Rachaduras matemáticas - uma abordagem legal para integração por partes

Introdução

A ideia de integração por partes soa bastante assustadora para muitos alunos de cálculo, e acho que há uma boa razão para isso. Em primeiro lugar, a integração por partes é uma técnica que envolve duas etapas (ou mais) em vez de uma etapa, como a maioria dos alunos gostaria. Os alunos gostariam de APLICAR alguma fórmula e obter a resposta imediatamente, mas em Cálculo, muitas vezes, as respostas vêm após uma sequência (às vezes longa) de etapas.

Além do método de substituição , o método de integração por partes é o método mais importante para resolver integrais que não são elementares.

Em primeiro lugar, como princípio da matéria, uma das razões pelas quais o cálculo integral é tipicamente difícil para os alunos é a notação infeliz usada para integração. Na verdade, ao calcular a integral indefinida de uma função \(f\left( x \right)\), enfrentamos a seguinte notação

\[\int{f\left( x \right)dx}\] What many students do not understand is what is really meant by the "\(dx\)" in the expression above. Clearly, there are historical reasons why the "\(dx\)" appears in the notation stated above. But, actually there is no reason to include \(dx\) or even to add \(f\left( x \right)\). When we want to compute the indefinite integral of a function \(f\), we should be able to simply write \[\int{f}\] and that way we are stating the indefinite integral of the function \(f\).

São iguais?

\[\int{f\left( x \right)dx}=\int{f\left( u \right)du}\]

Absolutamente! É por isso que às vezes você vê a variável de integração (x ou u respectivamente) referida como uma variável "fictícia", porque ela realmente não desempenha nenhum papel no processo de integração.

Integração por peças como regra reversa do produto

Após uma breve introdução, agora vamos direto ao assunto. A fórmula típica de integração por partes mostrada nos livros é

\[\int{udv}=uv-\int{vdu} \,\,\,\,\,(1)\]

Então você diz: "Huh? O que é isso?" Obviamente, sem dar um significado a \(u\) e \(dv\) acima, é difícil ver o que está acontecendo. Uma pergunta que você pode ter é: Por que a fórmula de integração por partes envolve dv's e du's, se esses nem mesmo desempenham um papel no processo de integração, como mostrado na introdução?

A resposta é simples: no contexto da fórmula de integração por partes acima, \(du\) e \(dv\) não são "variáveis dummy", mas sim função. Mnemonicamente, o procedimento acima é bom para resolver um exercício de integração por partes, mas não é bom entender por que é realmente verdade ou por que funciona.

Insira a regra do produto:

A regra do produto diz que:

\[\frac{d}{dx}\left( fg \right)=\frac{df}{dx}g+f\frac{dg}{dx} \,\,\,\,\,(2)\]

Resumindo, eu prefiro escrever

\[\left( fg \right)'=f'g+fg' \,\,\,\,\,(3)\]

Mas espere! Não estamos nos integrando neste artigo? Por que eu menciono uma regra de diferenciação ?? Hum, não seria ótimo ter que regra de produto para integrais também? Não seria ótimo se \(\int{f'g'}=f\,g + C\) ?? Infelizmente não é, MAS ainda existe uma regra de produto para integrais, apenas que é um pouco mais complicada.

Vamos reorganizar a equação (3), obtemos:

\[fg'=\left( fg \right)'-f'g \,\,\,\,\,(4)\]

Então, se integrarmos os dois lados da igualdade acima, obtemos

\[\int{fg'}=\int{\left( \left( fg \right)'-f'g \right)}\]

que por linearidade de integração leva a

\[\int{f\,g'}=f\,g-\int{f'g} \,\,\,\,\,(5)\]

E aqui meus amigos, vocês têm sua integração por regra parcial. A integração por partes deve ser vista como uma ferramenta de integração legal que me permite integrar o produto de duas funções. Mas é um pouco mais restritivo, porque é o produto de duas funções, MAS uma das funções deve ser um derivado de ALGUMA função.

Portanto, para aplicar com sucesso a regra de integração por partes, preciso que três coisas aconteçam:

Estou tentando integrar o produto de DUAS funções.
Uma dessas funções é derivada de algo (portanto, tem a forma \(g'\)).
Preciso saber como calcular isso (preciso saber quem é \(g\))

Se essas três condições acontecerem, posso usar a regra de integração por partes

LEMBRE-SE: Ao usar integração por partes, você precisa ter o produto de duas funções, e uma dessas duas funções precisa ser derivada de algo que você conhece.

Por exemplo, vamos ver quando você não pode aplicar integração por partes: Considere o seguinte integral

\[\int{\sin \left( {{x}^{2}} \right){{e}^{{{x}^{2}}}}}\]

Neste caso, estamos tentando integrar o produto de duas funções: \(\sin \left( {{x}^{2}} \right)\) e \({{e}^{{{x}^{2}}}}\), mas você sabe qual é a antiderivada de qualquer uma dessas duas funções? Ou em outras palavras, você sabe quais funções levam a \(\sin \left( {{x}^{2}} \right)\) ou \({{e}^{{{x}^{2}}}}\) após a diferenciação? Bem. Não. Essas duas funções não têm antiderivadas elementares, então a integração por partes não ajudaria neste caso.

Agora, um exemplo em que a integração por partes PODE ser usada:

\[\int{{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx}\]

Neste caso, estamos tentando integrar o produto de duas funções: \({{x}^{2}}\) e \({{e}^{{{x}^{2}}}}\), e eu sei o que é a antiderivada de \({{x}^{2}}\). Então posso usar a regra. Temos a seguinte notação:

\[\int{{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx}=\int{\underbrace{{{e}^{{{x}^{2}}}}}_{f\left( x \right)}\underbrace{{{x}^{2}}dx}_{g'\left( x \right)}}\]

Então nós temos

\[\begin{aligned} & f\left( x \right)={{e}^{{{x}^{2}}}} \\ & g'\left( x \right)={{x}^{2}} \\ \end{aligned}\]

Diferenciando \(f\) e integrando \(g'\) obtemos:

\[\begin{aligned} & f\left( x \right)=2x{{e}^{{{x}^{2}}}} \\ & g\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{3} \\ \end{aligned}\]

(Observe que o \(g\left( x \right)\) indicado acima é uma possível antiderivada, mas a regra é que posso escolher QUALQUER antiderivada, então escolho a mais simples). A integração por partes é

\[\int{f\,g'}=f\,g-\int{f'g}\]

então, conectando as informações que temos, obtemos o seguinte:

\[\int{{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx\,}={{e}^{{{x}^{2}}}}\frac{{{x}^{3}}}{3}-\int{2x{{e}^{{{x}^{2}}}}\frac{{{x}^{3}}}{3}dx}\] \[\Rightarrow \,\,\,\int{{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx\,}=\frac{{{e}^{{{x}^{2}}}}{{x}^{3}}}{3}-\frac{2}{3}\int{{{x}^{4}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx}\]

Portanto, usei a regra de integração por partes acima, mas, na verdade, caí em uma integral mais difícil de resolver. Isto é, para resolver \(\int{{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx\,}\) precisamos saber primeiro como calcular \(\int{{{x}^{4}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx}\) que é realmente mais difícil.

A moral desta história é que a integração por partes é uma espécie de regra de produto para integrais, e você está procurando por uma estrutura específica: é a integral do produto de duas funções, e uma dessas funções você precisa saber como para calcular sua antiderivada. Se for esse o caso, você está no mercado e pode aplicar a regra de integração por partes.

MAS, como pôde ser visto no exemplo anterior, o fato de você PODER usar a integração por partes NÃO significa que será útil sempre.