Zeros polinomiais

Esta calculadora permitirá que você calcule raízes polinomiais de qualquer polinômio válido que você fornecer. Este polinômio pode ser qualquer polinômio de grau 1 ou superior.

Por exemplo, você pode fornecer um polinômio cúbico, como p(x) = x^3 + 2x^2 - x + 1, ou pode fornecer um polinômio com coeficientes não inteiros, como p(x) = x^ 3 - 13/12 x^2 + 3/8 x - 1/24.

Depois de fornecer à calculadora um polinômio válido para o qual deseja calcular suas raízes, você pode clicar no botão "Calcular" e verá uma execução passo a passo do processo.

É necessário mencionar que o processo envolve apenas métodos elementares usados para encontrar raízes, o que inclui o Teorema do Racional Zero e divisão polinomial , bem como utilizando o Fórmula quadrática quando for apropriado.

Não existe um método geral para encontrar TODAS as raízes de TODOS os polinômios possíveis de grau acima de 5, então esta calculadora só encontrará raízes que podem ser obtidas com esses métodos elementares mencionados.

Qual é a raiz de um polinômio?

Dado um função polinomial \(p(x)\), dizemos que \(x\) é uma raiz do polinômio se:

\[\displaystyle p(x) = 0 \]

Em termos leigos, as raízes de um polinômio são os pontos nos quais a função polinomial \(p(x)\) cruza o eixo x. Essa é uma boa representação para se ter uma ideia, mas não é totalmente precisa porque algumas raízes podem ser números complexos. Então, uma raiz real será um ponto onde \(p(x)\).

Observe que as raízes do polinômio também são chamadas de zeros polinomiais.

Quais são os passos para encontrar os zeros de um polinômio?

• Passo 1: Identifique a expressão com a qual deseja trabalhar. Certifique-se de que é um polinômio e simplifique o máximo possível
• Passo 2: Nós usaremos o fatoração polinomial abordagem para encontrar sua raiz
• Passo 3: Comece tentando encontrar raízes elementares (racionais) com o Teorema do Racional Zero , E use divisão polinomial para reduzir o polinômio original, se possível
• Passo 4: Se o Passo 3 funcionou e você conseguiu reduzir o polinômio original, repita os passos anteriores para tentar fatorar o polinômio reduzido

Geralmente não é fácil e pode ser computacionalmente intensivo e não é garantido que funcione, mas é a melhor abordagem possível se estivermos restritos ao uso de métodos elementares.

A fatoração é a única maneira de encontrar raízes

Na verdade não, mas as coisas andam lado a lado. o teorema do fator afirma que \(x - a\) é um fator de um polinômio \(p(x)\) se e somente se \(p(a) = 0\). Em outras palavras, raízes e fatores estão intimamente ligados.

Agora, para polinômios de grau 2 (isto é, polinômios quadráticos ) podemos usar uma fórmula explícita, que é a conhecida Fórmula quadrática .

O mesmo acontece para os graus 3 e 4, embora as fórmulas estejam longe de ser elementares. Mas para grau 5 e superior, não existe tal fórmula, um resultado chave comprovado por Galois e Abel. Portanto, não há esperança de encontrar uma "fórmula geral", e é por isso que se usa uma fórmula mais frouxa fatoração polinomial aproximação.

Erros comuns a evitar

Freqüentemente, os alunos ficam frustrados por não conseguirem encontrar as raízes de um determinado função polinomial , digamos \(p(x) = x^3+2 x^2-x+1 \), mas eles precisam encarar o fato de que nem todos os polinômios poderão ser resolvidos usando ferramentas elementares.

É verdade que existe uma fórmula para resolver \(x^3+2 x^2-x+1 = 0 \), mas não é elementar e não se espera que os alunos a conheçam.

Dicas para o sucesso

Procure sempre fazer um mapa mental de qual será sua estratégia: Anote o polinômio que você tem, seu grau, seu coeficiente líder e coeficiente constante.

Plotar o polinômio se puder, para ter uma ideia do seu comportamento. Existe alguma fatoração óbvia que você pode usar? Usa-os. Lembre-se sempre de fatores = raízes.

Exemplo: zeros de um polinômio

Quais são os zeros de: \(x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1\)?

Solução: Para este exemplo temos o seguinte polinômio: \(\displaystyle p(x) = x^5+x^4-x^3+x^2-x+1\). Usaremos a abordagem de fatoração para encontrar raízes.

Simplificação desnecessária: A expressão polinomial fornecida já está simplificada, então não há nada para simplificá-la ainda mais.

Pode-se notar que o grau do polinômio fornecido é \(\displaystyle deg(p) = 5\). Além disso, seu coeficiente principal é \(\displaystyle a_{5} = 1\) e seu coeficiente constante é igual a \(\displaystyle a_0 = 1\).

Agora procuramos por números inteiros que dividem o coeficiente líder \(a_{5}\) e o coeficiente constante \(a_0\), que é usado para encontrar candidatos racionais.

▹ Os divisores de \(a_{5} = 1\) são: \(\pm 1\).

▹ Os divisores de \(a_0 = 1\) são: \(\pm 1\).

Portanto, dividindo todos os fatores do termo constante \(a_0 = 1\) por todos os divisores de \(a_{5} = 1\), obtemos a seguinte lista de raízes potenciais:

\[\pm \frac{ 1}{ 1}\]

Agora, todas as soluções potenciais devem ser avaliadas. Os resultados obtidos a partir do teste de cada candidato são os seguintes:

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle \left(-1\right)^5+\left(-1\right)^4-\left(-1\right)^3+\left(-1\right)^2-\left(-1\right)+1 & = & \displaystyle 4 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 1^5+1^4-1^3+1^2-1+1 & = & \displaystyle 2 \ne 0 \\\\ \end{array}\]

Como não foram identificadas raízes racionais por meio da inspeção manual, não é possível simplificar ainda mais usando técnicas básicas e o processo termina com esta etapa.

Conclusão : Como resultado, nenhuma simplificação foi obtida e nenhuma raiz do polinômio foi identificada por meio de técnicas básicas

Exemplo: calculando as raízes de uma função quadrática

Calcule as soluções de: \(3x^2 - 2x - 4 = 0\).

Solução: Precisamos resolver a equação quadrática dada \(\displaystyle 3x^2-2x-4=0\).

As raízes de uma equação quadrática da forma \(a x^2 + bx + c = 0\) são calculadas usando a seguinte equação:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

Nesse contexto, a equação que precisa ser resolvida é \(\displaystyle 3x^2-2x-4 = 0\), indicando que os coeficientes correspondentes são:

\[a = 3\] \[b = -2\] \[c = -4\]

Primeiro, determinaremos a natureza das raízes calculando o discriminante. O discriminante é calculado da seguinte forma:

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( -2\right)^2 - 4 \cdot \left(3\right)\cdot \left(-4\right) = 52\]

Como neste caso obtemos o discriminante \(\Delta = \displaystyle 52 > 0\), que é positivo, então a equação tem duas raízes reais diferentes.

Disto obtemos:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{2 \pm \sqrt{\left(-2\right)^2-4\left(3\right)\left(-4\right)}}{2\cdot 3} = \displaystyle \frac{2 \pm \sqrt{52}}{6}\]

então, descobrimos que:

\[ x_1 = \frac{2}{6}-\frac{1}{6}\sqrt{52}=\frac{2}{6}-\frac{1}{6}\cdot 2\sqrt{13}=\frac{2}{6}-\frac{1}{3}\sqrt{13}=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\sqrt{13} \] \[x_2 = \frac{2}{6}+\frac{1}{6}\sqrt{52}=\frac{2}{6}+\frac{1}{6}\cdot 2\sqrt{13}=\frac{2}{6}+\frac{1}{3}\sqrt{13}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\sqrt{13}\]

Achamos que a equação \( \displaystyle 3x^2-2x-4 = 0 \), tem duas raízes reais, então:

\[\displaystyle 3x^2-2x-4 = 3 \left(x+\frac{1}{3}\sqrt{13}-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{3}\sqrt{13}-\frac{1}{3}\right)\]

então o polinômio original é fatorado como \(\displaystyle p(x) = 3x^2-2x-4 = 3 \left(x+\frac{1}{3}\sqrt{13}-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{3}\sqrt{13}-\frac{1}{3}\right) \), o que completa a fatoração.

Conclusão : Portanto, a fatoração que procuramos é dada por:

\[\displaystyle p(x) = 3x^2-2x-4 = 3 \left(x+\frac{1}{3}\sqrt{13}-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{3}\sqrt{13}-\frac{1}{3}\right)\]

As raízes encontradas são \(-\frac{1}{3}\sqrt{13}+\frac{1}{3}\) e \(\frac{1}{3}\sqrt{13}+\frac{1}{3}\) .

Exemplo: zeros polinomiais

Calcule os zeros do seguinte polinômio: \(p(x)= x^3 - \frac{13}{12} x^2 + \frac{3}{8} x - \frac{1}{24} \).

Solução: Por fim, neste exemplo temos: \(\displaystyle p(x) = x^3-\frac{13}{12}x^2+\frac{3}{8}x-\frac{1}{24}\).

Primeiro Passo: A expressão polinomial fornecida é irredutível, então não há nada para simplificar. Podemos proceder à fatoração.

Observe que o grau do polinômio dado é \(\displaystyle deg(p) = 3\), seu coeficiente líder é \(\displaystyle a_{3} = 1\) e seu coeficiente constante é \(\displaystyle a_0 = -\frac{1}{24}\).

Raízes Racionais : Tentaremos primeiro encontrar raízes racionais simples, com o Teorema Racional do Zero.

A próxima tarefa é encontrar os números inteiros que dividem o coeficiente líder \(a_{3}\) e o coeficiente constante \(a_0\), que serão usados para construir nossos candidatos a zeros da equação polinomial.

Observação: Neste caso, observamos que para termos coeficiente constante e líder precisamos amplificar ambos os lados da equação por \(24\). A equação equivalente é:

\[24x^3-26x^2+9x-1 = 0\]

▹ Os divisores de \(a_{3} = 24\) são: \(\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\pm 6,\pm 8,\pm 12,\pm 24\).

▹ Os divisores de \(a_0 = -1\) são: \(\pm 1\).

Portanto, dividindo cada divisor do coeficiente constante \(a_0 = -1\) por cada divisor do coeficiente líder \(a_{3} = 24\), encontramos a seguinte lista de candidatos a raízes:

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 1}{ 2},\pm \frac{ 1}{ 3},\pm \frac{ 1}{ 4},\pm \frac{ 1}{ 6},\pm \frac{ 1}{ 8},\pm \frac{ 1}{ 12},\pm \frac{ 1}{ 24}\]

Agora, todos os candidatos precisam ser testados para ver se são uma solução. O seguinte é obtido a partir do teste de cada candidato:

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle 24\cdot \left(-1\right)^3-26\cdot \left(-1\right)^2+9\cdot \left(-1\right)-1 & = & \displaystyle -60 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 24\cdot 1^3-26\cdot 1^2+9\cdot 1-1 & = & \displaystyle 6 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{2} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{-1}{2}\right)^3-26\left(\frac{-1}{2}\right)^2+9\left(-\frac{ 1}{ 2}\right)-1 & = & \displaystyle -15 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{2} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{1}{2}\right)^3-26\left(\frac{1}{2}\right)^2+9\cdot \frac{1}{2}-1 & = & \displaystyle 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{3} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{-1}{3}\right)^3-26\left(\frac{-1}{3}\right)^2+9\left(-\frac{ 1}{ 3}\right)-1 & = & \displaystyle -\frac{70}{9} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{3} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{1}{3}\right)^3-26\left(\frac{1}{3}\right)^2+9\cdot \frac{1}{3}-1 & = & \displaystyle 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{4} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{-1}{4}\right)^3-26\left(\frac{-1}{4}\right)^2+9\left(-\frac{ 1}{ 4}\right)-1 & = & \displaystyle -\frac{21}{4} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{4} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{1}{4}\right)^3-26\left(\frac{1}{4}\right)^2+9\cdot \frac{1}{4}-1 & = & \displaystyle 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{6} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{-1}{6}\right)^3-26\left(\frac{-1}{6}\right)^2+9\left(-\frac{ 1}{ 6}\right)-1 & = & \displaystyle -\frac{10}{3} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{6} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{1}{6}\right)^3-26\left(\frac{1}{6}\right)^2+9\cdot \frac{1}{6}-1 & = & \displaystyle -\frac{1}{9} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{8} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{-1}{8}\right)^3-26\left(\frac{-1}{8}\right)^2+9\left(-\frac{ 1}{ 8}\right)-1 & = & \displaystyle -\frac{165}{64} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{8} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{1}{8}\right)^3-26\left(\frac{1}{8}\right)^2+9\cdot \frac{1}{8}-1 & = & \displaystyle -\frac{15}{64} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{12} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{-1}{12}\right)^3-26\left(\frac{-1}{12}\right)^2+9\left(-\frac{ 1}{ 12}\right)-1 & = & \displaystyle -\frac{35}{18} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{12} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{1}{12}\right)^3-26\left(\frac{1}{12}\right)^2+9\cdot \frac{1}{12}-1 & = & \displaystyle -\frac{5}{12} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{24} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{-1}{24}\right)^3-26\left(\frac{-1}{24}\right)^2+9\left(-\frac{ 1}{ 24}\right)-1 & = & \displaystyle -\frac{91}{64} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{24} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{1}{24}\right)^3-26\left(\frac{1}{24}\right)^2+9\cdot \frac{1}{24}-1 & = & \displaystyle -\frac{385}{576} \ne 0 \\\\ \end{array}\]

Mas como encontramos todas as raízes necessárias entre os candidatos racionais, encontramos que \(\displaystyle x^3-\frac{13}{12}x^2+\frac{3}{8}x-\frac{1}{24} = \left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{4}\right) \), então:

\[\displaystyle p(x) = x^3-\frac{13}{12}x^2+\frac{3}{8}x-\frac{1}{24} = \left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{4}\right) \]

que completa o processo de fatoração.

Resultado : Portanto, a fatoração final é:

\[\displaystyle p(x) = x^3-\frac{13}{12}x^2+\frac{3}{8}x-\frac{1}{24} = \left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{4}\right)\]

Portanto, as raízes encontradas são \(\frac{1}{2}\),\(\frac{1}{3}\) e \(\frac{1}{4}\) .

Outras calculadoras polinomiais úteis

Encontrando zeros de um polinômio é um dos pináculos da Álgebra, na medida em que o Teorema Fundamental da Álgebra trata da existência de n raízes para um polinômio de grau n. Essas raízes não necessariamente serão todas reais, e algumas delas (ou todas elas) podem ser números complexos.

Em última análise, quase todos os problemas de álgebra e cálculo podem ser reduzidos a encontrar raízes de um polinômio, incluindo a resolução equações polinomiais , como os que você encontraria, por exemplo, ao procurar o interseção entre os gráficos de \(y = x^2\) e \(y = x^3\).