einen Abschluss hat.Zum Beispiel s (x) = x - 1, aber es würde nicht für s (x) = x^2 - 1 funktionieren, obwohl es Versionen der gibt Synthetischer Abteilung Algorithmus für höhere Grad.Die synthetische Aufteilung ist typischerweise auf Divisors von Grad 1 beschränkt Synthetische Substitution und die Restsatz Es macht Sinn.

Lange Division wird in den meisten Fällen auftreten, wenn die synthetische Aufteilung nicht anwendbar ist.Beachten Sie, dass die synthetische Teilung eine lange Divisionsmethode verwendet, nur dass sie als super schnell angepasst ist. Deshalb ist sie nach Möglichkeit die bevorzugte Art und Weise.

Wie kann ich die polynomabteilung verwenden, um polynomgleichungen zu lösen?

• Schritt 1: Identifizieren Sie Ihre Polynomgleichung und stellen Sie sicher, dass jede Seite der Gleichung tatsächlich ein gültiges Polynom ist
• Schritt 2: Geben Sie alle Begriffe auf einer Seite zur anderen Seite, indem Sie die Zeichen ändern
• Schritt 3: Gruppieren Sie alle Begriffe auf der einen Seite und vereinfachen Sie
• Schritt 4: Jetzt haben Sie eine Polynomgleichung, in der eine Seite ein Polynom ist, und die andere Seite ist 0
• Schritt 5: Zuerst versuchen Sie es mit dem Rationaler Wurzel Theorem zu versuchen, einfache Wurzeln zu finden
• Schritt 6: Gruppieren Sie die einfachen Wurzeln, erstellen Sie entsprechende lineare Begriffe zugeordnet (z. B. wenn x = 1 eine Lösung ist, bilden Sie den Begriff x - 1), multiplizieren Sie sie und teilen Sie das Polynom dadurch.Auf diese Weise erhalten Sie einen Quotienten von geringerer Ordnung
• Schritt 7: Wiederholen Sie die Schritte mit dem Quotienten der in den vorherigen Schritten gefundenen niedrigeren Ordnung

Wie Sie sehen können, gibt es keine Verknüpfungen oder magischen Formeln für Fundkolynomen der Wurzeln von Polynomen .Es gibt jedoch ein systematisches Verfahren, das Ihre Chancen erhöhen kann, die Wurzeln so leicht wie möglich zu finden.

Warum sollte es sich darum kümmern, polynome zu teilen?

Gerade weil die Polynomabteilung Ihr Schlüssel ist Wurzeln zu Polynomgleichungen Finden , die eines der zentralen Themen der Algebra sind.

Beispiel: berechnung der polynomabteilung

Berechnen Sie die folgende Teilung: \(\frac{3x^3+3x+3}{3x+1}\)

Lösung: In diesem Fall aus der Abteilung, vorausgesetzt, wir haben die Dividende \(\displaystyle p(x) = 3x^3+3x+3\) und der Divisor ist \(\displaystyle s(x) = 3x+1\).

In diesem Fall ist der Grad der Dividende \(\displaystyle deg(p) = 3\), während der Grad des Divisors \(\displaystyle deg(s)) = 1\) ist.

Schritt 1: Der führende Begriff der Dividende \(\displaystyle p(x) = 3x^3+3x+3\) ist \(\displaystyle 3x^3\), während der führende Begriff für den Divisor \(\displaystyle s(x) = 3x+1\) gleich \(\displaystyle 3x\) entspricht.

Der Begriff, den wir also mit \(3x\) multiplizieren müssen, um zum führenden Begriff der Dividende zu gelangen, lautet \(\displaystyle \frac{ 3x^3}{ 3x} = x^2\), also fügen wir diesen Begriff dem Quotienten hinzu.Außerdem multiplizieren wir dies mit dem Divisor, um \(\displaystyle x^2 \cdot \left(3x+1\right) = 3x^3+x^2\) zu erhalten, was wir an die Dividende subtrahieren müssen:

\[\begin{array}{rcccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle & \displaystyle &\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle 3x^3 & \displaystyle & \displaystyle +3x & \displaystyle +3\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -3x^3 & \displaystyle -x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -x^2 & \displaystyle +3x & \displaystyle +3\\[0.8em] \end{array}\]

Schritt 2: Jetzt ist der führende Begriff des aktuellen Restes \(\displaystyle -x^2+3x+3\) \(\displaystyle x^2\) und wir wissen, dass der führende Begriff für den Divisor \(\displaystyle 3x\) ist.

Der Begriff, den wir also mit \(3x\) multiplizieren müssen, um zum führenden Begriff des aktuellen Restes zu gelangen, lautet \(\displaystyle \frac{ -1x^2}{ 3x} = -\frac{1}{3}x\), also fügen wir diesen Begriff dem Quotienten hinzu.Außerdem multiplizieren wir dies mit dem Divisor, um \(\displaystyle -\frac{1}{3}x \cdot \left(3x+1\right) = -x^2-\frac{1}{3}x\) zu erhalten, was wir mit der aktuellen Erinnerung subtrahieren müssen:

\[\begin{array}{rcccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle -\frac{1}{3}x & \displaystyle &\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle 3x^3 & \displaystyle & \displaystyle +3x & \displaystyle +3\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -3x^3 & \displaystyle -x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -x^2 & \displaystyle +3x & \displaystyle +3\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle x^2 & \displaystyle +\frac{1}{3}x & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{10}{3}x & \displaystyle +3\\[0.8em] \end{array}\]

Schritt 3: Jetzt ist der führende Begriff des aktuellen Restes \(\displaystyle \frac{10}{3}x+3\) \(\displaystyle \frac{10}{3}x\) und wir wissen, dass der führende Begriff für den Divisor \(\displaystyle 3x\) ist.

Der Begriff, den wir also mit \(3x\) multiplizieren müssen, um zum führenden Begriff des aktuellen Restes zu gelangen, lautet \(\displaystyle \frac{ \frac{10}{3}x}{ 3x} = \frac{10}{9}\), also fügen wir diesen Begriff dem Quotienten hinzu.Außerdem multiplizieren wir dies mit dem Divisor, um \(\displaystyle \frac{10}{9} \cdot \left(3x+1\right) = \frac{10}{3}x+\frac{10}{9}\) zu erhalten, was wir mit der aktuellen Erinnerung subtrahieren müssen:

\[\begin{array}{rcccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle -\frac{1}{3}x & \displaystyle +\frac{10}{9}&\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle 3x^3 & \displaystyle & \displaystyle +3x & \displaystyle +3\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -3x^3 & \displaystyle -x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -x^2 & \displaystyle +3x & \displaystyle +3\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle x^2 & \displaystyle +\frac{1}{3}x & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{10}{3}x & \displaystyle +3\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{3}x & \displaystyle -\frac{10}{9}\\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{17}{9}\\[0.8em] \end{array}\]

was folglich den Prozess beendet.

Fazit: Daher schließen wir, dass für die gegebene Dividende \(\displaystyle p(x) = 3x^3+3x+3\) und Divisor \(\displaystyle s(x) = 3x+1\) erhalten wir, dass der Quotient \(\displaystyle q(x) = x^2-\frac{1}{3}x+\frac{10}{9}\) und der Rest \(\displaystyle r(x) = \frac{17}{9}\) und das ist und das ist

\[\displaystyle \frac{p(x)}{s(x)} = \frac{3x^3+3x+3}{3x+1} = x^2-\frac{1}{3}x+\frac{10}{9} + \frac{\frac{17}{9}}{3x+1}\]

Beispiel: eine weitere aufteilung von polynomen

Berechnen Sie die Teilung der Dividende \(\frac{1}{3} x^4 - x^3 + 2x - \frac{5}{6}\) und Divisor \(s(x) = 3x+1\)

Lösung: In diesem Fall wurden wir bereitgestellt: \(\displaystyle p(x) = \frac{1}{3}x^4-x^3+2x-\frac{5}{6}\), was durch das Polynom geteilt werden muss \(\displaystyle s(x) = 3x+1\).

Jetzt ist der Grad der Dividende \(\displaystyle deg(p) = 4\) und der Grad des Divisors ist \(\displaystyle deg(s)) = 1\).

Schritt 1: Der führende Begriff der Dividende \(\displaystyle p(x) = \frac{1}{3}x^4-x^3+2x-\frac{5}{6}\) ist \(\displaystyle \frac{1}{3}x^4\), während der führende Begriff für den Divisor \(\displaystyle s(x) = 3x+1\) gleich \(\displaystyle 3x\) entspricht.

Der Begriff, den wir also mit \(3x\) multiplizieren müssen, um zum führenden Begriff der Dividende zu gelangen, lautet \(\displaystyle \frac{ \frac{1}{3}x^4}{ 3x} = \frac{1}{9}x^3\), also fügen wir diesen Begriff dem Quotienten hinzu.Außerdem multiplizieren wir dies mit dem Divisor, um \(\displaystyle \frac{1}{9}x^3 \cdot \left(3x+1\right) = \frac{1}{3}x^4+\frac{1}{9}x^3\) zu erhalten, was wir an die Dividende subtrahieren müssen:

\[\begin{array}{rccccc} &\displaystyle \frac{1}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle &\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle \frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -\frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -\frac{1}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \end{array}\]

Schritt 2: In diesem Fall ist der führende Begriff des aktuellen Restes \(\displaystyle -\frac{10}{9}x^3+2x-\frac{5}{6}\) \(\displaystyle -\frac{10}{9}x^3\) und wir wissen, dass der führende Begriff für den Divisor \(\displaystyle 3x\) ist.

Der Begriff, den wir also mit \(3x\) multiplizieren müssen, um zum führenden Begriff des aktuellen Restes zu gelangen, lautet \(\displaystyle \frac{ -\frac{10}{9}x^3}{ 3x} = -\frac{10}{27}x^2\), also fügen wir diesen Begriff dem Quotienten hinzu.Außerdem multiplizieren wir dies mit dem Divisor, um \(\displaystyle -\frac{10}{27}x^2 \cdot \left(3x+1\right) = -\frac{10}{9}x^3-\frac{10}{27}x^2\) zu erhalten, was wir mit der aktuellen Erinnerung subtrahieren müssen:

\[\begin{array}{rccccc} &\displaystyle \frac{1}{9}x^3 & \displaystyle -\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle & \displaystyle &\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle \frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -\frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -\frac{1}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle \frac{10}{9}x^3 & \displaystyle +\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{10}{27}x^2 & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \end{array}\]

Schritt 3: In diesem Fall ist der führende Begriff des aktuellen Restes \(\displaystyle \frac{10}{27}x^2+2x-\frac{5}{6}\) \(\displaystyle \frac{10}{27}x^2\) und wir wissen, dass der führende Begriff für den Divisor \(\displaystyle 3x\) ist.

Der Begriff, den wir also mit \(3x\) multiplizieren müssen, um zum führenden Begriff des aktuellen Restes zu gelangen, lautet \(\displaystyle \frac{ \frac{10}{27}x^2}{ 3x} = \frac{10}{81}x\), also fügen wir diesen Begriff dem Quotienten hinzu.Außerdem multiplizieren wir dies mit dem Divisor, um \(\displaystyle \frac{10}{81}x \cdot \left(3x+1\right) = \frac{10}{27}x^2+\frac{10}{81}x\) zu erhalten, was wir mit der aktuellen Erinnerung subtrahieren müssen:

\[\begin{array}{rccccc} &\displaystyle \frac{1}{9}x^3 & \displaystyle -\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle +\frac{10}{81}x & \displaystyle &\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle \frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -\frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -\frac{1}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle \frac{10}{9}x^3 & \displaystyle +\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{10}{27}x^2 & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle -\frac{10}{81}x & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{152}{81}x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \end{array}\]

Schritt 4: In diesem Fall ist der führende Begriff des aktuellen Restes \(\displaystyle \frac{152}{81}x-\frac{5}{6}\) \(\displaystyle \frac{152}{81}x\) und wir wissen, dass der führende Begriff für den Divisor \(\displaystyle 3x\) ist.

Der Begriff, den wir also mit \(3x\) multiplizieren müssen, um zum führenden Begriff des aktuellen Restes zu gelangen, lautet \(\displaystyle \frac{ \frac{152}{81}x}{ 3x} = \frac{152}{243}\), also fügen wir diesen Begriff dem Quotienten hinzu.Außerdem multiplizieren wir dies mit dem Divisor, um \(\displaystyle \frac{152}{243} \cdot \left(3x+1\right) = \frac{152}{81}x+\frac{152}{243}\) zu erhalten, was wir mit der aktuellen Erinnerung subtrahieren müssen:

\[\begin{array}{rccccc} &\displaystyle \frac{1}{9}x^3 & \displaystyle -\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle +\frac{10}{81}x & \displaystyle +\frac{152}{243}&\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle \frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -\frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -\frac{1}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle \frac{10}{9}x^3 & \displaystyle +\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{10}{27}x^2 & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle -\frac{10}{81}x & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{152}{81}x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -\frac{152}{81}x & \displaystyle -\frac{152}{243}\\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -\frac{709}{486}\\[0.8em] \end{array}\]

Dies schließt diese Berechnung ab, da der Grad des aktuellen Restes \(r(x) = -\frac{709}{486}\) geringer ist als der Grad des Divisors \(s(x) = 3x+1\).

Fazit: Daher schließen wir, dass für die gegebene Dividende \(\displaystyle p(x) = \frac{1}{3}x^4-x^3+2x-\frac{5}{6}\) und Divisor \(\displaystyle s(x) = 3x+1\) erhalten wir, dass der Quotient \(\displaystyle q(x) = \frac{1}{9}x^3-\frac{10}{27}x^2+\frac{10}{81}x+\frac{152}{243}\) und der Rest \(\displaystyle r(x) = -\frac{709}{486}\) und das ist und das ist

\[\displaystyle \frac{p(x)}{s(x)} = \frac{\frac{1}{3}x^4-x^3+2x-\frac{5}{6}}{3x+1} = \frac{1}{9}x^3-\frac{10}{27}x^2+\frac{10}{81}x+\frac{152}{243} - \frac{\frac{709}{486}}{3x+1}\]

Beispiel: mehr polynomabteilungen

Berechnen Sie die folgende Teilung von Polynomen: \(\frac{4x^4-2x^2+x-1}{x+1}\).Können wir sagen, dass x = -1 eine Wurzel von \(4x^4-2x^2+x-1\) ist

Lösung: Wir haben die folgende Dividende und Divisoren: \(\displaystyle p(x) = 4x^4-2x^2+x-1\) und \(\displaystyle s(x) = x+1\).

Wir haben, dass der Grad der Dividende \(\displaystyle deg(p) = 4\) ist, und der Grad des Divisors ist \(\displaystyle deg(s)) = 1\).

Schritt 1: Der führende Begriff der Dividende \(\displaystyle p(x) = 4x^4-2x^2+x-1\) ist \(\displaystyle 4x^4\), während der führende Begriff für den Divisor \(\displaystyle s(x) = x+1\) gleich \(\displaystyle x\) entspricht.

Der Begriff, den wir also mit \(x\) multiplizieren müssen, um zum führenden Begriff der Dividende zu gelangen, lautet \(\displaystyle \frac{ 4x^4}{ x} = 4x^3\), also fügen wir diesen Begriff dem Quotienten hinzu.Außerdem multiplizieren wir dies mit dem Divisor, um \(\displaystyle 4x^3 \cdot \left(x+1\right) = 4x^4+4x^3\) zu erhalten, was wir an die Dividende subtrahieren müssen:

\[\begin{array}{rccccc} &\displaystyle 4x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle &\\[0.8em] \hline x+1\,) & \displaystyle 4x^4 & \displaystyle & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -4x^4 & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \end{array}\]

Schritt 2: In diesem Fall ist der führende Begriff des aktuellen Restes \(\displaystyle -4x^3-2x^2+x-1\) \(\displaystyle -4x^3\) und wir wissen, dass der führende Begriff für den Divisor \(\displaystyle x\) ist.

Der Begriff, den wir also mit \(x\) multiplizieren müssen, um zum führenden Begriff des aktuellen Restes zu gelangen, lautet \(\displaystyle \frac{ -4x^3}{ x} = -4x^2\), also fügen wir diesen Begriff dem Quotienten hinzu.Außerdem multiplizieren wir dies mit dem Divisor, um \(\displaystyle -4x^2 \cdot \left(x+1\right) = -4x^3-4x^2\) zu erhalten, was wir mit der aktuellen Erinnerung subtrahieren müssen:

\[\begin{array}{rccccc} &\displaystyle 4x^3 & \displaystyle -4x^2 & \displaystyle & \displaystyle &\\[0.8em] \hline x+1\,) & \displaystyle 4x^4 & \displaystyle & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -4x^4 & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle 4x^3 & \displaystyle +4x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle 2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \end{array}\]

Schritt 3: In diesem Fall ist der führende Begriff des aktuellen Restes \(\displaystyle 2x^2+x-1\) \(\displaystyle 2x^2\) und wir wissen, dass der führende Begriff für den Divisor \(\displaystyle x\) ist.

Der Begriff, den wir also mit \(x\) multiplizieren müssen, um zum führenden Begriff des aktuellen Restes zu gelangen, lautet \(\displaystyle \frac{ 2x^2}{ x} = 2x\), also fügen wir diesen Begriff dem Quotienten hinzu.Außerdem multiplizieren wir dies mit dem Divisor, um \(\displaystyle 2x \cdot \left(x+1\right) = 2x^2+2x\) zu erhalten, was wir mit der aktuellen Erinnerung subtrahieren müssen:

\[\begin{array}{rccccc} &\displaystyle 4x^3 & \displaystyle -4x^2 & \displaystyle +2x & \displaystyle &\\[0.8em] \hline x+1\,) & \displaystyle 4x^4 & \displaystyle & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -4x^4 & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle 4x^3 & \displaystyle +4x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle 2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle -2x & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -x & \displaystyle -1\\[0.8em] \end{array}\]

Schritt 4: In diesem Fall ist der führende Begriff des aktuellen Restes \(\displaystyle -x-1\) \(\displaystyle -1x\) und wir wissen, dass der führende Begriff für den Divisor \(\displaystyle x\) ist.

Der Begriff, den wir also mit \(x\) multiplizieren müssen, um zum führenden Begriff des aktuellen Restes zu gelangen, lautet \(\displaystyle \frac{ -1x}{ x} = -1\), also fügen wir diesen Begriff dem Quotienten hinzu.Außerdem multiplizieren wir dies mit dem Divisor, um \(\displaystyle -1 \cdot \left(x+1\right) = -x-1\) zu erhalten, was wir mit der aktuellen Erinnerung subtrahieren müssen:

\[\begin{array}{rccccc} &\displaystyle 4x^3 & \displaystyle -4x^2 & \displaystyle +2x & \displaystyle -1&\\[0.8em] \hline x+1\,) & \displaystyle 4x^4 & \displaystyle & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -4x^4 & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle 4x^3 & \displaystyle +4x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle 2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle -2x & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle x & \displaystyle +1\\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle 0\\[0.8em] \end{array}\]

Und wir stoppen die Iteration, da der Grad des aktuellen Restes \(r(x) = 0\) geringer ist als der Grad des Divisors \(s(x) = x+1\).

Fazit: Daher schließen wir, dass für die gegebene Dividende \(\displaystyle p(x) = 4x^4-2x^2+x-1\) und Divisor \(\displaystyle s(x) = x+1\) erhalten wir, dass der Quotient \(\displaystyle q(x) = 4x^3-4x^2+2x-1\) ist und der Rest \(\displaystyle r(x) = 0\) ist, was bedeutet, dass der \(s(x)\) divides \(p(x)\) Genau, und wir bekommen

\[\displaystyle \frac{p(x)}{s(x)} = \frac{4x^4-2x^2+x-1}{x+1} = 4x^3-4x^2+2x-1\]

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