Löser Infinitesimalrechnung

Partial derivatrechner

Anweisungen: Verwenden Sie diesen partiellen Ableitungsrechner, um die Ableitung einer Funktion von mehr als einer Variablen zu ermitteln, die Sie in Bezug auf eine bestimmte Variable bereitstellen, die alle Schritte des Prozesses zeigt.Bitte geben Sie die Funktion ein, für die Sie die Ableitung im Feld unten berechnen möchten.

Über teilweise derivat

Mit diesem Taschenrechner können Sie die Teilableitung einer gültigen differenzierbaren Funktion in Bezug auf eine bestimmte Variable berechnen.

Die Funktion, die Sie bereitstellen, muss mit einer Funktionsdefinition wie f (x, y) = x^3 + y^2 ausgestattet sein.Wenn Sie so etwas wie xy+x^2 schreiben, wird angenommen, dass eine Funktion von zwei Variablen x und y bereitgestellt wird.

Sobald Sie eine gültige differenzierbare Funktion und eine gültige Variable angeben, wird der nächste Schritt auf die Schaltfläche "Berechnen" klicken, um alle Schritte des Prozesses mit allen Vorgängen anzuzeigen Derivates Regeln Verwendet , explizit angegeben.

Derivat und ihre natürliche Erweiterung mehrerer Variablen partielle Derivate gehören zu den wichtigsten Studienfächern in Mathematik, Zeitraum.Dies liegt daran, dass sie sich mit einer Änderungsrate und dem Fluss vieler Modelle befassen, die häufig in Anwendungen auftreten.

Was ist ein teilweise derivat?

Einfacher Hinsicht besteht ein teilweise Derivat darin, dasselbe wie eine regelmäßige Differenzierung in Bezug auf eine Variable durchzuführen, vorausgesetzt, der Rest der Variablen sind konstant.

Wenn wir ein teilweise Derivat offiziell definieren, machen wir es einfacher und tun Sie es für eine Funktion von zwei Variablen, \(x\) und \(y\).Das Teilendeivat in Bezug auf \(x\) am Punkt \((x_0, y_0)\) ist

\[\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h, y_0) - f(x_0, y_0)}{h} \]

Wie wir sehen können, ist es also im Wesentlichen die gleiche Definition des regulären Ableitung, nur dass es eine andere Variable gibt, aber im Prozess der Berechnung konstant bleibt.

In ähnlicher Weise ist das Teilendeivat in Bezug auf \(y\) am Punkt \((x_0, y_0)\) ist

\[\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0, y_0 + h) - f(x_0, y_0)}{h} \]

Der Vektor aller Teilableitungen wird als Gradient bezeichnet.Wenn Sie tatsächlich alle teilweisen Derivate erhalten müssen, können Sie dies verwenden Gradienten Reloder .

Schritte zum berechnen von teilweisen derivaten

Schritt 1: Identifizieren Sie die Funktion, die Sie für die Teilableitung berechnen möchten.Stellen Sie sicher, dass Sie es zuerst vereinfachen
Schritt 2: Beachten Sie, dass nicht alle Funktionen differenzierbar sind. Sie müssen daher sicherstellen, dass die beteiligte Funktion tatsächlich differenzierbar ist
Schritt 3: Verwenden Sie alle geeigneten Ableitungsregeln für die Funktion und unterscheiden Sie die Funktion, wie Sie es normalerweise in Bezug auf die differenzierbare Variable tun würden, und betrachten Sie jede andere Variable als konstant

Auf diese Weise wird die Variable y als Konstante behandelt, wenn wir das Teilabgang in Bezug auf x für etwas wie 'x^2+y^2' im Prozess der partiellen Differenzierung in Bezug auf X durchführen.Also würden wir bekommen

\[\frac{\partial (x^2+y^2)}{\partial x} = \frac{\partial (x^2)}{\partial x} + \frac{\partial (y^2)}{\partial x} = 2x \]

und in diesem Fall \(\frac{\partial (y^2)}{\partial x} = 0\) weil y in Bezug auf x konstant angenommen wird.

Warum verwenden sie einen partiellen ableitungsrechner?

Das Berechnen von Teilleitungen kann eine relativ einfache Übung sein, bedeutet jedoch nicht, dass dies unbedingt einfach ist.Es ist wichtig, zum Zeitpunkt der Anwendung der entsprechenden Sicht sehr systematisch zu sein Fähigkeitsregeln .

Durch die Verwendung eines partiellen Ableitungsrechners mit Schritten können Sie zumindest Ihr Ergebnis überprüfen und genau sehen, welche Schritte die richtigen Schritte sind und welche Ableitungen verwendet werden müssen.

Insbesondere bei komplexen Problemen kann ein Taschenrechner bei algebraisch kompliziertem Ausdruck wirklich nützlich sein.

Was sind abgeleitete regeln für teilableitungen?

Sie sind genau die gleichen wie für reguläre Derivate.Für teilweise Derivate haben wir Linearität, die Produktregel , das Kettenregel und die Quotienteregel .Normalerweise verwenden Sie eine Kombination all dieser Regeln für komplexere Ableitungen.

Was ist implizite differenzierung

Es gibt eine Situation, in der es mehr als eine Variable gibt, in der wir beispielsweise nicht davon ausgehen, dass sich Y mit X ändert, wie wir es in Teilderivaten tun.In einigen Fällen gehen wir, wenn es eine Gleichung gibt, die die Variablen verbindet, eine implizite Beziehung zwischen Y und X und wir schreiben y = y (x).

Dies ist der Kontext von Implizit -Unterschied , was eine Art Hybrid zwischen Teildifferenzierung und regelmäßiger Differenzierung ist.

Und es gibt wirklich eine Sache, die nicht überbewertet werden kann: Teilableitungen sind wirklich eines der Hauptwerkzeuge, die in Ingenieurwesen, Physik und Wirtschaft verwendet werden.

Beispiel: teilableitung berechnung

Berechnen Sie das Teilendeivat \(\frac{\partial f}{\partial y}\) für: \(f(x,y) = \sin(xy)\)

Lösung:

was die Berechnung abschließt.

Beispiel: teildifferenzierung

Berechnen Sie das Teilendeivat in Bezug auf \(x\) von: \(f(x, y) = x^2 + y^2\)

Lösung: Die Funktion, die bereitgestellt wird, lautet: \(\displaystyle f(x,y)=x^2+y^2\), für die wir sein partielles Ableitungen in Bezug auf die Variable \(x\) berechnen müssen.

Die Funktion erfordert keine weitere Vereinfachung, sodass wir direkt ihr Teilendeivat berechnen können:

\( \displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2+y^2\right)\)

By linearity, we know \(\frac{\partial }{\partial x}\left( x^2+y^2 \right) = \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(y^2\right)\), so plugging that in:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(y^2\right)\)

The derivative of a constant with respect to \(x\) is 0, so then:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)\)

Using the Power Rule for polynomial terms: \(\frac{\partial }{\partial x}\left( x^2 \right) = 2x\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle 2x\)

Beispiel: ein weiteres partielles ableitungsbeispiel

Betrachten Sie die Funktion \(f(x, y) = \frac{xy}{x^2+y^2}\), finden Sie ihre partiellen Ableitungen \(\frac{\partial f}{\partial x}\) und \(\frac{\partial f}{\partial y}\).

Lösung: In diesem Fall lautet die Funktion: \(\displaystyle f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}\), für die wir ihre Teilleitungen berechnen müssen.

Die Funktion wurde bereits vereinfacht, sodass wir direkt fortfahren können:

\( \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{xy}{x^2+y^2}\right)\)

Directly applying Quotient Rule: \(\frac{\partial }{\partial x}\left( \frac{xy}{x^2+y^2} \right) = \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial x}\left(xy\right)-xy\cdot \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2+y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial x}\left(xy\right)-xy\cdot \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2+y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

The linearity property indicates that \(\frac{\partial }{\partial x}\left( x^2+y^2 \right) = \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(y^2\right)\), so plugging that in:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial x}\left(xy\right)-xy\left(\frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(y^2\right)\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

But we know that the derivative of a constant with respect to \(x\) is equal to 0, so then we get that:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial x}\left(xy\right)-xy\left(\frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

Applying the Power Rule for polynomial terms: \(\frac{\partial }{\partial x}\left( x^2 \right) = 2x\) and directly we get: \(\frac{\partial }{\partial x}\left( xy \right) = y\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot y-xy\left(2x\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

and consequently

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{y\left(x^2+y^2\right)-xy\cdot 2x}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

We can put the integers together and then we can group the terms with \(x\) in the term \(\left(-1\right)xy\cdot 2x\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{y\left(x^2+y^2\right)+2\cdot \left(-1\right)x^2y}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

Simplifying: \(\displaystyle 2\times(-1) = -2\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{y\left(x^2+y^2\right)-2x^2y}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

Observe the following: \(y \cdot (x^2+y^2) = yx^2+yy^2 = x^2y+y^3\), by using the distributive property on each term of the expression on the left, with respect to the terms on the right

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{x^2y+y^3-2x^2y}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

Hence, we find

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{-\left(x+y\right)\left(x-y\right)y}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

Jetzt hingegen:

\( \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{xy}{x^2+y^2}\right)\)

Using the Quotient Rule: \(\frac{\partial }{\partial y}\left( \frac{xy}{x^2+y^2} \right) = \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial y}\left(xy\right)-xy\cdot \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2+y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial y}\left(xy\right)-xy\cdot \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2+y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

By linearity, we know \(\frac{\partial }{\partial y}\left( x^2+y^2 \right) = \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(y^2\right)\), so plugging that in:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial y}\left(xy\right)-xy\left(\frac{\partial }{\partial y}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(y^2\right)\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

Since the derivative of a constant with respect to \(y\) is 0, we find that:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial y}\left(xy\right)-xy\left(\frac{\partial }{\partial y}\left(y^2\right)\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

Using the Power Rule for polynomial terms: \(\frac{\partial }{\partial y}\left( y^2 \right) = 2y\) and directly we get: \(\frac{\partial }{\partial y}\left( xy \right) = x\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot x-xy\left(2y\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

and then we find

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{x\left(x^2+y^2\right)-xy\cdot 2y}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

Putting together the numerical values and grouping the terms with \(y\) in the term \(\left(-1\right)xy\cdot 2y\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{x\left(x^2+y^2\right)+2\cdot \left(-1\right)y^2x}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

Reducing integers that can be multiplied: \(\displaystyle 2\times(-1) = -2\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{x\left(x^2+y^2\right)-2y^2x}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

We find that \((x) \cdot (x^2+y^2) = xx^2+xy^2 = x^3+xy^2\), due to the fact that we can use the distributive property on each term of the expression on the left, with respect to the terms on the right

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{x^3+xy^2-2y^2x}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

Reorganizing/simplifying/expanding the expression

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\left(x+y\right)\left(x-y\right)x}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

Weitere kalkülrechner

Das Konzept des Derivats steht im Zentrum des Kalküls und die Verwendung von a Derivatnetisch Kann Ihnen in vielen verschiedenen Kalkülanwendungen, einschließlich der Optimierung, einer der „Biggies“, erheblich helfen.

Die idee desivats erstreckt sich auf natürliche weise auf den Funkionsfall mit Vielen Varieblen, WOBEI A. Partial Derivatrechner Wird Daselbe Wie ein Reguläres Derivat Tun, Aber jetzt Wird Angeoren, Dass NUINE Variable Variable, Wähhrend Die Anderen Varilen ALS Fest angenmenm warden.

Oft Wissen Sie, Dass \(y\) von \(x\), Aber Nick Explizit, Sonders Implizit Die Können Sie Verwenden in Dieem Fall Können Verwenden Implizit -Unterschied Um sterbe Regeln von Derivaten Zu Verwenden, ähm Einen Ausdruck Zu Erhalten, für den Sie dann für Derivat lösen können \(\frac{d f}{d x}\).