Calculadora de probabilidade normal para distribuições de amostragem


Instruções: Esta Calculadora de Probabilidade Normal para Distribuições de Amostragem calculará probabilidades de distribuição normal para médias de amostra Xˉ\bar X , usando o formulário abaixo. Digite a média da população (μ\mu), o desvio padrão da população (σ\sigma) e o tamanho da amostra (nn) e forneça detalhes sobre o evento para o qual deseja calcular a probabilidade (para a distribuição normal padrão, o média é 0 e o desvio padrão é 1):

Média da população (μ\mu)
População St. Dev. (σ\sigma)
Tamanho da amostra (nn)
Duas-Caudas:
Xˉ\le \bar X \le
Cauda Esquerda:
Xˉ \bar X \le
Cauda direita:
Xˉ \bar X \ge

Mais sobre esta calculadora de probabilidade de distribuição normal para a ferramenta de distribuições de amostragem

Quando uma sequência de variáveis normalmente distribuídas X1,X2,....,XnX_1, X_2, ...., X_n é calculada a média, obtemos a média amostral

Xˉ=1ni=1nXi\bar X = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i

Como qualquer combinação linear de variáveis normais também é normal, a média amostral Xˉ\bar X também é normalmente distribuída (assumindo que cada XiX_i é normalmente distribuído). A distribuição de Xˉ\bar X é comumente chamada de Distribuição de Amostragem de Médias de Amostragem .

Outro nome que você verá para a distribuição normal é a distribuição gaussiana ou a distribuição em forma de sino.

Calculadora de distribuição normal

Como calcular a distribuição amostral?

Assumindo que XiN(μ,σ2)X_i \sim N(\mu, \sigma^2), para todo i=1,2,3,...ni = 1, 2, 3, ...n, então Xˉ\bar X é normalmente distribuído com a mesma média comum μ\mu, mas com uma variância de σ2n\displaystyle\frac{\sigma^2}{n}.

Isso nos diz que Xˉ\bar X também está centrado em μ\mu , mas sua dispersão é menor do que para cada Xi X_i individual. De fato, quanto maior o tamanho da amostra, menor a dispersão de Xˉ\bar X.

A fórmula da distribuição normal

A fórmula de distribuição normal é relativamente difícil, não é uma fórmula que você manipulará manualmente. A fórmula é:

f(x)=1σ2πe12(xμσ)2 f(x)=\frac{1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}} e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}

A fórmula de distribuição normal de amostragem

A chave ao trabalhar com distribuições amostrais é usar o fato de que se μ\mu é a média da população e σ\sigma é o desvio padrão da população, então

Xˉμσ \displaystyle \frac{\bar X - \mu}{\sigma}

tem uma distribuição normal padrão. Isso é crucial, porque podemos usar isso para reduzir todas as distribuições de amostragem em cálculos de probabilidade normal padrão .

Em termos simples, o que você está fazendo é reduzir o cálculo de qualquer probabilidade de distribuição normal para o cálculo de escores z .

Ao reduzir todos os cálculos de distribuição normal para trabalhar com escores z, tudo o que você precisa é de uma tabela normal padrão, onde encontrar os valores z, ou uma ferramenta como esta calculadora ou Excel.

Qual é a média da distribuição amostral

A média das distribuições amostrais, μ(Xˉ)\mu(\bar X), é igual à média subjacente da distribuição μ\mu.

Desvio padrão da distribuição amostral

Ao contrário do caso da média, o desvio padrão das médias amostrais pode ser calculado usando a fórmula:

s(Xˉ)=σns(\bar X) = \displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt n}

Calculadoras relacionadas à distribuição normal

Se você deseja calcular probabilidades normais para uma única observação XX, pode usar esta calculadora com n=1n=1 ou pode usar nossa calculadora regular Calculadora de distribuição normal .

Muitas vezes você está interessado no processo inverso: Dada uma probabilidade, você deseja encontrar a pontuação tal como a probabilidade à direita dessa pontuação é aquela dada probabilidade, para a qual você pode usar um calculadora invnorm

Além disso, se a visualização gráfica é o que você precisa, você pode tentar diretamente nosso criador de gráfico de distribuição normal .

Além disso, para avaliar se uma amostra vem de uma distribuição normal real, você pode usar um gráfico de probabilidade normal , e veja o padrão obtido. Se parecer bastante linear, indica que a amostra provavelmente veio de uma proposição normalmente distribuída.

calculadora de distribuição amostral

Exemplo:

Pergunta : Considere uma distribuição normal em que a média da população é 12 e o desvio padrão da população é 3,4. Suponha que você obtenha amostras de tamanho n = 16. Qual é a probabilidade de as médias amostrais estarem no intervalo (11,3, 12,4)?

Solução:

A seguir estão a média da população (μ)(\mu), o desvio padrão da população (σ)(\sigma) e o tamanho da amostra (n)(n) fornecidos:

Population Mean (μ)(\mu) = 1212
Population Standard Deviation (σ)(\sigma) = 3.43.4
Sample Size (n)(n) = 1616
Event to compute its probability = 11.3Xˉ12.411.3 \leq \bar X \leq 12.4

Precisamos calcular Pr(11.3Xˉ12.4)\Pr(11.3 \leq \bar X \leq 12.4). Os valores z correspondentes necessários para serem calculados são:

Zlower=X1μσ/n=11.3123.4/16=0.82Z_{lower} = \frac{X_1 - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{ 11.3 - 12}{ 3.4/\sqrt{16}} = -0.82 Zupper=X2μσ/n=12.4123.4/16=0.47Z_{upper} = \frac{X_2 - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{ 12.4 - 12}{ 3.4/\sqrt{16}}= 0.47

Usando as propriedades da distribuição normal, se X N(μ,σ)X ~ N(\mu, \sigma), então as variáveis Zlower=X1μσ/nZ_{lower} = \displaystyle \frac{X_1 - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} e Zupper=X2μσ/nZ_{upper} = \displaystyle \frac{X_2 - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} têm uma distribuição normal padrão. Portanto, a probabilidade é calculada como:

Pr(11.3Xˉ12.4)=Pr(11.3123.4/16Xˉ123.4/1612.4123.4/16)=Pr(11.3123.4/16Z12.4123.4/16)=Pr(0.82Z0.47)=Pr(Z0.47)Pr(Z0.82)=0.6810.2051=0.4759 \begin{array}{ccl} \Pr(11.3 \leq \bar X \leq 12.4) & = & \Pr\left(\displaystyle \frac{ 11.3 - 12}{ 3.4 / \sqrt{ 16}} \leq \frac{ \bar X - 12}{ 3.4 / \sqrt{ 16}} \leq \frac{ 12.4 - 12}{ 3.4 / \sqrt{ 16}}\right) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle\Pr\left(\frac{ 11.3 - 12}{ 3.4 / \sqrt{ 16}} \leq Z \leq \frac{ 12.4 - 12}{ 3.4 / \sqrt{ 16}}\right) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \Pr\left(-0.82 \leq Z \leq 0.47\right) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \Pr\left(Z \leq 0.47\right) - \Pr\left(Z \leq -0.82\right) \\\\ \\\\ & = & 0.681 - 0.2051 \\\\ \\\\ & = & 0.4759 \end{array}

Portanto, com base nas informações fornecidas, conclui-se que Pr(11.3Xˉ12.4)=0.4759 \Pr(11.3 \leq \bar X \leq 12.4) = 0.4759.

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