Instruções:
Use esta calculadora do Teorema Racional do Zero para tentar encontrar raízes racionais para qualquer equação polinomial que você fornecer, mostrando todas as etapas. Por favor, digite uma equação polinomial na caixa de formulário abaixo.
Mais sobre o teorema racional do zero
Use esta calculadora para aplicar o Teorema Racional do Zero a qualquer equação polinomial válida que você fornecer, mostrando todas as etapas. Tudo o que você precisa fazer é fornecer uma equação polinomial válida, como 4x^3 + 4x^2 + 12 = 0, ou talvez uma equação que não seja totalmente simplificada, como x^3 + 2x = 3x^2 - 2/3, pois a calculadora cuidará de sua simplificação.
Quando terminar de digitar a equação polinomial para a qual deseja encontrar as raízes racionais, você precisará clicar em "Calcular" e todas as etapas do processo serão fornecidas para você. botão, e você será fornecido com todas as etapas dos cálculos.
Observe que o Teorema do Racional Zero permite testar racionais que
poderia ser
soluções, mas não necessariamente raízes. Você está apenas testando candidatos em potencial.
O Teorema Racional do Zero não é uma ferramenta para encontrar TODAS as raízes de uma equação polinomial. O que ele faz é afirmar que SE houver um
raiz racional
a estas equações polinomiais, então deve estar entre este conjunto proposto de candidatos, algo como uma 'short-list'.
Como usar o teorema racional do zero?
O Teorema Racional do Zero obtém uma equação polinomial e coloca todos os termos em um lado da equação. Em seguida, encontramos os divisores inteiros do coeficiente que multiplica o termo com a maior potência e os chamamos de {b1,...,,bi}, e também encontramos os divisores inteiros do coeficiente constante do termo com a maior potência e os chamamos de {a1,...,,aj}
Então, encontramos as raízes potenciais usando ±blak como candidatos, ou seja, elas são construídas tomando a divisão dos divisores inteiros correspondentes encontrados antes
Quais são as etapas usando o teorema racional do zero?
Passo 1
: Identifique a equação polinomial com a qual deseja trabalhar e simplifique-a, se necessário, para que fique na forma f(x) = a₀ + a₁x + ...+ a
n
x^n+c
Passo 2
: Encontre todos os divisores inteiros (positivos e negativos) de a₀ e a
n
Estágio 3
: Então você precisa calcular cada divisor único de a₀ e dividi-lo por cada divisor único de a
n
. Esta é a lista de seus candidatos racionais
Passo 4
: Você precisa passar por cada um dos elementos na lista de candidatos acima e verificar se eles são raízes da equação polinomial dada ou não
Novamente, isso não é necessariamente encontrar TODAS as raízes da equação polinomial dada. Tudo o que faz é encontrar uma lista de candidatos racionais, que contém raízes racionais se houver raízes racionais. Mas pode não haver raízes racionais.
Para o caso especial de uma equação polinomial de ordem 2, você pode usar diretamente este
Solucionador de Equações Quadráticas
, que fornecerá todas as etapas.
Encontre todos os zeros racionais possíveis
Então, o que esta calculadora faz é apenas isso, encontrar a lista de todos os possíveis zeros racionais, que é um ótimo ponto de partida para encontrar raízes, porque então você usa a divisão polinomial para continuar resolvendo a equação.
Encontrando zeros de uma função polinomial
Encontrar zeros de uma função polinomial é uma tarefa difícil, especialmente quando o
grau polinomial
é grande. Em geral, um polinômio de ordem n terá n raízes, como afirma o
Teorema Fundamental da Álgebra
, e essas raízes podem ser reais, repetidas reais ou complexas. Isso torna a busca mais difícil.
Tentar encontrar raízes simples primeiro (como raízes inteiras e racionais) é a melhor estratégia possível, pois, se você encontrar raízes simples, poderá usar o teorema da fatoração para reduzir o grau do polinômio com o qual está trabalhando.
O teste do zero racional
Embora você possa obter raízes numéricas para uma equação polinomial usando software especializado, usar o teste de zero racional é um ótimo exercício para tentar encontrar primeiro uma solução inteira e racional. É uma estratégia inteligente e fornece uma lista que conterá as raízes racionais de uma equação, se houver.
Exemplo: aplicação do teorema rational zero
Use o teste do zero racional para encontrar as raízes racionais de: 3x4+3x3−x+14=0
Solução:
>A seguinte equação polinomial foi fornecida:
3x4+3x3−x+14=0
para o qual precisamos usar o Teorema Racional do Zero, a fim de encontrar raízes racionais potenciais para a equação acima.
A equação polinomial de ordem 4 já tem todos os termos de um lado e já está simplificada, não sendo necessária nenhuma simplificação adicional.
Agora, precisamos encontrar os números inteiros que dividem o coeficiente líder a4 e o coeficiente constante a0, que serão usados para construir nossos candidatos a zeros da equação polinomial.
▹ Os divisores de a4=3 são: ±1,±3.
▹ Os divisores de a0=14 são: ±1,±2,±7,±14.
Portanto, dividindo cada divisor do coeficiente constante a0=14 por cada divisor do coeficiente líder a4=3, encontramos a seguinte lista de candidatos a raízes:
±11,±31,±12,±32,±17,±37,±114,±314
Agora, todos os candidatos precisam ser testados para ver se são uma solução. O seguinte é obtido a partir do teste de cada candidato:
Não há necessidade de mais simplificações porque a equação polinomial de ordem 10 já possui todos os termos de um lado.
Devemos agora identificar os números inteiros que dividem o coeficiente principal a10 e o coeficiente constante a0, com base nos quais criaremos nossos candidatos para os zeros da equação polinomial.
Os divisores de a10=1 são: ±1.
Os divisores de a0=−4 são: ±1,±2,±4.
Portanto, dividindo cada divisor do coeficiente constante a0=−4 por cada divisor do coeficiente líder a10=1, encontramos a seguinte lista de candidatos a raízes:
±11,±12,±14
Agora, todos os candidatos precisam ser testados para ver se são uma solução. O seguinte é obtido a partir do teste de cada candidato:
Conclusão:
Portanto, nenhum dos candidatos é uma raiz e, portanto, a equação polinomial original não possui raízes racionais.
Exemplo: aplicação do teorema rational zero
Use o teste do zero racional para encontrar as raízes racionais de: x3−38x2+919x−94=0
Solução:
Agora precisamos trabalhar com:
x3−38x2+919x−94=0
Precisamos encontrar os números inteiros que dividem o coeficiente líder a3 e o coeficiente constante a0.
Observação:
Neste caso, observamos que para termos coeficiente constante e líder precisamos amplificar ambos os lados da equação por 9. A equação equivalente é:
9x3−24x2+19x−4=0
▹ Os divisores de a3=9 são: ±1,±3,±9.
▹ Os divisores de a0=−4 são: ±1,±2,±4.
Portanto, dividindo cada divisor do coeficiente constante a0=−4 por cada divisor do coeficiente líder a3=9, encontramos a seguinte lista de candidatos a raízes:
±11,±31,±91,±12,±32,±92,±14,±34,±94
Todos os candidatos devem agora ser testados para determinar se eles são uma solução. Os seguintes resultados são obtidos depois de testar cada um:
Conclusão:
Então, neste caso, dentre os candidatos propostos, encontramos as raízes racionais x=1,x=31 e x=34 e então, o termo (x−1)(x−31)(x−34) divide a expressão polinomial x3−38x2+919x−94.
