Sobre equações polinomiais

Use esta calculadora para ajudá-lo a resolver equações polinomiais, mostrando todas as etapas do processo. A equação fornecida pode ter termos polinomiais à esquerda e à direita da equação.

Por exemplo, você pode fornecer uma equação como 3x^3 - 2x = 1 + x, que pode ser derivada da tentativa de encontrar a interseção dos gráficos de uma função cúbica e linear. Qualquer equação polinomial serve, com coeficientes inteiros ou de fração, ou qualquer expressão numérica válida.

Uma vez que uma equação polinomial é digitada na caixa do formulário, você precisa clicar em "Calcular", que mostrará todas as etapas do processo e soluções.

Um aviso, nem todas as equações polinomiais podem ser resolvidas com ferramentas básicas. Não existe uma fórmula sistemática para lidar com equações polinomiais de grau 5 ou superior. Além disso, lidamos com a dificuldade adicional de que as soluções para uma equação polinomial podem ser números complexos.

O que é uma equação polinomial

Uma equação polinomial, em termos simples, é uma equação em que ambos os lados contêm polinômios. Matematicamente, uma equação polinomial é da forma:

\[\displaystyle p(x) = q(x) \]

onde \(p(x)\) e \(q(x)\) são polinômios. Por exemplo, \(3x+1 = x^2-2\) é uma equação polinomial, mas \(\sin(3x+1) = x^2-2\) não é.

Quais são as etapas para resolver equações polinomiais?

• Passo 1: Identifique a equação com a qual deseja trabalhar, indicando claramente os termos do lado esquerdo e direito e verifique se são polinômios
• Passo 2: Simplifique cada lado o máximo possível. Passe todos os termos de um dos lados para o outro (se ambos os lados tiverem termos)
• Estágio 3: Agora você tem uma equação polinomial que é igual a zero, então precisamos encontrar as raízes do polinômio
• Passo 4: Tentamos com possíveis raízes racionais, divisão polinomial para redução e fórmula quadrática, conforme mostrado na calculadora polinomial zero para encontrar as soluções, se possível

Você descobrirá que resolver equações polinomiais, como encontrar raízes de um polinômio, está longe de ser trivial para todos os casos. Certamente, alguns exemplos específicos podem ser muito simples, mas quando o expoente dos polinômios envolvidos é grande, o processo pode ser muito difícil ou simplesmente impossível.

As equações quadráticas também são equações polinomiais?

Sim, de fato! Uma equação quadrática é uma equação com um polinômio de grau 2 no lado esquerdo, e 0 (que também é um polinômio) no lado direito, então cabe na definição.

De Fato, equações quadráticas são os melhores que podemos resolver com ferramentas simples. Embora existam fórmulas para equações cúbicas e quárticas, não existe uma fórmula geral para grau 5 ou superior. Então, muitas vezes dependemos de computadores para encontrar aproximações numéricas.

Além disso, não apenas o expoente do polinômio pode tornar uma equação difícil de resolver, mas também os complicados coeficientes polinomiais podem certamente tornar as coisas mais difíceis.

Como os gráficos de polinômios estão relacionados às equações polinomiais?

Existem diferentes maneiras de ver isso, mas uma maneira é perceber que, ao tentar encontrar a interseção de diferentes polinômios, estamos de fato resolvendo uma equação polinomial. Portanto, há problemas estreitamente relacionados.

Exemplo: resolução de equações polinomiais

Calcule a seguinte equação polinomial: \(x^2 = x^3\)

Solução: Temos que resolver \(x^2 = x^3\), então passamos \(x^3\) para o outro lado, então obtemos

\[ x^2 - x^3 = 0\]

e a fatoração leva a:

\[ x^2(1 - x) = 0\]

Então existem duas soluções: \(x_1 = 0\) (que tem multiplicidade 2) e \(x_2 = 1\).

Exemplo: resolução de equações polinomiais

Quais são as soluções da seguinte equação: \(\frac{2}{3} x^2 + \frac{5}{4} x = \frac{1}{3} x^2 - \frac{5}{6}\)

Solução: Precisamos resolver a seguinte equação:

\[\displaystyle \frac{2}{3}x^2+\frac{5}{4}x=\frac{1}{3}x^2-\frac{5}{6}\]

Estado Inicial: Neste caso, primeiro precisamos simplificar a equação dada \(\displaystyle \frac{2}{3}x^2+\frac{5}{4}x=\frac{1}{3}x^2-\frac{5}{6} \), colocando todos os termos em um lado da equação, para obtermos:

Portanto, após simplificar, precisamos resolver a seguinte equação polinomial de ordem \(2\):

\[\displaystyle \frac{1}{3}x^2+\frac{5}{4}x+\frac{5}{6} = 0\]

Observe que o grau do polinômio dado é \(\displaystyle deg(p) = 2\), seu coeficiente líder é \(\displaystyle a_{2} = \frac{1}{3}\) e seu coeficiente constante é \(\displaystyle a_0 = \frac{5}{6}\).

Precisamos resolver a seguinte equação quadrática \(\displaystyle \frac{1}{3}x^2+\frac{5}{4}x+\frac{5}{6}=0\).

Para uma equação quadrática da forma \(a x^2 + bx + c = 0\), as raízes são calculadas usando a seguinte fórmula:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

Neste caso, temos que a equação que precisamos resolver é \(\displaystyle \frac{1}{3}x^2+\frac{5}{4}x+\frac{5}{6} = 0\), o que implica que os coeficientes correspondentes são:

\[a = \frac{1}{3}\] \[b = \frac{5}{4}\] \[c = \frac{5}{6}\]

Primeiro, calcularemos o discriminante para avaliar a natureza das raízes. A discriminação é calculada como:

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( \frac{5}{4}\right)^2 - 4 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)\cdot \left(\frac{5}{6}\right) = \frac{65}{144}\]

Como neste caso obtemos o discriminante \(\Delta = \displaystyle \frac{65}{144} > 0\), que é positivo, sabemos que a equação tem duas raízes reais diferentes.

Agora, inserindo esses valores na fórmula das raízes, obtemos:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{-\frac{5}{4} \pm \sqrt{\left(\frac{5}{4}\right)^2-4\left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{5}{6}\right)}}{2\cdot \frac{1}{3}} = \displaystyle \frac{-\frac{5}{4} \pm \sqrt{\frac{65}{144}}}{\frac{2}{3}}\]

então, descobrimos que:

\[ x_1 = -\frac{\frac{5}{4}}{\frac{2}{3}}-\frac{1}{\frac{2}{3}}\sqrt{\frac{65}{144}}=-\frac{\frac{5}{4}}{\frac{2}{3}}-\frac{1}{\frac{2}{3}}\cdot\frac{1}{12}\sqrt{65}=-\frac{5}{4}\cdot \frac{3}{2}-\frac{\frac{1\cdot 3}{2}\cdot 1}{12}\sqrt{65}=-\frac{15}{8}+1\cdot \left(-\frac{1}{8}\right)\sqrt{65}=-\frac{15}{8}-\frac{1}{8}\sqrt{65} \] \[x_2 = -\frac{\frac{5}{4}}{\frac{2}{3}}+\frac{1}{\frac{2}{3}}\sqrt{\frac{65}{144}}=-\frac{\frac{5}{4}}{\frac{2}{3}}+\frac{1}{\frac{2}{3}}\cdot\frac{1}{12}\sqrt{65}=-\frac{15}{8}+1\cdot \frac{1}{8}\sqrt{65}=-\frac{15}{8}+\frac{1}{8}\sqrt{65}\]

Neste caso, a equação quadrática \( \displaystyle \frac{1}{3}x^2+\frac{5}{4}x+\frac{5}{6} = 0 \), possui duas raízes reais, então:

\[\displaystyle \frac{1}{3}x^2+\frac{5}{4}x+\frac{5}{6} = \frac{1}{3} \left(x+\frac{1}{8}\sqrt{65}+\frac{15}{8}\right)\left(x-\frac{1}{8}\sqrt{65}+\frac{15}{8}\right)\]

então o polinômio original é fatorado como \(\displaystyle p(x) = \frac{1}{3}x^2+\frac{5}{4}x+\frac{5}{6} = \frac{1}{3} \left(x+\frac{1}{8}\sqrt{65}+\frac{15}{8}\right)\left(x-\frac{1}{8}\sqrt{65}+\frac{15}{8}\right) \), o que completa a fatoração.

Conclusão : A solução para a equação polinomial encontrada usando o processo de fatoração são \(-\frac{1}{8}\sqrt{65}-\frac{15}{8}\) e \(\frac{1}{8}\sqrt{65}-\frac{15}{8}\) .

Mais calculadoras polinomiais

As equações de polinômios aparecem tão naturalmente na álgebra que são um dos tópicos mais importantes da álgebra. Quando você está procurando a interseção de dois parábolas , você vai precisar resolver uma equação polinomial , apenas para mencionar uma situação entre muitas.

O caso mais simples de uma equação polinomial é o caso quando você resolve um equação linear , o que é de fato um caso trivial. Qualquer coisa que não seja linear exigirá muito mais trabalho.

Resolver a equação polinomial não é simples, especialmente para maiores graus polinomiais . De fato, existe a possibilidade certa de que você não consiga encontrar todas as soluções de uma determinada equação manualmente (ou qualquer solução).

A melhor alternativa manual envolve agrupar todos os termos polinomiais de um lado para reduzi-lo a encontrar os zeros de um polinômio . Então, usamos a fórmula quadrática quando possível e tentamos reduzir a ordem do polinômio por divisão polinomial e a teorema do fator .