Mehr über diesen punkt-produkt-rechner

Dieser Rechner ermöglicht Ihnen die Berechnung der punktprodukt von zwei Vektoren, die alle Schritte zeigt. Alles, was Sie tun müssen, ist die Vektoren einzugeben und auf "Berechnen" zu klicken.

Das Punktprodukt wird in der linearen Algebra häufig verwendet, um Projektionen zu berechnen und die Rechtwinkligkeit von Vektoren zu beurteilen.

Ein Punktprodukt, das gleich Null ist, bedeutet geometrisch gesehen, dass die beiden Vektoren gleich sind senkrecht .

Die formel für das punktprodukt

wie berechnet man also das Punktprodukt? Das Punktprodukt ist eine Operation, die für zwei Vektoren \(x\) und \(y\) durchgeführt wird, und das Ergebnis der Operation ist ein Skalar. Die Formel für das Punktprodukt ist unten dargestellt:

\[ \langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i \]

Das Punktprodukt \(\langle x,y \rangle\) ist unter verschiedenen Namen bekannt, und es wird auch genannt, inneres Produkt oder skalarprodukt . Im Wesentlichen ist das Punktprodukt ein Matrixprodukt, wenn wir \(x \in \mathbb{R}^n\) und \(y \in \mathbb{R}^n\) betrachten, dann ist das Punktprodukt definiert als:

\[ \langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i = x^t \cdot y \]

Diese Formel ist leicht zu merken, anders als bei der kreuzprodukt . Es ist einfach, das Punktprodukt von Hand zu berechnen, da man im Fall des Punktprodukts die entsprechende Komponente multipliziert und dann addiert.

Punktproduktanwendungen

Einige Verwendungsmöglichkeiten des Punktprodukts sind superpraktisch: Das Punktprodukt-Rechner und dem Winkel. Auch das Punkt- oder innere Produkt hat eine starke geometrische Motivation. Ein alternativer Ausdruck für dieses Produkt ist sicherlich

\[ \langle x, y \rangle = \|x\| \|y\| \cos \theta \]

wobei \(\|x\|\) die Norm (Länge) von \(x\) ist, \(\|y\|\) die Norm (Länge) von \(y\) ist und \(\theta\) der Winkel zwischen \(x\) und \(y\) ist.

Punktprodukt mit winkelberechnung

Eine unmittelbare Folge der Definition des Punktprodukts ist, dass man es zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren verwenden kann, indem man die folgende Formel verwendet:

\[\cos \theta = \displaystyle \frac{ \langle x, y \rangle}{\|x\| \|y\| } \]

und wenn wir für \(\theta\) lösen:

\[ \theta = \arccos\left( \displaystyle \frac{ \langle x, y \rangle}{\|x\| \|y\| } \right) \]

Das punktprodukt und das kreuzprodukt

Eine verwandte Operation für zwei Vektoren ist die kreuzprodukt obwohl es jetzt anders ist, da seine Ausgabe ein Vektor und nicht ein Skalar ist.

Weitere algebra -taschenrechner

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Berechnungen von punktprodukt und kreuzprodukt haben neben vielen anderen einen hohen Grad an Anwendbarkeit in der Linearen Algebra und Geometrie.

Einige Computersysteme können Ihnen zwar die Antworten anzeigen, aber unsere Rechner zeigen Ihnen die Schritte, damit Sie verstehen, worauf es ankommt.