Teorema do fator

Esta calculadora irá ajudá-lo a usar o Teorema do Fator, mostrando todas as etapas. Tudo o que você precisa fazer é fornecer um polinômio válido, como por exemplo x^3 - 3x + 4, e um número ou expressão numérica, como 1/3. Se chamarmos o polinômio p(x) e o valor a, usaremos o Teorema do Fator para avaliar se (x - a) é ou não um fator de p(x).

Depois de fornecer um polinômio válido e fornecer um valor, resta apenas clicar em "Calcular" para obter todas as etapas mostradas.

Observe que x - a ser um fator de p(x) é o mesmo que ter x - a divide p(x) exatamente.

O que é o teorema do fator?

A ideia de fatorar um polinômio é simples: queremos saber se um polinômio pode ou não ser escrito como a multiplicação de polinômios menores. Como por exemplo, se \(p(x)\) é um polinômio, e podemos escrever

\[ p(x) = q(x)(x-a)\]

para algum polinômio \(q(x)\) então podemos dizer que \(x - a\) é um fator de \(p(x)\). O Teorema do Fator afirma que para um \(x - a\) ser um fator de \(p(x)\), então precisamos ter esse \(p(a) = 0\) e, inversamente, se \(p(a) = 0\), então < > é um fator de \(p(x)\).

Então, o Teorema do Fator nos diz esta associação crucial e estreita entre as raízes dos polinômios e os fatores do polinômio, a ponto de que \(a\) é uma raiz do polinômio se e somente se \(x - a\) é um fator de \(p(x)\). Portanto, para encontrar as raízes de um polinômio, precisamos encontrar seus fatores.

Como usar o teorema fator para fatorar polinômios

Existem algumas abordagens diferentes, mas as mais comuns são:

• Passo 1: Comece com um polinômio p(x). Certifique-se de que seja simplificado o máximo possível.
• Passo 2: Se o grau de p(x) for 2 ou menos, existem fórmulas diretas para obter as raízes. Para grau 2, se as raízes são r1 e r2, o polinômio é fatorado como p(x) = a(x-r1)(x-r2), onde a é o termo principal
• Passo 3: Para grau 3 ou superior, tente adivinhar uma raiz, ou melhor, use primeiro o teorema da raiz racional encontrar o maior número possível de raízes racionais
• Passo 4: Se a etapa anterior não produziu nenhuma raiz, pare. Não há nada que você possa fazer com métodos básicos e provavelmente você precisa de uma aproximação numérica
• Estágio 5: Se você encontrou raízes simples nas etapas anteriores, então, pelo Teorema do Fator, os termos x - r (onde r é uma raiz) devem ser fatorados. Assim, dividimos p(x) por todos os fatores correspondentes. Isso levará a um polinômio cujo grau foi reduzido tanto quanto o número de raízes encontrado nas etapas anteriores. Chame o polinômio resultante de p(x)
• Passo 6: Aplique todas as etapas novamente ao novo polinômio p(x), até que a iteração pare.

Na verdade, existem fórmulas exatas para as raízes de polinômios de grau 3 e 4, mas não são realmente fáceis de usar, portanto, normalmente não são abordadas em um curso básico de álgebra.

Como relacionar o teorema do fator e o teorema do lembrete

O teorema do fator está intimamente relacionado com o teorema do resto . Isso porque a partir da decomposição euclidiana obtida quando dividindo polinômios \(p(x)\) e \(s(x)\), obtemos que existem polinômios \(q(x)\) e \(r(x)\) tais que

\[p(x) = s(x) q(x) + r(x) \]

com \(deg(r(x)) < deg(s(x))\). Então, em particular, quando \(s(x) = x-a\), que tem grau 1, temos

\[p(x) = s(x) (x-a) + r(x) \]

e neste caso, \(r(x)\) deve ter grau 0 (porque deve ser menor que o grau de s, que é 1), então \(r(x) = r\) é uma constante. Então

\[p(x) = s(x) (x-a) + r \]

e inserir \(x = a\) na equação acima leva a:

\[p(a) = s(a) (a-a) + r \Rightarrow p(a) = r\]

Portanto, o teorema do resto implica que, se \(a\) é uma raiz, então \(p(a) = 0\) e, portanto, o resto também é \(r = 0\).

Dicas para o sucesso

O teorema do fator também é bom para encontrar as raízes de um polinômio e nos dizer que as raízes podem ser transformadas diretamente em fatores. Isso provavelmente levará você a avaliar expressões, para as quais às vezes pode ser mais conveniente ao usar o processo de Substituição Sintética , em vez de simplesmente conectar e fazer os cálculos.

Evite erros como tentar pensar em uma "fórmula" para encontrar fatores. Encontrar fatores é essencialmente o mesmo que encontrar raízes, o que envolve ser capaz de avaliar polinômios em valores dados.

Exemplo: teorema do fator

\(x - 1\) é um fator de \(p(x) = 3x^3 - x^2 + 2x - 1\)

Solução: O seguinte polinômio foi fornecido: \(\displaystyle p(x) = 3x^3-x^2+2x-1\), e precisamos descobrir para o ponto dado \(\displaystyle x = 1\) se \(\displaystyle x - 1\) é ou não fator de \(p(x)\).

Para tanto, usaremos a substituição sintética para avaliar se \(\displaystyle p(1) = 0\) ou não.

Para realizar a substituição sintética, precisamos fazer uma divisão sintética de : \(\displaystyle p(x) = 3x^3-x^2+2x-1\) e o divisor \(\displaystyle s = x-1\) e encontrar o resto.

Observe que o grau do dividendo é \(\displaystyle deg(p) = 3\), enquanto o grau do divisor é \(\displaystyle deg(s)) = 1\).

Passo 1: Como o divisor tem grau 1, podemos usar o método da Divisão Sintética. Resolvendo \(\displaystyle s(x) = x-1 = 0\) descobrimos diretamente que o número a colocar na caixa de divisão é: \(\displaystyle 1\).

\[\begin{array}{c|ccc} 1 & 3 & -1 & 2 & -1 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & \end{array}\]

Passo 2: Agora passamos diretamente o termo inicial \(3\) para a linha do resultado:

\[\begin{array}{c|ccc} 1 & 3 & -1 & 2 & -1 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline &3&&& \end{array}\]

Passo 3: Multiplicando o termo da caixa de divisão pelo resultado da coluna 1, obtemos: \(1 \cdot \left(3\right) = 3\) e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna 1.

\[\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & \\[0.6em]\hline&3&&&\end{array}\]

Passo 4: Somando agora os valores da coluna 2, obtemos: \( -1+3 = 2\) e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna 2.

\[\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & \\[0.6em]\hline& 3 & 2 & \end{array}\]

Estágio 5: Multiplicando o termo da caixa de divisão pelo resultado da coluna 2, obtemos: \(1 \cdot \left(2\right) = 2\) e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna 2.

\[\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & 2\\[0.6em]\hline& 3 & 2 & \end{array}\]

Passo 6: Somando agora os valores da coluna 3, obtemos: \( 2+2 = 4\) e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna 3.

\[\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & 2\\[0.6em]\hline& 3 & 2 & 4\end{array}\]

Estágio 7: Multiplicando o termo da caixa de divisão pelo resultado da coluna 3, obtemos: \(1 \cdot \left(4\right) = 4\) e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna 3.

\[\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & 2 & 4\\[0.6em]\hline& 3 & 2 & 4\end{array}\]

Estágio 8: Somando agora os valores da coluna 4, obtemos: \( -1+4 = 3\) e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna 4.

\[\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & 2 & 4\\[0.6em]\hline& 3 & 2 & 4 & 3\end{array}\]

o que conclui este cálculo, pois chegamos ao resultado na coluna final, que contém o restante.

Conclusão: Portanto, concluímos que para o dividendo dado \(\displaystyle p(x) = 3x^3-x^2+2x-1\) e divisor \(\displaystyle s(x) = x-1\), obtemos que o resto é \(\displaystyle r(x) = 3\), então concluímos que \(\displaystyle p\left(1\right) = 3 \ne 0\).

Portanto, concluímos que \(\displaystyle x - 1\) NÃO é fator de \(p(x)\).

Exemplo: mais exemplos de teorema de fator

Para o polinômio : \(p(x) = 3x^3 + x^3 - 15x + 4\), o que é \(p(1/3)\), o que implica em termos de x - 1/3 ser um fator de p(x)?

Solução: Neste caso temos: \(\displaystyle p(x) = 3x^3+x^3-15x+4\), e o ponto dado é \(\displaystyle x = \frac{1}{3}\) . Precisamos descobrir se \(\displaystyle x - \frac{1}{3}\) é fator de \(p(x)\) ou não.

Como no exemplo anterior, a substituição sintética será usada para avaliar se \(\displaystyle p(\frac{1}{3}) = 0\).

Estado Inicial: Nesse caso, primeiro precisamos simplificar o dividendo \(\displaystyle P(x) = 3x^3+x^3-15x+4\) e, para isso, realizamos as seguintes etapas de simplificação:

Agora, passamos a fazer uma divisão sintética de : \(\displaystyle p(x) = 4x^3-15x+4\), com o divisor \(\displaystyle s = x-\frac{1}{3}\), e precisamos encontrar o resto.

Passo 1: Como o divisor tem grau 1, podemos usar o método da Divisão Sintética. Resolvendo \(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{3} = 0\) descobrimos diretamente que o número a colocar na caixa de divisão é: \(\displaystyle \frac{1}{3}\).

\[\begin{array}{c|ccc} \frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & \end{array}\]

Passo 2: Agora passamos diretamente o termo inicial \(4\) para a linha do resultado:

\[\begin{array}{c|ccc} \frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline &4&&& \end{array}\]

Passo 3: Multiplicando o termo da caixa de divisão pelo resultado da coluna 1, encontramos: \(\frac{1}{3} \cdot \left(4\right) = \frac{4}{3}\) e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna 1.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \\[0.6em]\hline&4&&&\end{array}\]

Passo 4: Somando agora os valores da coluna 2, encontramos: \( 0+\frac{4}{3} = \frac{4}{3}\) e este resultado é inserido na linha de resultado, coluna 2.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \\[0.6em]\hline& 4 & \frac{4}{3} & \end{array}\]

Estágio 5: Multiplicando o termo da caixa de divisão pelo resultado da coluna 2, encontramos: \(\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{9}\) e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna 2.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \frac{4}{9}\\[0.6em]\hline& 4 & \frac{4}{3} & \end{array}\]

Passo 6: Somando agora os valores da coluna 3, encontramos: \( -15+\frac{4}{9} = -\frac{131}{9}\) e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna 3.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \frac{4}{9}\\[0.6em]\hline& 4 & \frac{4}{3} & -\frac{131}{9}\end{array}\]

Estágio 7: Multiplicando o termo da caixa de divisão pelo resultado da coluna 3, encontramos: \(\frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{131}{9}\right) = -\frac{131}{27}\) e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna 3.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \frac{4}{9} & -\frac{131}{27}\\[0.6em]\hline& 4 & \frac{4}{3} & -\frac{131}{9}\end{array}\]

Estágio 8: Somando agora os valores da coluna 4, encontramos: \( 4-\frac{131}{27} = -\frac{23}{27}\) e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna 4.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \frac{4}{9} & -\frac{131}{27}\\[0.6em]\hline& 4 & \frac{4}{3} & -\frac{131}{9} & -\frac{23}{27}\end{array}\]

o que conclui este cálculo, pois chegamos ao resultado na coluna final, que contém o restante.

Conclusão: Portanto, depois de simplificar, descobrimos que ao dividir \(\displaystyle p(x) = 4x^3-15x+4\) e o divisor \(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{3}\), obtemos que o resto é \(\displaystyle r(x) = -\frac{23}{27}\), então concluímos que \(\displaystyle p\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{23}{27} \ne 0\).

Portanto, concluímos que \(\displaystyle x - \frac{1}{3}\) NÃO é fator de \(p(x)\).

Exemplo: mais sobre o teorema do fator

\(x - 2\) é um fator de \(p(x) = 2x^4 - x^3 + x - 2\)

Solução: Para este exemplo temos: \(\displaystyle p(x) = 2x^4-x^3+x-2\), então precisamos descobrir se \(\displaystyle x = 2\) é raiz do polinômio ou não, para avaliar se \(\displaystyle x - 2\) é fator de \(p(x)\) ou não.

Para tanto, usaremos a substituição sintética para avaliar se \(\displaystyle p(2) = 0\) ou não.

A divisão sintética de será realizada para: \(\displaystyle p(x) = 2x^4-x^3+x-2\) e \(\displaystyle s = x-2\), e precisamos encontrar o resto da divisão.

Passo 1: Como o divisor tem grau 1, podemos usar o método da Divisão Sintética. Resolvendo \(\displaystyle s(x) = x-2 = 0\) descobrimos diretamente que o número a colocar na caixa de divisão é: \(\displaystyle 2\).

\[\begin{array}{c|cccc} 2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & & \end{array}\]>

Passo 2: Agora passamos diretamente o termo inicial \(2\) para a linha do resultado:

\[\begin{array}{c|cccc} 2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline &2&&&& \end{array}\]>

Passo 3: Multiplicando o termo da caixa de divisão pelo resultado da coluna 1, encontramos: \(2 \cdot \left(2\right) = 4\) e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna 1.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & & \\[0.6em]\hline&2&&&&\end{array}\]>

Passo 4: Somando agora os valores da coluna 2, encontramos: \( -1+4 = 3\) e este resultado é inserido na linha de resultado, coluna 2.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & & \\[0.6em]\hline& 2 & 3 & & \end{array}\]>

Estágio 5: Multiplicando o termo da caixa de divisão pelo resultado da coluna 2, encontramos: \(2 \cdot \left(3\right) = 6\) e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna 2.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & \\[0.6em]\hline& 2 & 3 & & \end{array}\]>

Passo 6: Somando agora os valores da coluna 3, encontramos: \( 0+6 = 6\) e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna 3.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & \\[0.6em]\hline& 2 & 3 & 6 & \end{array}\]>

Estágio 7: Multiplicando o termo da caixa de divisão pelo resultado da coluna 3, encontramos: \(2 \cdot \left(6\right) = 12\) e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna 3.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & 12\\[0.6em]\hline& 2 & 3 & 6 & \end{array}\]>

Estágio 8: Somando agora os valores da coluna 4, encontramos: \( 1+12 = 13\) e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna 4.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & 12\\[0.6em]\hline& 2 & 3 & 6 & 13\end{array}\]>

Estágio 9: Multiplicando o termo da caixa de divisão pelo resultado da coluna 4, encontramos: \(2 \cdot \left(13\right) = 26\) e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna 4.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & 12 & 26\\[0.6em]\hline& 2 & 3 & 6 & 13\end{array}\]>

Etapa 10: Somando agora os valores da coluna 5, encontramos: \( -2+26 = 24\) e este resultado é inserido na linha de resultado, coluna 5.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & 12 & 26\\[0.6em]\hline& 2 & 3 & 6 & 13 & 24\end{array}\]>

e paramos a divisão já que o resto tem grau 0.

Conclusão: Portanto, concluímos que para o dividendo dado \(\displaystyle p(x) = 2x^4-x^3+x-2\) e divisor \(\displaystyle s(x) = x-2\), obtemos que o resto é \(\displaystyle r(x) = 24\), então concluímos que \(\displaystyle p\left(2\right) = 24 \ne 0\).

Portanto, concluímos que \(\displaystyle x - 2\) NÃO é fator de \(p(x)\).

Mais calculadoras polinomiais

A importância dos polinômios não pode ser exagerada, pois eles são um dos objetos mais importantes da álgebra. cálculos polinomiais são realmente importantes em matemática e em muitas aplicações além da matemática.

Os polinômios trazem à tona o principal problema da resolução de equações polinomiais, que estão entre as mais importantes da Álgebra, embora não sejam necessariamente fáceis de resolver e, de fato, não exista realmente uma fórmula para obter essas soluções, para graus superiores.

Encontrar raízes envolve usar o Teorema do Racional Zero encontrar soluções simples, usando divisão polinomial para reduzir a equação a um de menor grau usando Divisão longa ou Divisão Sintética , e enxaguar e repetir até encontrarmos todas as raízes. Embora isso nem sempre seja possível, considerando que pode haver raízes que não são racionais e também raízes complexas.