Calculadora do teorema do resto

Esta calculadora pode ajudá-lo a usar o Teorema do Resto com eficiência e facilidade. Para usá-lo, você precisa fornecer um polinômio válido (por exemplo, algo como 3x^4 - 3x^2 + 6) e uma expressão numérica válida (como 2 ou 3/4) onde deseja avaliar o polinômio em.

O polinômio fornecido pode ter qualquer grau que você deseja , desde que seja um polinômio válido. Ele pode ter coeficientes inteiros ou de fração ou, em última análise, qualquer expressão numérica válida pode ser um coeficiente (como sqrt(2)). O polinômio que você fornecer pode vir simplificado ou não, não importa, pois a calculadora irá simplifique o polinômio primeiro, se necessário.

Uma vez fornecido um polinômio válido, com uma expressão numérica válida para avaliá-lo, você precisa pressionar o botão "Calcular" e todas as etapas do processo serão fornecidas a você.

O Teorema Do Resto é da maior importância em álgebra, então você verá que será útil ter esta calculadora, para tornar o processo muito mais fácil.

Qual é o teorema do resto

O Teorema do Resto é um importante teorema que afirma simplesmente que quando você divide dois polinômios, você encontrará um quociente e um resto, ambos polinômios.

Isso traz lembranças da divisão dos números: ao dividir dois números, encontra-se um quociente e um resto, com a fantástica propriedade de que o resto é menor que o divisor. Exatamente o mesmo acontece com polinômios, só que nesse caso, o grau do resto é menor que o grau do divisor.

Temos que colocar matematicamente: suponha que você tenha um polinômio $p(x)$ e queira dividi-lo por $s(x)$. O Teorema do Resto afirma que existe um quociente $q(x)$ e um resto $r(x$ com propriedades que

$$\displaystyle \frac{p(x)}{s(x)} = q(x) + \frac{r(x)}{s(x)}$$

onde o grau do resto $r(x)$ é menor que o grau do divisor $s(x)$. Esses quociente e resto podem ser encontrados com a ajuda do divisão longa de polinômios .

O outro ângulo do Teorema do Resto é que a expressão acima pode ser reescrita como

$$\displaystyle p(x) = q(x)s(x) + r(x)$$

Agora, se o divisor tem ordem 1, digamos $s(x) = x-a$, o teorema do resto se torna

$$\displaystyle p(x) = q(x)(x-a) + r$$

Agora, $r(x)$ torna-se uma constante $r(x) = r$, porque o divisor tem grau 1, e então o resto deve ter grau zero, o que significa que o resto é constante.

Então, substituir x = a na fórmula acima leva a

$$\displaystyle p(a) = q(a)(a-a) + r = q(a)\cdot 0 + r = r$$

A conclusão e linha de fundo do Teorema do Resto é que p(a) é o resto da divisão de p(x) por (x-a), o que pode ser feito usando Divisão Sintética . Este processo de avaliar indiretamente o polinômio em um valor é chamado Substituição Sintética .

Passos para usar o teorema do resto

• Passo 1: Identifique o polinômio p(x) e o divisor s(x)
• Passo 2: Se você deseja encontrar o quociente e o resto, em geral, pode usar o método da divisão longa
• Passo 3: Se você quiser calcular p(x) em um ponto x = a, simplesmente divida p(x) por x-a usando o método da divisão sintética

Como você pode ver, o teorema do resto, a divisão de polinômios, a divisão sintética e a divisão longa estão intimamente relacionados entre si e são lados diferentes do mesmo objeto.

Como você se beneficia usando o teorema do resto?

O teorema do resto é usado em muitas capacidades. Na maioria das vezes, é usado para avaliar um polinômio em um dado valor x = a, e especificamente, determine se é ou não uma raiz do polinômio (se p(a) = 0).

No geral, o teorema do resto dá a você a flexibilidade de detectar raízes, que é uma habilidade crucial no momento da fatoração de polinômios.

Dicas para o sucesso

Normalmente, ao trabalhar com polinômios, é mais conveniente usar a substituição sintética do que a avaliação direta, especialmente quando você está trabalhando manualmente.

Evitar erros com sinais, e ter cuidado com regras PEMDAS pode aumentar suas chances de aplicar o teorema corretamente.

Exemplo: teorema do resto e substituição sintética

Usando substituição sintética, encontre $p\left(\frac{1}{2}\right)$ para o polinômio $p(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x - 3$

Solução: Temos $\displaystyle p(x) = 2x^3-3x^2+2x-3$, e precisamos que seja avaliado em $\displaystyle x = \frac{1}{2}$, e para isso usaremos o Teorema do Resto.

Então dividimos : $\displaystyle p(x) = 2x^3-3x^2+2x-3$, pelo divisor $\displaystyle s = x-\frac{1}{2}$, e depois achamos o resto.

Passo 1: Resolvendo $\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{2} = 0$ descobrimos diretamente que o número a colocar na caixa de divisão é: $\displaystyle \frac{1}{2}$.

$$\begin{array}{c|ccc} \frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & \end{array}$$

Passo 2: Agora passamos diretamente o termo inicial $\displaystyle 2$ para a linha do resultado:

$$\begin{array}{c|ccc} \frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline &\displaystyle 2&&& \end{array}$$

Passo 3: Multiplicando o termo na caixa de divisão pelo resultado na coluna 1: $\frac{1}{2} \cdot \left(2\right) = 1$ e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna1.

$$\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & \\[0.6em]\hline&\displaystyle 2&&&\end{array}$$

Passo 4: Agora somando os valores da coluna 2: $\displaystyle -3+1 = -2$ e esse resultado é inserido na linha do resultado, coluna2.

$$\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & \\[0.6em]\hline& 2 & -2 & \end{array}$$

Estágio 5: Multiplicando o termo na caixa de divisão pelo resultado na coluna 2: $\frac{1}{2} \cdot \left(-2\right) = -1$ e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna2.

$$\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & -1\\[0.6em]\hline& 2 & -2 & \end{array}$$

Passo 6: Agora somando os valores da coluna 3: $\displaystyle 2-1 = 1$ e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna3.

$$\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & -1\\[0.6em]\hline& 2 & -2 & 1\end{array}$$

Estágio 7: Multiplicando o termo na caixa de divisão pelo resultado na coluna 3: $\frac{1}{2} \cdot \left(1\right) = \frac{1}{2}$ e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna3.

$$\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & -1 & \frac{1}{2}\\[0.6em]\hline& 2 & -2 & 1\end{array}$$

Estágio 8: Agora somando os valores da coluna 4: $\displaystyle -3+\frac{1}{2} = -2$ e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna4.

$$\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & -1 & \frac{1}{2}\\[0.6em]\hline& 2 & -2 & 1 & -2\end{array}$$

Conclusão: Portanto e usando o Teorema do Resto, concluímos que para o dividendo dado $\displaystyle p(x) = 2x^3-3x^2+2x-3$ e divisor $\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{2}$, obtemos que o resto é $\displaystyle r(x) = -2$, então concluímos que $\displaystyle p\left(\frac{1}{2}\right) = -2$.

Exemplo: usando o teorema do resto

Considere o seguinte polinômio de grau 4: $p(x) = x^4 - 3x^2 + 2x - 1$. Use o teorema do resto para calcular $p(-1)$.

Solução: O seguinte polinômio foi fornecido: $\displaystyle p(x) = x^4-3x^2+2x-1$, que precisa ser avaliado no ponto $\displaystyle x = -1$ usando o Teorema do Resto.

Para usar o Teorema do Resto, precisamos realizar a substituição sintética, para a qual precisamos fazer uma divisão sintética de : $\displaystyle p(x) = x^4-3x^2+2x-1$ e o divisor $\displaystyle s = x+1$ e, em seguida, encontrar o resto.

Observe que o grau do dividendo é $\displaystyle deg(p) = 4$, enquanto o grau do divisor é $\displaystyle deg(s)) = 1$.

Passo 1: Como o divisor tem grau 1, podemos usar o método da Divisão Sintética. Resolvendo $\displaystyle s(x) = x+1 = 0$ descobrimos diretamente que o número a colocar na caixa de divisão é: $\displaystyle -1$.

$$\begin{array}{c|cccc} -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & & \end{array}$$

Passo 2: Agora passamos diretamente o termo inicial $\displaystyle 1$ para a linha do resultado:

$$\begin{array}{c|cccc} -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline &\displaystyle 1&&&& \end{array}$$

Passo 3: Multiplicando o termo na caixa de divisão pelo resultado na coluna 1: $-1 \cdot \left(1\right) = -1$ e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna1.

$$\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & & \\[0.6em]\hline&\displaystyle 1&&&&\end{array}$$

Passo 4: Agora somando os valores da coluna 2: $\displaystyle 0-1 = -1$ e esse resultado é inserido na linha do resultado, coluna2.

$$\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & & \\[0.6em]\hline& 1 & -1 & & \end{array}$$

Estágio 5: Multiplicando o termo na caixa de divisão pelo resultado na coluna 2: $-1 \cdot \left(-1\right) = 1$ e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna2.

$$\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & \\[0.6em]\hline& 1 & -1 & & \end{array}$$

Passo 6: Agora somando os valores da coluna 3: $\displaystyle -3+1 = -2$ e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna3.

$$\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & \\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & \end{array}$$

Estágio 7: Multiplicando o termo na caixa de divisão pelo resultado na coluna 3: $-1 \cdot \left(-2\right) = 2$ e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna3.

$$\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & 2\\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & \end{array}$$

Estágio 8: Agora somando os valores da coluna 4: $\displaystyle 2+2 = 4$ e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna4.

$$\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & 2\\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & 4\end{array}$$

Etapa 9: Multiplicando o termo na caixa de divisão pelo resultado na coluna 4: $-1 \cdot \left(4\right) = -4$ e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna4.

$$\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & 2 & -4\\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & 4\end{array}$$

Etapa 10: Agora somando os valores da coluna 5: $\displaystyle -1-4 = -5$ e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna5.

$$\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & 2 & -4\\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & 4 & -5\end{array}$$

o que conclui este cálculo, pois chegamos ao resultado na coluna final, que contém o restante.

Conclusão: Portanto e usando o Teorema do Resto, concluímos que para o dividendo dado $\displaystyle p(x) = x^4-3x^2+2x-1$ e divisor $\displaystyle s(x) = x+1$, obtemos que o resto é $\displaystyle r(x) = -5$, então concluímos que $\displaystyle p\left(-1\right) = -5$.

Exemplo: outra aplicação do teorema do resto

X = 3 é uma raiz do polinômio $p(x) = x^3 - x^2 + x - 2$?

Solução: Temos $\displaystyle p(x) = x^3-x^2+x-2$, e vamos avaliar esse polinômio no ponto $\displaystyle x = 3$ para ver se é uma raiz.

Portanto, usamos o dividendo $\displaystyle p(x) = x^3-x^2+x-2$ e o divisor $\displaystyle s = x-3$ e precisamos encontrar o resto.

Passo 1: Como o divisor tem grau 1, podemos usar o método da Divisão Sintética. Resolvendo $\displaystyle s(x) = x-3 = 0$ descobrimos diretamente que o número a colocar na caixa de divisão é: $\displaystyle 3$.

$$\begin{array}{c|ccc} 3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & \end{array}$$

Passo 2: Agora passamos diretamente o termo inicial $\displaystyle 1$ para a linha do resultado:

$$\begin{array}{c|ccc} 3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline &\displaystyle 1&&& \end{array}$$

Passo 3: Multiplicando o termo na caixa de divisão pelo resultado na coluna 1: $3 \cdot \left(1\right) = 3$ e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna1.

$$\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & \\[0.6em]\hline&\displaystyle 1&&&\end{array}$$

Passo 4: Agora somando os valores da coluna 2: $\displaystyle -1+3 = 2$ e esse resultado é inserido na linha do resultado, coluna2.

$$\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & \\[0.6em]\hline& 1 & 2 & \end{array}$$

Estágio 5: Multiplicando o termo na caixa de divisão pelo resultado na coluna 2: $3 \cdot \left(2\right) = 6$ e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna2.

$$\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & 6\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & \end{array}$$

Passo 6: Agora somando os valores da coluna 3: $\displaystyle 1+6 = 7$ e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna3.

$$\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & 6\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & 7\end{array}$$

Estágio 7: Multiplicando o termo na caixa de divisão pelo resultado na coluna 3: $3 \cdot \left(7\right) = 21$ e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna3.

$$\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & 6 & 21\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & 7\end{array}$$

Estágio 8: Agora somando os valores da coluna 4: $\displaystyle -2+21 = 19$ e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna4.

$$\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & 6 & 21\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & 7 & 19\end{array}$$

Conclusão: Portanto e usando o Teorema do Resto, concluímos que para o dividendo dado $\displaystyle p(x) = x^3-x^2+x-2$ e divisor $\displaystyle s(x) = x-3$, obtemos que o resto é $\displaystyle r(x) = 19$, então concluímos que $\displaystyle p\left(3\right) = 19$. Como $\displaystyle p\left(3\right) = 19 \ne 0$, concluímos que $x = 3$ não é uma raiz do polinômio.

Mais calculadoras de álgebra

A álgebra centra-se no estudo e cálculo de polinômios . Isso pode ser visto claramente quando percebemos que o Teorema Fundamental do Cálculo é sobre as raízes de uma equação geral polinômio de grau n

Observe como o teorema do resto pode ser usado pelo uso direto do método de substituição sintética , que por sua vez é executado usando divisão sintética de polinômios . Então claramente o teorema do resto assim como a divisão de polinômios estão intimamente ligados com encontrar raízes de polinômios .