Mais sobre esta calculadora de probabilidade de distribuição normal para a ferramenta de distribuições de amostragem

Quando uma sequência de variáveis normalmente distribuídas \(X_1, X_2, ...., X_n\) é calculada a média, obtemos a média amostral

\[\bar X = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\]

Como qualquer combinação linear de variáveis normais também é normal, a média amostral \(\bar X\) também é normalmente distribuída (assumindo que cada \(X_i\) é normalmente distribuído). A distribuição de \(\bar X\) é comumente chamada de Distribuição de Amostragem de Médias de Amostragem .

Outro nome que você verá para a distribuição normal é a distribuição gaussiana ou a distribuição em forma de sino.

Como calcular a distribuição amostral?

Assumindo que \(X_i \sim N(\mu, \sigma^2)\), para todo \(i = 1, 2, 3, ...n\), então \(\bar X\) é normalmente distribuído com a mesma média comum \(\mu\), mas com uma variância de \(\displaystyle\frac{\sigma^2}{n}\).

Isso nos diz que \(\bar X\) também está centrado em \(\mu \), mas sua dispersão é menor do que para cada \( X_i \) individual. De fato, quanto maior o tamanho da amostra, menor a dispersão de \(\bar X\).

A fórmula da distribuição normal

A fórmula de distribuição normal é relativamente difícil, não é uma fórmula que você manipulará manualmente. A fórmula é:

\[ f(x)=\frac{1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}} e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}\]

A fórmula de distribuição normal de amostragem

A chave ao trabalhar com distribuições amostrais é usar o fato de que se \(\mu\) é a média da população e \(\sigma\) é o desvio padrão da população, então

\[ \displaystyle \frac{\bar X - \mu}{\sigma}\]

tem uma distribuição normal padrão. Isso é crucial, porque podemos usar isso para reduzir todas as distribuições de amostragem em cálculos de probabilidade normal padrão .

Em termos simples, o que você está fazendo é reduzir o cálculo de qualquer probabilidade de distribuição normal para o cálculo de escores z .

Ao reduzir todos os cálculos de distribuição normal para trabalhar com escores z, tudo o que você precisa é de uma tabela normal padrão, onde encontrar os valores z, ou uma ferramenta como esta calculadora ou Excel.

Qual é a média da distribuição amostral

A média das distribuições amostrais, \(\mu(\bar X)\), é igual à média subjacente da distribuição \(\mu\).

Desvio padrão da distribuição amostral

Ao contrário do caso da média, o desvio padrão das médias amostrais pode ser calculado usando a fórmula:

\[s(\bar X) = \displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt n}\]

Calculadoras relacionadas à distribuição normal

Se você deseja calcular probabilidades normais para uma única observação \(X\), pode usar esta calculadora com \(n=1\) ou pode usar nossa calculadora regular Calculadora de distribuição normal .

Muitas vezes você está interessado no processo inverso: Dada uma probabilidade, você deseja encontrar a pontuação tal como a probabilidade à direita dessa pontuação é aquela dada probabilidade, para a qual você pode usar um calculadora invnorm

Além disso, se a visualização gráfica é o que você precisa, você pode tentar diretamente nosso criador de gráfico de distribuição normal .

Além disso, para avaliar se uma amostra vem de uma distribuição normal real, você pode usar um gráfico de probabilidade normal , e veja o padrão obtido. Se parecer bastante linear, indica que a amostra provavelmente veio de uma proposição normalmente distribuída.

Exemplo:

Pergunta : Considere uma distribuição normal em que a média da população é 12 e o desvio padrão da população é 3,4. Suponha que você obtenha amostras de tamanho n = 16. Qual é a probabilidade de as médias amostrais estarem no intervalo (11,3, 12,4)?

Solução:

A seguir estão a média da população \((\mu)\), o desvio padrão da população \((\sigma)\) e o tamanho da amostra \((n)\) fornecidos:

Population Mean \((\mu)\) =	\(12\)
Population Standard Deviation \((\sigma)\) =	\(3.4\)
Sample Size \((n)\) =	\(16\)
Event to compute its probability =	\(11.3 \leq \bar X \leq 12.4\)

Precisamos calcular \(\Pr(11.3 \leq \bar X \leq 12.4)\). Os valores z correspondentes necessários para serem calculados são:

\[Z_{lower} = \frac{X_1 - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{ 11.3 - 12}{ 3.4/\sqrt{16}} = -0.82 \] \[Z_{upper} = \frac{X_2 - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{ 12.4 - 12}{ 3.4/\sqrt{16}}= 0.47 \]

Usando as propriedades da distribuição normal, se \(X ~ N(\mu, \sigma)\), então as variáveis \(Z_{lower} = \displaystyle \frac{X_1 - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \) e \(Z_{upper} = \displaystyle \frac{X_2 - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \) têm uma distribuição normal padrão. Portanto, a probabilidade é calculada como:

\[ \begin{array}{ccl} \Pr(11.3 \leq \bar X \leq 12.4) & = & \Pr\left(\displaystyle \frac{ 11.3 - 12}{ 3.4 / \sqrt{ 16}} \leq \frac{ \bar X - 12}{ 3.4 / \sqrt{ 16}} \leq \frac{ 12.4 - 12}{ 3.4 / \sqrt{ 16}}\right) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle\Pr\left(\frac{ 11.3 - 12}{ 3.4 / \sqrt{ 16}} \leq Z \leq \frac{ 12.4 - 12}{ 3.4 / \sqrt{ 16}}\right) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \Pr\left(-0.82 \leq Z \leq 0.47\right) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \Pr\left(Z \leq 0.47\right) - \Pr\left(Z \leq -0.82\right) \\\\ \\\\ & = & 0.681 - 0.2051 \\\\ \\\\ & = & 0.4759 \end{array}\]

Portanto, com base nas informações fornecidas, conclui-se que \( \Pr(11.3 \leq \bar X \leq 12.4) = 0.4759\).