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Calculadora de teorema zero racional

Instruções: Use esta calculadora do Teorema Racional do Zero para tentar encontrar raízes racionais para qualquer equação polinomial que você fornecer, mostrando todas as etapas. Por favor, digite uma equação polinomial na caixa de formulário abaixo.

Digite uma equação polinomial (Ex: 2x^3 + 5x + 14 = 0, etc.)

Mais sobre o teorema racional do zero

Use esta calculadora para aplicar o Teorema Racional do Zero a qualquer equação polinomial válida que você fornecer, mostrando todas as etapas. Tudo o que você precisa fazer é fornecer uma equação polinomial válida, como 4x^3 + 4x^2 + 12 = 0, ou talvez uma equação que não seja totalmente simplificada, como x^3 + 2x = 3x^2 - 2/3, pois a calculadora cuidará de sua simplificação.

Quando terminar de digitar a equação polinomial para a qual deseja encontrar as raízes racionais, você precisará clicar em "Calcular" e todas as etapas do processo serão fornecidas para você. botão, e você será fornecido com todas as etapas dos cálculos.

Observe que o Teorema do Racional Zero permite testar racionais que poderia ser soluções, mas não necessariamente raízes. Você está apenas testando candidatos em potencial.

O Teorema Racional do Zero não é uma ferramenta para encontrar TODAS as raízes de uma equação polinomial. O que ele faz é afirmar que SE houver um raiz racional a estas equações polinomiais, então deve estar entre este conjunto proposto de candidatos, algo como uma 'short-list'.

Calculadora De Teorema Zero Racional

Como usar o teorema racional do zero?

O Teorema Racional do Zero obtém uma equação polinomial e coloca todos os termos em um lado da equação. Em seguida, encontramos os divisores inteiros do coeficiente que multiplica o termo com a maior potência e os chamamos de \(\{b_1, ...,, b_i\}\), e também encontramos os divisores inteiros do coeficiente constante do termo com a maior potência e os chamamos de \(\{a_1, ...,, a_j\}\)

Então, encontramos as raízes potenciais usando \(\pm\frac{a_k}{b_l}\) como candidatos, ou seja, elas são construídas tomando a divisão dos divisores inteiros correspondentes encontrados antes

Quais são as etapas usando o teorema racional do zero?

  • Passo 1 : Identifique a equação polinomial com a qual deseja trabalhar e simplifique-a, se necessário, para que fique na forma f(x) = a₀ + a₁x + ...+ a n x^n+c
  • Passo 2 : Encontre todos os divisores inteiros (positivos e negativos) de a₀ e a n
  • Estágio 3 : Então você precisa calcular cada divisor único de a₀ e dividi-lo por cada divisor único de a n . Esta é a lista de seus candidatos racionais
  • Passo 4 : Você precisa passar por cada um dos elementos na lista de candidatos acima e verificar se eles são raízes da equação polinomial dada ou não

Novamente, isso não é necessariamente encontrar TODAS as raízes da equação polinomial dada. Tudo o que faz é encontrar uma lista de candidatos racionais, que contém raízes racionais se houver raízes racionais. Mas pode não haver raízes racionais.

Para o caso especial de uma equação polinomial de ordem 2, você pode usar diretamente este Solucionador de Equações Quadráticas , que fornecerá todas as etapas.

Encontre todos os zeros racionais possíveis

Então, o que esta calculadora faz é apenas isso, encontrar a lista de todos os possíveis zeros racionais, que é um ótimo ponto de partida para encontrar raízes, porque então você usa a divisão polinomial para continuar resolvendo a equação.

Encontrando zeros de uma função polinomial

Encontrar zeros de uma função polinomial é uma tarefa difícil, especialmente quando o grau polinomial é grande. Em geral, um polinômio de ordem n terá n raízes, como afirma o Teorema Fundamental da Álgebra , e essas raízes podem ser reais, repetidas reais ou complexas. Isso torna a busca mais difícil.

Tentar encontrar raízes simples primeiro (como raízes inteiras e racionais) é a melhor estratégia possível, pois, se você encontrar raízes simples, poderá usar o teorema da fatoração para reduzir o grau do polinômio com o qual está trabalhando.

O teste do zero racional

Embora você possa obter raízes numéricas para uma equação polinomial usando software especializado, usar o teste de zero racional é um ótimo exercício para tentar encontrar primeiro uma solução inteira e racional. É uma estratégia inteligente e fornece uma lista que conterá as raízes racionais de uma equação, se houver.

Calculadora De Teorema Zero Racional

Exemplo: aplicação do teorema rational zero

Use o teste do zero racional para encontrar as raízes racionais de: \(3 x^4 + 3x^3 - x + 14 = 0\)

Solução: >A seguinte equação polinomial foi fornecida:

\[\displaystyle 3 x^4 + 3x^3 - x + 14 = 0\]

para o qual precisamos usar o Teorema Racional do Zero, a fim de encontrar raízes racionais potenciais para a equação acima.

A equação polinomial de ordem \(4\) já tem todos os termos de um lado e já está simplificada, não sendo necessária nenhuma simplificação adicional.

Agora, precisamos encontrar os números inteiros que dividem o coeficiente líder \(a_{4}\) e o coeficiente constante \(a_0\), que serão usados para construir nossos candidatos a zeros da equação polinomial.

▹ Os divisores de \(a_{4} = 3\) são: \(\pm 1,\pm 3\).

▹ Os divisores de \(a_0 = 14\) são: \(\pm 1,\pm 2,\pm 7,\pm 14\).

Portanto, dividindo cada divisor do coeficiente constante \(a_0 = 14\) por cada divisor do coeficiente líder \(a_{4} = 3\), encontramos a seguinte lista de candidatos a raízes:

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 1}{ 3},\pm \frac{ 2}{ 1},\pm \frac{ 2}{ 3},\pm \frac{ 7}{ 1},\pm \frac{ 7}{ 3},\pm \frac{ 14}{ 1},\pm \frac{ 14}{ 3}\]

Agora, todos os candidatos precisam ser testados para ver se são uma solução. O seguinte é obtido a partir do teste de cada candidato:

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-1\right)^4+3\cdot\left(-1\right)^3-\left(-1\right)+14 & = & \displaystyle 15 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(1\right)^4+3\cdot\left(1\right)^3-1+14 & = & \displaystyle 19 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)^4+3\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)^3+\frac{ 1}{ 3}+14 & = & \displaystyle \frac{385}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\frac{1}{3}^4+3\cdot\frac{1}{3}^3-\frac{1}{3}+14 & = & \displaystyle \frac{373}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -2 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-2\right)^4+3\cdot\left(-2\right)^3-\left(-2\right)+14 & = & \displaystyle 40 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 2 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(2\right)^4+3\cdot\left(2\right)^3-2+14 & = & \displaystyle 84 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{2}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)^4+3\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)^3+\frac{ 2}{ 3}+14 & = & \displaystyle \frac{388}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{2}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\frac{2}{3}^4+3\cdot\frac{2}{3}^3-\frac{2}{3}+14 & = & \displaystyle \frac{400}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -7 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-7\right)^4+3\cdot\left(-7\right)^3-\left(-7\right)+14 & = & \displaystyle 6195 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 7 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(7\right)^4+3\cdot\left(7\right)^3-7+14 & = & \displaystyle 8239 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{7}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-\frac{7}{3}\right)^4+3\cdot\left(-\frac{7}{3}\right)^3+\frac{ 7}{ 3}+14 & = & \displaystyle \frac{1813}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{7}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\frac{7}{3}^4+3\cdot\frac{7}{3}^3-\frac{7}{3}+14 & = & \displaystyle \frac{3745}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -14 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-14\right)^4+3\cdot\left(-14\right)^3-\left(-14\right)+14 & = & \displaystyle 107044 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 14 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(14\right)^4+3\cdot\left(14\right)^3-14+14 & = & \displaystyle 123480 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{14}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-\frac{14}{3}\right)^4+3\cdot\left(-\frac{14}{3}\right)^3+\frac{ 14}{ 3}+14 & = & \displaystyle \frac{30688}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{14}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\frac{14}{3}^4+3\cdot\frac{14}{3}^3-\frac{14}{3}+14 & = & \displaystyle \frac{46900}{27} \ne 0 \\\\ \end{array}\]

Conclusão: Portanto, nenhum dos candidatos é raiz e, portanto, este método não nos permite encontrar soluções racionais neste caso.

Exemplo: aplicação do teorema rational zero

A equação : \(x^{10} - 4 = 0\) tem raízes racionais?

Solução: Precisamos tentar encontrar raízes racionais para:

\[\displaystyle x^{10}-4=0\]

usando o Teorema dos Zeros Racionais.

Não há necessidade de mais simplificações porque a equação polinomial de ordem 10 já possui todos os termos de um lado.

Devemos agora identificar os números inteiros que dividem o coeficiente principal \(a_{10}\) e o coeficiente constante \(a_0\), com base nos quais criaremos nossos candidatos para os zeros da equação polinomial.

Os divisores de \(a_{10} = 1\) são: \(\pm 1\).

Os divisores de \(a_0 = -4\) são: \(\pm 1,\pm 2,\pm 4\).

Portanto, dividindo cada divisor do coeficiente constante \(a_0 = -4\) por cada divisor do coeficiente líder \(a_{10} = 1\), encontramos a seguinte lista de candidatos a raízes:

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 2}{ 1},\pm \frac{ 4}{ 1}\]

Agora, todos os candidatos precisam ser testados para ver se são uma solução. O seguinte é obtido a partir do teste de cada candidato:

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle \left(-1\right)^{10}-4 & = & \displaystyle -3 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 1^{10}-4 & = & \displaystyle -3 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -2 &:&    & \displaystyle \left(-2\right)^{10}-4 & = & \displaystyle 1020 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 2 &:&    & \displaystyle 2^{10}-4 & = & \displaystyle 1020 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -4 &:&    & \displaystyle \left(-4\right)^{10}-4 & = & \displaystyle 1048572 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 4 &:&    & \displaystyle 4^{10}-4 & = & \displaystyle 1048572 \ne 0 \\\\ \end{array}\]

Conclusão: Portanto, nenhum dos candidatos é uma raiz e, portanto, a equação polinomial original não possui raízes racionais.

Exemplo: aplicação do teorema rational zero

Use o teste do zero racional para encontrar as raízes racionais de: \( x^3-\frac{8}{3}x^2+\frac{19}{9}x-\frac{4}{9}=0\)

Solução: Agora precisamos trabalhar com:

\[\displaystyle x^3-\frac{8}{3}x^2+\frac{19}{9}x-\frac{4}{9}=0\]

Precisamos encontrar os números inteiros que dividem o coeficiente líder \(a_{3}\) e o coeficiente constante \(a_0\).

Observação: Neste caso, observamos que para termos coeficiente constante e líder precisamos amplificar ambos os lados da equação por \(9\). A equação equivalente é:

\[9x^3-24x^2+19x-4 = 0\]

▹ Os divisores de \(a_{3} = 9\) são: \(\pm 1,\pm 3,\pm 9\).

▹ Os divisores de \(a_0 = -4\) são: \(\pm 1,\pm 2,\pm 4\).

Portanto, dividindo cada divisor do coeficiente constante \(a_0 = -4\) por cada divisor do coeficiente líder \(a_{3} = 9\), encontramos a seguinte lista de candidatos a raízes:

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 1}{ 3},\pm \frac{ 1}{ 9},\pm \frac{ 2}{ 1},\pm \frac{ 2}{ 3},\pm \frac{ 2}{ 9},\pm \frac{ 4}{ 1},\pm \frac{ 4}{ 3},\pm \frac{ 4}{ 9}\]

Todos os candidatos devem agora ser testados para determinar se eles são uma solução. Os seguintes resultados são obtidos depois de testar cada um:

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-1\right)^3-24\cdot\left(-1\right)^2+19\cdot\left(-1\right)-4 & = & \displaystyle -56 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(1\right)^3-24\cdot\left(1\right)^2+19\cdot\left(1\right)-4 & = & \displaystyle 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{3} &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)^3-24\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)^2+19\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)-4 & = & \displaystyle -\frac{40}{3} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{3} &:&    & \displaystyle 9\cdot\frac{1}{3}^3-24\cdot\frac{1}{3}^2+19\cdot\frac{1}{3}-4 & = & \displaystyle 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{9} &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-\frac{1}{9}\right)^3-24\cdot\left(-\frac{1}{9}\right)^2+19\cdot\left(-\frac{1}{9}\right)-4 & = & \displaystyle -\frac{520}{81} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{9} &:&    & \displaystyle 9\cdot\frac{1}{9}^3-24\cdot\frac{1}{9}^2+19\cdot\frac{1}{9}-4 & = & \displaystyle -\frac{176}{81} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -2 &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-2\right)^3-24\cdot\left(-2\right)^2+19\cdot\left(-2\right)-4 & = & \displaystyle -210 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 2 &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(2\right)^3-24\cdot\left(2\right)^2+19\cdot\left(2\right)-4 & = & \displaystyle 10 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{2}{3} &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)^3-24\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)^2+19\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)-4 & = & \displaystyle -30 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{2}{3} &:&    & \displaystyle 9\cdot\frac{2}{3}^3-24\cdot\frac{2}{3}^2+19\cdot\frac{2}{3}-4 & = & \displaystyle \frac{2}{3} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{2}{9} &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-\frac{2}{9}\right)^3-24\cdot\left(-\frac{2}{9}\right)^2+19\cdot\left(-\frac{2}{9}\right)-4 & = & \displaystyle -\frac{770}{81} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{2}{9} &:&    & \displaystyle 9\cdot\frac{2}{9}^3-24\cdot\frac{2}{9}^2+19\cdot\frac{2}{9}-4 & = & \displaystyle -\frac{70}{81} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -4 &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-4\right)^3-24\cdot\left(-4\right)^2+19\cdot\left(-4\right)-4 & = & \displaystyle -1040 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 4 &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(4\right)^3-24\cdot\left(4\right)^2+19\cdot\left(4\right)-4 & = & \displaystyle 264 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{4}{3} &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)^3-24\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)^2+19\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)-4 & = & \displaystyle -\frac{280}{3} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{4}{3} &:&    & \displaystyle 9\cdot\frac{4}{3}^3-24\cdot\frac{4}{3}^2+19\cdot\frac{4}{3}-4 & = & \displaystyle 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{4}{9} &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-\frac{4}{9}\right)^3-24\cdot\left(-\frac{4}{9}\right)^2+19\cdot\left(-\frac{4}{9}\right)-4 & = & \displaystyle -\frac{1456}{81} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{4}{9} &:&    & \displaystyle 9\cdot\frac{4}{9}^3-24\cdot\frac{4}{9}^2+19\cdot\frac{4}{9}-4 & = & \displaystyle \frac{40}{81} \ne 0 \\\\ \end{array}\]

Conclusão: Então, neste caso, dentre os candidatos propostos, encontramos as raízes racionais \(\displaystyle x = 1 \),\(\displaystyle x = \frac{1}{3} \) e \(\displaystyle x = \frac{4}{3} \) e então, o termo \( \displaystyle \left(x-1\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{4}{3}\right)\) divide a expressão polinomial \(\displaystyle x^3-\frac{8}{3}x^2+\frac{19}{9}x-\frac{4}{9}\).

Mais calculadoras de álgebra

Trabalhando com polinômios é uma habilidade crucial da qual você pode se beneficiar muito. Muitas aplicações em Álgebra o utilizam, especialmente com aplicações de equação quadrática .

O caso mais simples de uma equação polinomial é um equação linear , que tem uma infinidade de aplicações.

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