Löser Infinitesimalrechnung

Gradientenrechner

Anweisungen: Verwenden Sie diesen Gradientenrechner, um den Vektor von Partialderivaten für eine von Ihnen bereitgestellte multivariate Funktion zu berechnen und alle Schritte anzuzeigen.Bitte geben Sie die multivariable Funktion in das folgende Formularfeld ein.

Der gradientenrechner

Dieser Gradientenrechner mit Schritten hilft Ihnen dabei, den Gradientenvektor einer bestimmten multivariaten Funktion zu finden, die Sie bereitstellen.Diese Funktion muss eine gültige, differenzierbare Funktion mit 2 oder mehr Variablen sein.

Die Funktion, die Sie zur Verfügung stellen(xy) usw.

Sobald eine gültige multivariable Funktion bereitgestellt ist, müssen Sie lediglich auf die Schaltfläche "Berechnen" klicken, um alle angezeigten Schritte zu erhalten.

Gradienten repräsentieren die natürliche Erweiterung von Derivaten für die multivariable Situation, in der die Änderungsrate durch einen Vektor besser definiert wird als eine Zahl.

Was ist der gradient?

In einfachen Worten ist der Gradient ein Vektor, der alle partiellen Ableitungen erster Ordnung einer multivariablen Funktion \(f\) enthält.Für eine Funktion von zwei Variablen \(f(x, y)\) wäre sein Gradient ein 2-dimensionaler Vektor \(\nabla f(x, y) = \displaystyle \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)\).

In ähnlicher Weise wäre für eine Funktion von drei Variablen \(f(x, y, z\) sein Gradient ein dreidimensionaler Vektor \(\nabla f(x, y, z) = \displaystyle \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)\) usw.

Schritte zum berechnen des gradienten

Schritt 1: Identifizieren Sie die Funktion f, mit der Sie arbeiten möchten, und identifizieren Sie die Anzahl der beteiligten Variablen
Schritt 2: Finden Sie die erste Bestellung Partielle Fähigkeit in Bezug auf jede der Variablen
Schritt 3: Konstruieren Sie den Gradienten als Vektor, der alle diese in Schritt 2 gefundenen Partialderivate enthält

Optional können Sie nach Abschluss von Schritt 3 nach Möglichkeit mit dem Gradienten die Version des Ableitung für eine univariate Funktion für eine multivariate Funktion vereinfachen.

Anwendungen des gradienten

Genauso wie bei univariaten Funktionen, wenn wir nach kritischen Punkten suchen, müssen wir die Punkte finden, an denen das Derivat Null ist, für multivariate Funktionen müssen wir nach Punkten suchen, nach denen der Gradient gleich Null ist, um kritische Punkte zu finden.

Außerdem kommt das Äquivalent zu den zweiten Ableitungstests in Form der hessischen Regel für multivariate Funktionen.

Tipps und tricks

Denken Sie daran, dass die Gradient wird für multivariate Funktionen mit zwei oder mehr Variablen definiert.Denken Sie auch daran, dass der Gradient ein Vektor ist, bei dem jede der Komponenten eine Funktion ist.Genauer gesagt ist jede seiner Komponenten a Partielle Fähigkeit der ersten Ordnung.

Vergessen Sie nicht, dass der Gradient ein Vektor mit Dimension ist, der der Anzahl der in der Funktion definierten unabhängigen Variablen ist, um Ihre Arbeit zu überprüfen.

Beispiel: gradientenrechner

Finden Sie den der Funktion zugeordneten Gradienten: \(f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2\)

Lösung: Wir betrachten die folgende multivariate Funktion: \(\displaystyle f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2\), also müssen wir ihren Gradienten berechnen.

Unterscheidung in Bezug auf \(x\)

\( \displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

By linearity, we know \(\frac{\partial }{\partial x}\left( x^2+y^2+z^2 \right) = \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(y^2\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(z^2\right)\), so plugging that in:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(y^2\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(z^2\right)\)

Since the derivative of a constant with respect to \(x\) is 0, we get that:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)\)

We can use the Power Rule for polynomial terms: \(\frac{\partial }{\partial x}\left( x^2 \right) = 2x\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle 2x\)

Unterscheidung in Bezug auf \(y\)

\( \displaystyle \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

By linearity, we know \(\frac{\partial }{\partial y}\left( x^2+y^2+z^2 \right) = \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(y^2\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(z^2\right)\), so plugging that in:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(y^2\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(z^2\right)\)

Since the derivative of a constant with respect to \(y\) is 0, we find that:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}\left(y^2\right)\)

We use the Power Rule for polynomial terms: \(\frac{\partial }{\partial y}\left( y^2 \right) = 2y\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle 2y\)

Unterscheidung in Bezug auf \(z\)

\( \displaystyle \frac{\partial }{\partial z}\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

By linearity, we know \(\frac{\partial }{\partial z}\left( x^2+y^2+z^2 \right) = \frac{\partial }{\partial z}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial z}\left(y^2\right)+\frac{\partial }{\partial z}\left(z^2\right)\), so plugging that in:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\partial }{\partial z}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial z}\left(y^2\right)+\frac{\partial }{\partial z}\left(z^2\right)\)

The derivative of a constant with respect to \(z\) is 0, so then:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\partial }{\partial z}\left(z^2\right)\)

We use the Power Rule for polynomial terms: \(\frac{\partial }{\partial z}\left( z^2 \right) = 2z\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle 2z\)

Fazit: Daher können wir zu dem Schluss kommen, dass der Gradient der gegebenen Funktion \(\displaystyle f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 \) gleich ist:

\[ \nabla f = \left(2x,2y,2z\right)\]

Beispiel für gradientenberechnung

Für die folgende Funktion: \(f(x, y) = xy\) finden Sie seinen Gradienten.

Lösung: In diesem Beispiel haben wir eine Funktion von zwei Variablen x und y: \(\displaystyle f(x,y)=xy\).

Erstens unterscheiden sich in Bezug auf x

\( \displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(xy\right)\)

Da es sich um eine konstante Zeit handelt \(x\), erhalten wir direkt: \(\frac{\partial }{\partial x}\left( xy \right) = y\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle y\)

Nun in Bezug auf y differenzieren

\( \displaystyle \frac{\partial }{\partial y}\left(xy\right)\)

Da es sich um eine konstante Zeit handelt \(y\), erhalten wir direkt: \(\frac{\partial }{\partial y}\left( xy \right) = x\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle x\)

Fazit: Wir Erhalten Direkt, Dass der Gradienten der Funktion \(\displaystyle f(x,y)=xy \) lauten:

\[ \nabla f = \left(y, x\right)\]

Weitere gradientebispiele

Berechnen sie Den entlastethende Gradiente von \( f(x, y) = x^2 - y^2 - xy \).

Lösung: Schliebenlich Muss in Dieem Bieriel Die Folgende Funktion AnalySerert Werden: \(\displaystyle f(x,y)=x^2-y^2-xy\). Da es sich um ein multivariates Funk Handelt, ist es sinnvoll, Seinen Gradienten Zu Berechnen.

Schritt 2: Finden Sie das Derivat in Bezug auf \(x\)

\( \displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2-xy-y^2\right)\)

Nach Linearität wissen wir \(\frac{\partial }{\partial x}\left( x^2-xy-y^2 \right) = \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)-\frac{\partial }{\partial x}\left(xy\right)-\frac{\partial }{\partial x}\left(y^2\right)\), also stecken Sie das in:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)-\frac{\partial }{\partial x}\left(xy\right)-\frac{\partial }{\partial x}\left(y^2\right)\)

Die Ableitung einer Konstante in Bezug auf \(x\) beträgt 0, also:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)-\frac{\partial }{\partial x}\left(xy\right)\)

Da es sich um eine konstante Zeit handelt \(x\), erhalten wir direkt: \(\frac{\partial }{\partial x}\left( xy \right) = y\) und wir können die Leistungsregel für Polynombegriffe verwenden: \(\frac{\partial }{\partial x}\left( x^2 \right) = 2x\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle 2x-y\)

Schritt 2: Finden Sie das Derivat in Bezug auf \(y\)

\( \displaystyle \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2-xy-y^2\right)\)

Nach Linearität wissen wir \(\frac{\partial }{\partial y}\left( x^2-xy-y^2 \right) = \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2\right)-\frac{\partial }{\partial y}\left(xy\right)-\frac{\partial }{\partial y}\left(y^2\right)\), also stecken Sie das in:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2\right)-\frac{\partial }{\partial y}\left(xy\right)-\frac{\partial }{\partial y}\left(y^2\right)\)

Wir verwenden die Leistungsregel für Polynombegriffe: \(\frac{\partial }{\partial y}\left( y^2 \right) = 2y\) Und da es sich um eine konstante Zeit handelt \(y\), erhalten wir direkt: \(\frac{\partial }{\partial y}\left( xy \right) = x\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2\right)-x-2y\)

was dann zu

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle 0-x-2y\)

Durch Neuorganisierung/Vereinfachung/Erweiterung der Begriffe, die zugänglich sind

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle -x-2y\)

Fazit: DAHER KRNNEN Wir Zu dem Schluss Kommen, Dass der Gradienten der Gegebenen Funktion \(\displaystyle f(x,y)=x^2-y^2-xy \) GLEICH IST:

\[ \nabla f = \left(2x-y,-x-2y\right)\]

Mehratrechtner

Verwendung Einer Derivatnetisch Kann Ihr LeBen auf Jeden Fall Einfacher Machen, da Sie Allezung. Fähigkeitsregeln .

Die Meistens von Den Differenzierungsregeln Wird für univariate funktionen verwendet, haven ihr äquivalent für multivariate funktionen. Kettenregel Anwesend Produktregel und Quotienteregel Wir Arebeiten und für multivariate Funkion, WOBEI Die Richtigen Abmessungen Berücken, Werden.