Calculadora de fator polinomial

Esta calculadora de fatoração com etapas permitirá que você encontre o fator completamente de um determinado polinômio que você fornecer, mostrando todas as etapas do processo.

O polinômio que você fornecer precisa ser válido, algo simples como p(x) = x^3 - x + 1, ou pode ser mais complicado, com coeficientes que são frações ou qualquer expressão numérica válida.

Depois de fornecer um polinômio válido, você pode clicar no botão "Calcular" e receberá todo o passo a passo do processo necessário para fatorar completamente o polinômio fornecido, um processo que pode ser razoavelmente trabalhoso é feito à mão, especialmente quando o grau do polinômio é alto.

Não há como exagerar a importância de saber como fatorar polinômios, pois eles estão no centro de muitas aplicações em Álgebra, Cálculo, Finanças e Engenharia.

Como fatorar polinômios?

Exceto para polinômios quadráticos, fatorar polinômios não é necessariamente fácil e pode trazer dificuldades quando feito à mão. Há uma série de etapas que você deve seguir para melhorar suas alterações de, pelo menos, encontrar alguns dos fatores

Etapas da calculadora de fator

• Passo 1: Identifique a expressão com a qual está trabalhando, simplifique-a o máximo possível e certifique-se de que seja um polinômio. Se não for um polinômio, não há uma abordagem definitiva a seguir
• Passo 2: Depois de ter um polinômio simplificado, observe seu grau. Se for quadrático (grau 2), você pode usar o Fórmula quadrática para encontrar seus fatores
• Passo 3: Se o grau do polinômio for 3 ou superior, verifique o coeficiente constante, se for zero, significa que você pode fatorar x e reduzir o grau do polinômio que resta ser fatorado
• Passo 4: Depois de concluir a Etapa 4, você precisa testar os candidatos à raiz simples usando o teorema do zero racional. Se você encontrar qualquer raiz racional, esses são fatores da forma (x - a) (onde a é uma raiz racional), e então você divide o polinômio por esses fatores, então você reduz o grau do polinômio que você precisa fatorar
• Estágio 5: Repita as etapas anteriores até obter uma fatoração completa ou não poder fazer nenhuma redução adicional

Há uma coisa que embora seja técnica, precisa ser mencionada: a fatoração é feita sobre um campo , que é um tipo de estrutura algébrica. Normalmente, o corpo que usamos é o campo dos números reais.

Se usarmos a calculadora de fatores para o campo de números reais, nem todos os fatores serão da forma $x - a$, pois também podemos ter fatores quadráticos, que são irredutíveis no corpo real. Por exemplo, $x^2 + x + 10$ não pode ser reduzido a fatores lineares reais, porque o Equação quadrática $x^2 + x + 10 = 0$ tem raízes complexas.

Portanto, na Etapa 3, ao lidar com uma função quadrática, o fator pode ser ele mesmo, se suas raízes forem complexas.

Fatores e raízes

A maneira de usar um processo de cálculo de fatoração é essencialmente tentar diferentes tipos de fatoração explorando certas simetrias ou encontrando raízes. Encontrar simetrias não é uma coisa certa, pois realmente depende de regularidades específicas que podem ser encontradas, que não são comuns a todos os polinômios.

Fatoração por inspeção ou por agrupamento é comumente tentada, mas requer padrões específicos que nem sempre existem. Vale a pena inspecionar um polinômio para ver se algo direto pode ser feito, mas a abordagem de fatorar por encontrar raízes é mais sistemática e funcionará em mais casos do que os métodos de inspeção.

Erros comuns a evitar

É crucial entender que o fator de um polinômio está intimamente relacionado a encontrar sua raiz, que é tudo englobado no teorema do fator . Portanto, saber como fatorar depende da sua capacidade de saber como encontrar as raízes de um polinômio.

Não haverá uma fórmula, a menos que você esteja lidando com uma função quadrática. Para graus mais elevados, você tem diferentes alternativas: você pode usar o processo sistemático descrito acima, ou pode tentar adivinhar e tentar fazer fatoração por inspeção, ou tentar usar outras alternativas como fatoração por agrupamento .

Exemplo: fatores polinomiais

Fatore completamente: $p(x) = x^5 - 3x^4 + 3x^3 - 3x^2 + 2x$

Solução: O seguinte polinômio foi fornecido: $\displaystyle p(x) = x^5-3x^4+3x^3-3x^2+2x$, que precisa ser totalmente fatorado nos números reais.

Estado Inicial: A expressão polinomial fornecida é irredutível, então não há nada para simplificar. Podemos proceder à fatoração.

Observe que o grau do polinômio dado é $\displaystyle deg(p) = 5$, seu coeficiente líder é $\displaystyle a_{5} = 1$ e seu coeficiente constante é $\displaystyle a_0 = 0$.

Candidatos A Raízes Racionais : Como o primeiro termo com um coeficiente diferente de zero em $p(x)$ é $x$, podemos fatorar esse termo para obter

$$\displaystyle p(x) = x^5-3x^4+3x^3-3x^2+2x = x \left(x^4-3x^3+3x^2-3x+2 \right)$$

mas o termo entre parênteses tem grau maior que 2, então não existe uma fórmula elementar para fatorá-lo. Precisamos testar possíveis raízes racionais.

A próxima tarefa é encontrar os números inteiros que dividem o coeficiente líder $a_{4}$ e o coeficiente constante $a_0$, que serão usados para construir nossos candidatos a zeros da equação polinomial.

▹ Os divisores de $a_{4} = 1$ são: $\pm 1$.

▹ Os divisores de $a_0 = 2$ são: $\pm 1,\pm 2$.

Portanto, dividindo cada divisor do coeficiente constante $a_0 = 2$ por cada divisor do coeficiente líder $a_{4} = 1$, encontramos a seguinte lista de candidatos a raízes:

$$\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 2}{ 1}$$

Agora, todos os candidatos precisam ser testados para ver se são uma solução. O seguinte é obtido a partir do teste de cada candidato:

$$\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle \left(-1\right)^4-3\cdot \left(-1\right)^3+3\cdot \left(-1\right)^2-3\cdot \left(-1\right)+2 & = & \displaystyle 12 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 1^4-3\cdot 1^3+3\cdot 1^2-3\cdot 1+2 & = & \displaystyle 0 \\\\ x & = & \displaystyle -2 &:&    & \displaystyle \left(-2\right)^4-3\cdot \left(-2\right)^3+3\cdot \left(-2\right)^2-3\cdot \left(-2\right)+2 & = & \displaystyle 60 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 2 &:&    & \displaystyle 2^4-3\cdot 2^3+3\cdot 2^2-3\cdot 2+2 & = & \displaystyle 0 \\\\ \end{array}$$

Divisão Polinomial : Como não temos raízes suficientes entre os candidatos racionais, vamos dividir $\displaystyle x^4-3x^3+3x^2-3x+2$ pelo produto dos fatores derivados das raízes racionais, que é $\displaystyle \left(x-1\right)\left(x-2\right)$.

Passo 1: O termo inicial do dividendo $\displaystyle p(x) = x^4-3x^3+3x^2-3x+2$ é $\displaystyle x^4$, enquanto o termo inicial do divisor $\displaystyle s(x) = x^2-3x+2$ é igual a $\displaystyle x^2$.

Então, o termo que precisamos multiplicar $x^2$ para chegar ao termo inicial do dividendo é $\displaystyle \frac{ x^4}{ x^2} = x^2$, então adicionamos esse termo ao quociente. Além disso, multiplicamos isso pelo divisor para obter $\displaystyle x^2 \cdot \left(x^2-3x+2\right) = x^4-3x^3+2x^2$, que precisamos subtrair ao dividendo:

$$\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{rccccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle & \displaystyle &&\\[0.3em] \hline x^2-3x+2\,) & \displaystyle x^4 & \displaystyle -3x^3 & \displaystyle +3x^2 & \displaystyle -3x & \displaystyle +2\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle -x^4 & \displaystyle +3x^3 & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle x^2 & \displaystyle -3x & \displaystyle +2\\[0.3em] \end{array}$$

Passo 2: Nesse caso, o termo inicial do restante atual $\displaystyle x^2-3x+2$ é $\displaystyle x^2$ e sabemos que o termo inicial do divisor é $\displaystyle x^2$.

Então, o termo que precisamos multiplicar $x^2$ para chegar ao termo inicial do resto atual é $\displaystyle \frac{ x^2}{ x^2} = 1$, então adicionamos esse termo ao quociente. Além disso, multiplicamos isso pelo divisor para obter $\displaystyle 1 \cdot \left(x^2-3x+2\right) = x^2-3x+2$, que precisamos subtrair do lembrete atual:

$$\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{rccccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle & \displaystyle +1&&\\[0.3em] \hline x^2-3x+2\,) & \displaystyle x^4 & \displaystyle -3x^3 & \displaystyle +3x^2 & \displaystyle -3x & \displaystyle +2\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle -x^4 & \displaystyle +3x^3 & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle x^2 & \displaystyle -3x & \displaystyle +2\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -x^2 & \displaystyle +3x & \displaystyle -2\\[0.3em] \hline \displaystyle & & & & & 0\\[0.3em] \end{array}$$

Portanto, o quociente é $\displaystyle q(x) = x^2+1$ e o resto é $\displaystyle r(x) = 0$.

Então, depois de dividir, avançamos na fatoração com

$$\displaystyle p(x) = x^5-3x^4+3x^3-3x^2+2x = x \left(x-1\right)\left(x-2\right) \left(x^2+1\right)$$

Mas agora, como o quociente encontrado $\displaystyle x^2+1$ é quadrático, podemos encontrar suas raízes para ver se podemos fatorá-lo no corpo real.

Precisamos resolver a seguinte equação quadrática dada $\displaystyle x^2+1=0$.

Para uma equação quadrática da forma $a x^2 + bx + c = 0$, as raízes são calculadas usando a seguinte fórmula:

$$x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Neste caso, temos que a equação que precisamos resolver é $\displaystyle x^2+1 = 0$, o que implica que os coeficientes correspondentes são:

$$a = 1$$ $$b = 0$$ $$c = 1$$

Primeiro, calcularemos o discriminante para avaliar a natureza das raízes. A discriminação é calculada como:

$$\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( 0\right)^2 - 4 \cdot \left(1\right)\cdot \left(1\right) = -4$$

Como neste caso obtemos o discriminante $\Delta = \displaystyle -4 < 0$, que é negativo, sabemos que a equação dada tem duas raízes complexas conjugadas diferentes.

Agora, inserindo esses valores na fórmula das raízes, obtemos:

$$x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{0 \pm \sqrt{\left(0\right)^2-4\left(1\right)\left(1\right)}}{2\cdot 1} = \displaystyle \frac{0 \pm \sqrt{-4}}{2}$$

então, descobrimos que:

$$\displaystyle x_1 = \frac{0 - i \sqrt{4}}{2} = -i$$ $$\displaystyle x_2 = \frac{0 + i \sqrt{4}}{2} = i$$

Então, depois de encontrar as raízes da última parte quadrática, encontramos duas raízes complexas, então não podemos fatorar o termo $x^2+1$ no corpo real, então terminamos o processo com $\displaystyle p(x) = x^5-3x^4+3x^3-3x^2+2x = x \left(x-1\right)\left(x-2\right) \left(x^2+1\right)$.

Conclusão : Portanto, a fatoração final que obtemos é:

$$\displaystyle p(x) = x^5-3x^4+3x^3-3x^2+2x = x\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x^2+1\right)$$

As raízes encontradas usando o processo de fatoração são $0$,$1$,$2$,$-i$ e $i$ .

Exemplo: cálculo de fator

Encontre os fatores de: $p(x) = x^4 - 2x^3 - x^2 + 2x$

Solução: Agora precisamos fatorar: $\displaystyle p(x) = x^4-2x^3-x^2+x$.

Estado Inicial: A expressão polinomial fornecida não pode ser reduzida, e então podemos proceder diretamente para fatorá-la.

Candidatos A Raízes Racionais : Como o primeiro termo com um coeficiente diferente de zero em $p(x)$ é $x$, podemos fatorar esse termo para obter

$$\displaystyle p(x) = x^4-2x^3-x^2+x = x \left(x^3-2x^2-x+1 \right)$$

mas o termo entre parênteses tem grau maior que 2, então não existe uma fórmula elementar para fatorá-lo. Precisamos testar possíveis raízes racionais.

A próxima tarefa é encontrar os números inteiros que dividem o coeficiente líder $a_{3}$ e o coeficiente constante $a_0$, que serão usados para construir nossos candidatos a zeros da equação polinomial.

▹ Os divisores de $a_{3} = 1$ são: $\pm 1$.

▹ Os divisores de $a_0 = 1$ são: $\pm 1$.

Portanto, dividindo cada divisor do coeficiente constante $a_0 = 1$ por cada divisor do coeficiente líder $a_{3} = 1$, encontramos a seguinte lista de candidatos a raízes:

$$\pm \frac{ 1}{ 1}$$

Agora, todos os candidatos precisam ser testados para ver se são uma solução. O seguinte é obtido a partir do teste de cada candidato:

$$\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle \left(-1\right)^3-2\cdot \left(-1\right)^2-\left(-1\right)+1 & = & \displaystyle -1 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 1^3-2\cdot 1^2-1+1 & = & \displaystyle -1 \ne 0 \\\\ \end{array}$$

Mas como não encontramos raízes racionais por inspeção, não podemos continuar com a fatoração usando métodos elementares, então o processo para aqui.

Conclusão : Portanto, neste caso, obtemos:

$$\displaystyle p(x) = x^4-2x^3-x^2+x = x\left(x^3-2x^2-x+1\right)$$

Portanto, a única raiz encontrada usando o processo de fatoração é $0$.

Exemplo: cálculo de fatoração

Fatore completamente $p(x) = x^3 - \frac{7}{2}x^2 + \frac{7}{2}x - 1$. Quais são as raízes desse polinômio?

Solução: Para este exemplo, temos $\displaystyle p(x) = x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1$ e usaremos o processo de fatoração como ferramenta para calcular suas raízes.

Estado Inicial: A expressão polinomial fornecida é irredutível, então não há nada para simplificar. Podemos proceder à fatoração.

Precisamos tentar encontrar raízes racionais simples primeiro, o que é alcançado com a ajuda do Teorema da Raiz Racional.

A próxima tarefa é encontrar os números inteiros que dividem o coeficiente líder $a_{3}$ e o coeficiente constante $a_0$, que serão usados para construir nossos candidatos a zeros da equação polinomial.

▹ Os divisores inteiros de $a_{3} = 1$ são: $\pm 1$.

▹ Os divisores inteiros de $a_0 = -1$ são: $\pm 1$.

Portanto, dividimos cada divisor do coeficiente constante $a_0 = -1$ por todo e qualquer divisor do coeficiente principal $a_{3} = 1$, para que possamos encontrar uma lista de candidatos racionais a raízes:

$$\pm \frac{ 1}{ 1}$$

Agora, todos os candidatos precisam ser testados para ver se são uma solução. O seguinte é obtido a partir do teste de cada candidato:

$$\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle \left(-1\right)^3-\frac{7}{2}\cdot \left(-1\right)^2+\frac{7}{2}\cdot \left(-1\right)-1 & = & \displaystyle -9 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 1^3-\frac{7}{2}\cdot 1^2+\frac{7}{2}\cdot 1-1 & = & \displaystyle 0 \\\\ \end{array}$$

Processo De Divisão Polinomial : Não temos raízes racionais suficientes dos candidatos encontrados com o Teorema do Racional Zero, então dividiremos $\displaystyle x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1$ pelo produto desses fatores racionais derivados dos candidatos racionais racionais, o que leva a $\displaystyle \left(x-1\right)$ .

Passo 1: O termo inicial do dividendo $\displaystyle p(x) = x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1$ é $\displaystyle x^3$, enquanto o termo inicial do divisor $\displaystyle s(x) = x-1$ é igual a $\displaystyle x$.

Então, o termo que precisamos multiplicar $x$ para chegar ao termo inicial do dividendo é $\displaystyle \frac{ x^3}{ x} = x^2$, então adicionamos esse termo ao quociente. Além disso, multiplicamos isso pelo divisor para obter $\displaystyle x^2 \cdot \left(x-1\right) = x^3-x^2$, que precisamos subtrair ao dividendo:

$$\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{rcccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle & \displaystyle &\\[0.3em] \hline x-1\,) & \displaystyle x^3 & \displaystyle -\frac{7}{2}x^2 & \displaystyle +\frac{7}{2}x & \displaystyle -1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle -x^3 & \displaystyle +x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{5}{2}x^2 & \displaystyle +\frac{7}{2}x & \displaystyle -1\\[0.3em] \end{array}$$

Passo 2: Agora, o termo inicial do restante atual $\displaystyle -\frac{5}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1$ é $\displaystyle -\frac{5}{2}x^2$, e sabemos que o termo inicial do divisor é $\displaystyle x$.

Então, o termo que precisamos multiplicar $x$ para chegar ao termo inicial do resto atual é $\displaystyle \frac{ -\frac{5}{2}x^2}{ x} = -\frac{5}{2}x$, então adicionamos esse termo ao quociente. Além disso, multiplicamos isso pelo divisor para obter $\displaystyle -\frac{5}{2}x \cdot \left(x-1\right) = -\frac{5}{2}x^2+\frac{5}{2}x$, que precisamos subtrair do lembrete atual:

$$\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{rcccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle -\frac{5}{2}x & \displaystyle &\\[0.3em] \hline x-1\,) & \displaystyle x^3 & \displaystyle -\frac{7}{2}x^2 & \displaystyle +\frac{7}{2}x & \displaystyle -1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle -x^3 & \displaystyle +x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{5}{2}x^2 & \displaystyle +\frac{7}{2}x & \displaystyle -1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle \frac{5}{2}x^2 & \displaystyle -\frac{5}{2}x & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle x & \displaystyle -1\\[0.3em] \end{array}$$

Passo 3: Agora, o termo inicial do restante atual $\displaystyle x-1$ é $\displaystyle x$, e sabemos que o termo inicial do divisor é $\displaystyle x$.

Então, o termo que precisamos multiplicar $x$ para chegar ao termo inicial do resto atual é $\displaystyle \frac{ x}{ x} = 1$, então adicionamos esse termo ao quociente. Além disso, multiplicamos isso pelo divisor para obter $\displaystyle 1 \cdot \left(x-1\right) = x-1$, que precisamos subtrair do lembrete atual:

$$\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{rcccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle -\frac{5}{2}x & \displaystyle +1&\\[0.3em] \hline x-1\,) & \displaystyle x^3 & \displaystyle -\frac{7}{2}x^2 & \displaystyle +\frac{7}{2}x & \displaystyle -1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle -x^3 & \displaystyle +x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{5}{2}x^2 & \displaystyle +\frac{7}{2}x & \displaystyle -1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle \frac{5}{2}x^2 & \displaystyle -\frac{5}{2}x & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle x & \displaystyle -1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -x & \displaystyle +1\\[0.3em] \hline \displaystyle & & & & 0\\[0.3em] \end{array}$$

Portanto, do quociente de divisão, concluímos que $\displaystyle q(x) = x^2-\frac{5}{2}x+1$, com resto $\displaystyle r(x) = 0$.

Assim, obteremos:

$$\displaystyle p(x) = x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1 = \left(x-1\right) \left(x^2-\frac{5}{2}x+1\right)$$

Mas a equação $\displaystyle x^2-\frac{5}{2}x+1$ é quadrática, então as raízes podem ser calculadas diretamente.

Então, precisamos calcular o discriminante para saber sobre a natureza das raízes. A fórmula para a discriminação é:

$$\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( -\frac{5}{2}\right)^2 - 4 \cdot \left(1\right)\cdot \left(1\right) = \frac{9}{4}$$

Mas vemos que o discriminante é $\Delta = \displaystyle \frac{9}{4} > 0$, que é positivo e, portanto, concluímos que a equação tem duas raízes reais diferentes.

Agora, inserimos esses valores para obter:

$$x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{\frac{5}{2} \pm \sqrt{\left(-\frac{5}{2}\right)^2-4\left(1\right)\left(1\right)}}{2\cdot 1} = \displaystyle \frac{\frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}}}{2}$$

então, descobrimos que:

$$x_1 = \frac{\frac{5}{2}}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{\frac{5}{2}}{2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}=\frac{5}{4}-\frac{3}{4}=\frac{1}{2}$$ $$x_2 = \frac{\frac{5}{2}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{\frac{5}{2}}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}=\frac{5}{4}+\frac{3}{4}=2$$

Com as soluções da equação quadrática acima, que tem duas raízes reais, decompomos ainda mais o polinômio original como: $\displaystyle p(x) = x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1 = \left(x-1\right) \left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-2\right)$.

Conclusão : Portanto, neste caso, alcançamos uma simplificação completa:

$$\displaystyle p(x) = x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1 = \left(x-1\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-2\right)$$

Com base na fatoração acima, as raízes encontradas são: $1$,$\frac{1}{2}$ e $2$ .

Mais calculadoras polinomiais

Há muitas coisas que você pode fazer com polinômios, você pode grafá-los , você pode analisar seu comportamento final, mas essas são tarefas acessórias mais simples em relação à tarefa principal que é fatorando um polinômio e encontrando suas raízes.

O problema geral dos graus superiores é complicado, e geralmente nos reduzimos a funções quadráticas , e potencialmente funções cúbicas que têm certas simetrias que permitem uma fatoração fácil.