Implizite differenzierungsrechner


Anweisungen: Verwenden Sie diesen Rechner für implizite Differenzierung, um die Ableitung dydx\frac{dy}{dx} zu berechnen, wenn xx und yy über eine Gleichung verbunden sind. Geben Sie eine Gleichung, die x und y beinhaltet, in das untenstehende Formularfeld ein.

Geben Sie die Gleichung ein, die x und y enthält (Ex: x^2 + xy + y^2 = 0 usw.)

Geben Sie die Variable ein, um sie in Bezug auf (Ex: x usw.) zu differenzieren.

Implizite differenzierung

Dieser Taschenrechner hilft Ihnen dabei, eine implizite Differenzierung für eine Gleichung durchzuführen, die die Variablen x und y betrifft.Sie müssen eine gültige Gleichung wie x^2 + y^2 = 1 oder xy - x^2 y^2 = 0 usw. angeben.

Sobald Sie eine gültige Gleichung mit zwei Variablen (xx und yy) angeben, müssen Sie nur noch auf die Schaltfläche "Berechnen" klicken, und alle Schritte der entsprechenden impliziten Differenzierung werden angezeigt.

Dies ist eine dy/dx-Rechner mit Stufen in dem Sinne, dass es Ihnen alle relevanten Schritte der Berechnung der Ableitung einer Variablen nach einer anderen aufzeigt, sofern diese beiden Variablen in einer Gleichung miteinander verbunden sind. Diese Beziehung ermöglicht es Ihnen, die entsprechende Ableitung zu finden implizite Ableitung .

Wenn wir eine Gleichung haben, die die beiden Variablen xx und yy in Beziehung setzt, sollten wir in der Lage sein, yy als Funktion von xx auszudrücken und y=y(x)y = y(x) zu schreiben. Oft können wir yy nicht explizit als Funktion von xx ausdrücken, sondern nehmen an, dass es eine solche Funktion gibt. In diesem Fall ist es sinnvoll, yy nach xx zu differenzieren.

Implizite Differenzierungsrechner

Was ist implizite differenzierung?

Implizite Differenzierung ist eine differenzierungsrechnung technik, die auf der Annahme beruht, dass es möglich ist, aus einer gegebenen Gleichung mit xx und yy zu schließen, dass yy eine Funktion von xx ist, obwohl wir diese Funktion oft nicht explizit schreiben können.

Sobald diese Annahme getroffen ist, gehen wir davon aus, dass wir dydx\frac{dy}{dx} berechnen können und wir alle bekannten Fähigkeitsregeln ( Produktregel , Quotienteregel und Kettenregel ), um beide Seiten der Gleichung zu differenzieren, und lösen Sie für dydx\frac{dy}{dx}.

Was ist die implizite differenzierungsmethode?

Die implizite Differenzierungsmethode ist eine Methode, die es Ihnen ermöglicht, eine Ableitung von Ausdrücken zu berechnen, die nicht direkt im Format f(x)f(x) angegeben sind. Das heißt, wenn wir zum Beispiel eine Funktion einer Variablen xx gegeben haben, machen wir einfach weiter und differenzieren diese Funktion.

Wenn aber zwei Variablen xx und yy über eine Gleichung miteinander verbunden sind, wie z.B. x2+y2=1x^2+y^2 = 1, kann man auch y nach x differenzieren. Nach der traditionellen Methode muss man y in Bezug auf x lösen und DANN kann man differenzieren.

Mit der impliziten Differenzierung können Sie direkt differenzieren, indem Sie nur die Annahme machen, dass y=y(xy = y(x, und die Verwendung der Kettenregel .

Schritte zur verwendung implizite differenzierung

  • Schritt 1: Identifizieren Sie die Gleichung, die zwei Variablen x und y umfasst.Vereinfachen Sie alle redundanten Begriffe
  • Schritt 2: Angenommen, y ist eine Funktion von x, y = y (x), daher ist es sinnvoll, die Ableitung von y in Bezug auf x zu berechnen
  • Schritt 3: Berechnen sie Dasivat von beiden Seiten der Gleichung unter Verwendung aller Fähigkeitsregeln du brauchst.Dies wird zu einer Gleichheit führen, in der x, y und y möglicherweise vorhanden sind
  • Schritt 4: Lösen Sie, was Sie in Schritt 3 für y erhalten haben.Beachten Sie, dass y 'normalerweise als Funktion von x und y geschrieben wird, was in Ordnung ist, da y auch von x abhängt

Dies ist eine sehr allgemeine Methodik, und es wird Feinheiten von Fall zu Fall haben, aber das ist die Blaupause, die in den meisten Fällen funktionieren sollte, wobei die zusätzlichen potenziellen algebraischen Manipulationen Schwierigkeiten haben.

Warum unter verwendung eines impliziten differenzierungsrechners

Die implizite Differenzierung könnte manchmal verwirrend sein, wenn Sie nicht sehr klar sind, was Sie unterscheiden und welche Variable.Ein Taschenrechner hilft Ihnen dabei, Ihr Ergebnis zu vergleichen, und eine besondere Sache an unserem Taschenrechner ist, dass alle Schritte des Prozesses angezeigt werden.

Das ist eine entscheidende Hilfe für Sie, da es Ihnen genau zeigt, welche derivativen Regel und wo Sie sie angewendet haben.

Implizite Differenzierungsberechnung

Was ist der sinn der implizite differenzierung?

Das ist eine faire Frage.Wenn Sie eine Gleichung mit x und y haben, warum nicht y in Bezug auf x und verwenden Sie eine regelmäßige Ableitungsberechnung, um die Ableitung von y in Bezug auf x zu erhalten.Ich kann Ihnen mindestens zwei gute Gründe geben:

  • Grund 1: Es kann sein, dass Sie y in Bezug auf X explizit nicht lösen können.Es kann eine Funktion geben, aber Sie können sie nicht einfach finden.Denken Sie an y + tan (y) = x^2
  • Grund 2: Auch wenn Sie zufällig Lösen Sie y in Deraufzeit von x Es kann ein wirklich komplizierter Ausdruck sein, und die abgeleitete Berechnung könnte sehr verworren und schwierig sein.Normalerweise ist die implizite Differenzierung algebraisch einfach in relativ

Hängt das implizite derivat von y ab?

Nicht immer, aber oft. Damit wird nur gesagt, dass dydx\frac{dy}{dx} von x und y abhängen kann, aber da y von x abhängt, heißt es nur, dass dydx\frac{dy}{dx} erwartungsgemäß von x abhängt.

Im folgenden Abschnitt werden unterschiedliche Beispiele für implizite Differenzierung vorgestellt.

Implizite Differenzierung

Zweite implizite ableitung

Eine Frage ist: Kann man die zweite Ableitung mit impliziter Differenzierung berechnen? Die Antwort ist JA. Man macht einfach dasselbe wie bei der ersten Ableitung mit impliziter Differenzierung, man nimmt einfach an, dass yy eine Funktion von xx ist, also schreibt man y=y(x)y = y(x), und man kann so viel differenzieren, wie man will.

Ein Beispiel: Sie wollen d2ydx2\frac{d^2y}{dx^2} finden, wenn Sie die Gleichung x2+y2=1x^2+y^2=1 haben. Differenzieren Sie beide Seiten in Bezug auf xx:

ddx(x2+y2)=ddx(1) \frac{d}{dx}\left(x^2+y^2\right)=\frac{d}{dx}\left(1\right) 2x+2yy=0 \Rightarrow 2x+2yy' = 0

Nun differenzieren Sie wieder nach x:

ddx(2x+2yy)=ddx(0) \frac{d}{dx}\left(2x+2yy'\right)=\frac{d}{dx}\left(0\right) 2+2(y)2+2yy=0 \Rightarrow 2+2(y')^2+2yy'' = 0

und jetzt lösen wir für yy'':

y=(2+2(y)2)2y \Rightarrow y'' = -\frac{(2+2(y')^2)}{2y} y=(1+(y)2)y \Rightarrow y'' = -\frac{(1+(y')^2)}{y}

Beispiel: beispiel für implizite differenzierung

Finden Sie dydx\frac{dy}{dx} für die Gleichung: x2y2=2yx^2 - y^2 = 2y

Lösung: Dies ist ein Beispiel für implizite Differenzierung. Die folgende Gleichung ist gegeben: x2y2=2y\displaystyle x^2-y^2=2y, für die wir eine implizite Differenzierung durchführen müssen, wobei wir annehmen, dass yy eine Funktion von xx ist.

Die Gleichung erfordert keine weitere Vereinfachung, sodass wir mit der impliziten Differenzierung fortfahren können:

Wir müssen beide Seiten der Gleichung in Bezug auf xx differenzieren, und auf beiden Seiten nehmen wir an, dass y=y(x)y = y(x).

Linke Site : Differenzierung der linken Seite in Bezug auf xx

ddx(x2y2) \displaystyle \frac{d}{dx}\left(x^2-y^2\right)
By linearity, we know ddx(x2y2)=ddx(x2)ddx(y2)\frac{d}{dx}\left( x^2-y^2 \right) = \frac{d}{dx}\left(x^2\right)-\frac{d}{dx}\left(y^2\right), so plugging that in:
=   \displaystyle = \,\,
ddx(x2)ddx(y2)\displaystyle \frac{d}{dx}\left(x^2\right)-\frac{d}{dx}\left(y^2\right)
Using the Chain Rule: ddx(y2)=2yddx(y)\frac{d}{dx}\left( y^2 \right) = 2y\cdot \frac{d}{dx}\left(y\right) and using the Power Rule for polynomial terms: ddx(x2)=2x\frac{d}{dx}\left( x^2 \right) = 2x
=   \displaystyle = \,\,
2x2yddx(y)\displaystyle 2x-2y\cdot \frac{d}{dx}\left(y\right)
We assume that yy is a function of xx: ddx(y)=dydx\frac{d}{dx}\left( y \right) = \frac{dy}{dx}
=   \displaystyle = \,\,
2x2ydydx\displaystyle 2x-2y\cdot \frac{dy}{dx}

Sete Sete : Differenzierung der rechten Seite in Bezug auf xx

ddx(2y) \displaystyle \frac{d}{dx}\left(2y\right)
Since it is a constant times yy, we directly get: ddx(2y)=2ddx(y)\frac{d}{dx}\left( 2y \right) = 2 \cdot \frac{d}{dx}\left(y\right)
=   \displaystyle = \,\,
2ddx(y)\displaystyle 2 \cdot \frac{d}{dx}\left(y\right)
We assume that yy is a function of xx: ddx(y)=dydx\frac{d}{dx}\left( y \right) = \frac{dy}{dx}
=   \displaystyle = \,\,
2dydx\displaystyle 2 \cdot \frac{dy}{dx}

Nach Differenzierung beider Seiten in Bezug auf xx ergibt sich daher Folgendes:

2x2ydydx=2dydx\displaystyle 2x-2y\frac{dy}{dx} = 2\frac{dy}{dx}

Setzen Sie alle Begriffe auf eine Seite:

2yddxy+2x2ddxy=0-2\,y\frac{d}{dx}y+2\,x-2\,\frac{d}{dx}y = 0

Gruppierung von allem, was dydx\displaystyle \frac{dy}{dx} enthält:

2(y+1)ddxy+2x=0-2\,{\left(y+1\right)}\frac{d}{dx}y+2\,x = 0

Schließlich führt die Lösung für dydx\displaystyle \frac{dy}{dx} zu:

dydx=xy+1\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{x}{y+1}

Beispiel: implizite differenzierungsberechnungen

Was ist die Steigung der Tangente an einen Einheitskreis im Punkt (22,22)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right)?

Lösung: Beachten Sie, dass die Gleichung des Einheitskreises x2+y2=1\displaystyle x^2 + y^2 = 1 ist, die implizit yy als Funktion von xx definiert. Um die Tangente zu finden, müssen wir dydx\frac{dy}{dx} im angegebenen Punkt berechnen. Durch implizite Differenzierung differenzieren wir beide Seiten der Gleichung, die den Einheitskreis definiert: x2+y2=1\displaystyle x^2 + y^2 = 1 ddx(x2+y2)=ddx(1)\Rightarrow \displaystyle \frac{d}{dx}\left(x^2 + y^2\right) = \frac{d}{dx}\left(1\right) 2x+2yy=0\Rightarrow \displaystyle 2x+2yy' = 0 2yy=2x\Rightarrow \displaystyle 2yy' = -2x y=xy\Rightarrow \displaystyle y' = -\frac{x}{y}

Der Punkt von Interesse ist (22,22)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right), also .

#XYZA

Dies bedeutet, dass die Steigung der Tangente am Punkt (22,22)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right) m=1m = -1 ist, was bedeutet, dass die Gleichung der Tangente an diesem Punkt lautet

y22=(x22)\displaystyle y - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\left(x-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) y=22x+22\Rightarrow \displaystyle y = \frac{\sqrt{2}}{2} - x + \frac{\sqrt{2}}{2} y=2x\Rightarrow \displaystyle y = \sqrt{2} - x

Beisiziel für die implizit -unterschiede

Betrachten Sie die Gleichung: 23x+y2=25 \displaystyle \frac{2}{3} x + y^2 = \frac{2}{5} . Berechne dydx\frac{dy}{dx}

Lösung: In diesem Fall haben wir die folgende Gleichung: 23x+y2=25\displaystyle \frac{2}{3} x + y^2 = \frac{2}{5}, also müssen wir eine implizite Differenzierung durchführen, unter der Annahme, dass yy von xx abhängt.

Ein weitere vereinfachung der gleichung ist nick erforderlich.DAHER KRNNEN WIR DANN MIT Der Impliziten Differzierung Fortfahre:

Nun müssen wir die Ableitung beider Seiten nach der Variablen xx berechnen, wobei wir davon ausgehen, dass y=y(x)y = y(x).

Linke Site : Differenzieren der linken Seite in Bezug auf die Variable xx

#XYZA
Mit Hilfe der Linearität kennen wir ddx(23x+y2)=ddx(23x)+ddx(y2)\frac{d}{dx}\left( \frac{2}{3}x+y^2 \right) = \frac{d}{dx}\left(\frac{2}{3}x\right)+\frac{d}{dx}\left(y^2\right), also setzen wir das ein:
#XYZA
#XYZA
Wir müssen die Kettenregel anwenden: ddx(y2)=2yddx(y)\frac{d}{dx}\left( y^2 \right) = 2y\cdot \frac{d}{dx}\left(y\right) und wir erhalten direkt: ddx(23x)=23\frac{d}{dx}\left( \frac{2}{3}x \right) = \frac{2}{3}
#XYZA
#XYZA
Angenommen, dass yy eine Funktion von xx ist: ddx(y)=dydx\frac{d}{dx}\left( y \right) = \frac{dy}{dx}
#XYZA
#XYZA

Sete Sete : Nun differenzieren wir die rechte Seite in Bezug auf xx

#XYZA
Der Ausdruck ist eine Konstante, daher ist seine Ableitung 0
#XYZA
#XYZA

Das Ergebnis nach der Differenzierung beider Seiten in Bezug auf xx ist also:

#XYZA

Daher können wir jetzt für dydx\displaystyle \frac{dy}{dx} lösen und erhalten:

#XYZA

Weitere nützliche kalkül solvers

Einer der Interessanten anwendungen der Regeln von Derivaten ist das Konzept der Implizit -Unterschiede unter Differenzierung.Es ist äUzwedst Praktisch, Die aarderungsrate entlang der Kurven Zuchreiben.

Eine Andere Art von Derivaten ist Telableitungen In dem Im -Gegensatz Zum Fall Einer Impliziten differenzierung, bei Wir Annehmen, Dass y = y (x), in Dieem Fall y als Konstante AnteseHen Wird, verenn x äsdert.

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