Calculadora do teorema do resto

Esta calculadora pode ajudá-lo a usar o Teorema do Resto com eficiência e facilidade. Para usá-lo, você precisa fornecer um polinômio válido (por exemplo, algo como 3x^4 - 3x^2 + 6) e uma expressão numérica válida (como 2 ou 3/4) onde deseja avaliar o polinômio em.

O polinômio fornecido pode ter qualquer grau que você deseja , desde que seja um polinômio válido. Ele pode ter coeficientes inteiros ou de fração ou, em última análise, qualquer expressão numérica válida pode ser um coeficiente (como sqrt(2)). O polinômio que você fornecer pode vir simplificado ou não, não importa, pois a calculadora irá simplifique o polinômio primeiro, se necessário.

Uma vez fornecido um polinômio válido, com uma expressão numérica válida para avaliá-lo, você precisa pressionar o botão "Calcular" e todas as etapas do processo serão fornecidas a você.

O Teorema Do Resto é da maior importância em álgebra, então você verá que será útil ter esta calculadora, para tornar o processo muito mais fácil.

Qual é o teorema do resto

O Teorema do Resto é um importante teorema que afirma simplesmente que quando você divide dois polinômios, você encontrará um quociente e um resto, ambos polinômios.

Isso traz lembranças da divisão dos números: ao dividir dois números, encontra-se um quociente e um resto, com a fantástica propriedade de que o resto é menor que o divisor. Exatamente o mesmo acontece com polinômios, só que nesse caso, o grau do resto é menor que o grau do divisor.

Temos que colocar matematicamente: suponha que você tenha um polinômio \(p(x)\) e queira dividi-lo por \(s(x)\). O Teorema do Resto afirma que existe um quociente \(q(x)\) e um resto \(r(x\) com propriedades que

\[\displaystyle \frac{p(x)}{s(x)} = q(x) + \frac{r(x)}{s(x)} \]

onde o grau do resto \(r(x)\) é menor que o grau do divisor \(s(x)\). Esses quociente e resto podem ser encontrados com a ajuda do divisão longa de polinômios .

O outro ângulo do Teorema do Resto é que a expressão acima pode ser reescrita como

\[\displaystyle p(x) = q(x)s(x) + r(x)\]

Agora, se o divisor tem ordem 1, digamos \(s(x) = x-a\), o teorema do resto se torna

\[\displaystyle p(x) = q(x)(x-a) + r\]

Agora, \(r(x)\) torna-se uma constante \(r(x) = r\), porque o divisor tem grau 1, e então o resto deve ter grau zero, o que significa que o resto é constante.

Então, substituir x = a na fórmula acima leva a

\[\displaystyle p(a) = q(a)(a-a) + r = q(a)\cdot 0 + r = r\]

A conclusão e linha de fundo do Teorema do Resto é que p(a) é o resto da divisão de p(x) por (x-a), o que pode ser feito usando Divisão Sintética . Este processo de avaliar indiretamente o polinômio em um valor é chamado Substituição Sintética .

Passos para usar o teorema do resto

• Passo 1: Identifique o polinômio p(x) e o divisor s(x)
• Passo 2: Se você deseja encontrar o quociente e o resto, em geral, pode usar o método da divisão longa
• Passo 3: Se você quiser calcular p(x) em um ponto x = a, simplesmente divida p(x) por x-a usando o método da divisão sintética

Como você pode ver, o teorema do resto, a divisão de polinômios, a divisão sintética e a divisão longa estão intimamente relacionados entre si e são lados diferentes do mesmo objeto.

Como você se beneficia usando o teorema do resto?

O teorema do resto é usado em muitas capacidades. Na maioria das vezes, é usado para avaliar um polinômio em um dado valor x = a, e especificamente, determine se é ou não uma raiz do polinômio (se p(a) = 0).

No geral, o teorema do resto dá a você a flexibilidade de detectar raízes, que é uma habilidade crucial no momento da fatoração de polinômios.

Dicas para o sucesso

Normalmente, ao trabalhar com polinômios, é mais conveniente usar a substituição sintética do que a avaliação direta, especialmente quando você está trabalhando manualmente.

Evitar erros com sinais, e ter cuidado com regras PEMDAS pode aumentar suas chances de aplicar o teorema corretamente.

Exemplo: teorema do resto e substituição sintética

Usando substituição sintética, encontre \(p\left(\frac{1}{2}\right)\) para o polinômio \(p(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x - 3\)

Solução: Temos \(\displaystyle p(x) = 2x^3-3x^2+2x-3\), e precisamos que seja avaliado em \(\displaystyle x = \frac{1}{2}\), e para isso usaremos o Teorema do Resto.

Então dividimos : \(\displaystyle p(x) = 2x^3-3x^2+2x-3\), pelo divisor \(\displaystyle s = x-\frac{1}{2}\), e depois achamos o resto.

Passo 1: Resolvendo \(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{2} = 0\) descobrimos diretamente que o número a colocar na caixa de divisão é: \(\displaystyle \frac{1}{2}\).

\[\begin{array}{c|ccc} \frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & \end{array}\]

Passo 2: Agora passamos diretamente o termo inicial \(\displaystyle 2\) para a linha do resultado:

\[\begin{array}{c|ccc} \frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline &\displaystyle 2&&& \end{array}\]

Passo 3: Multiplicando o termo na caixa de divisão pelo resultado na coluna 1: \(\frac{1}{2} \cdot \left(2\right) = 1\) e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna1.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & \\[0.6em]\hline&\displaystyle 2&&&\end{array}\]

Passo 4: Agora somando os valores da coluna 2: \( \displaystyle -3+1 = -2\) e esse resultado é inserido na linha do resultado, coluna2.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & \\[0.6em]\hline& 2 & -2 & \end{array}\]

Estágio 5: Multiplicando o termo na caixa de divisão pelo resultado na coluna 2: \(\frac{1}{2} \cdot \left(-2\right) = -1\) e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna2.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & -1\\[0.6em]\hline& 2 & -2 & \end{array}\]

Passo 6: Agora somando os valores da coluna 3: \( \displaystyle 2-1 = 1\) e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna3.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & -1\\[0.6em]\hline& 2 & -2 & 1\end{array}\]

Estágio 7: Multiplicando o termo na caixa de divisão pelo resultado na coluna 3: \(\frac{1}{2} \cdot \left(1\right) = \frac{1}{2}\) e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna3.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & -1 & \frac{1}{2}\\[0.6em]\hline& 2 & -2 & 1\end{array}\]

Estágio 8: Agora somando os valores da coluna 4: \( \displaystyle -3+\frac{1}{2} = -2\) e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna4.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & -1 & \frac{1}{2}\\[0.6em]\hline& 2 & -2 & 1 & -2\end{array}\]

Conclusão: Portanto e usando o Teorema do Resto, concluímos que para o dividendo dado \(\displaystyle p(x) = 2x^3-3x^2+2x-3\) e divisor \(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{2}\), obtemos que o resto é \(\displaystyle r(x) = -2\), então concluímos que \(\displaystyle p\left(\frac{1}{2}\right) = -2\).

Exemplo: usando o teorema do resto

Considere o seguinte polinômio de grau 4: \(p(x) = x^4 - 3x^2 + 2x - 1\). Use o teorema do resto para calcular \(p(-1)\).

Solução: O seguinte polinômio foi fornecido: \(\displaystyle p(x) = x^4-3x^2+2x-1\), que precisa ser avaliado no ponto \(\displaystyle x = -1\) usando o Teorema do Resto.

Para usar o Teorema do Resto, precisamos realizar a substituição sintética, para a qual precisamos fazer uma divisão sintética de : \(\displaystyle p(x) = x^4-3x^2+2x-1\) e o divisor \(\displaystyle s = x+1\) e, em seguida, encontrar o resto.

Observe que o grau do dividendo é \(\displaystyle deg(p) = 4\), enquanto o grau do divisor é \(\displaystyle deg(s)) = 1\).

Passo 1: Como o divisor tem grau 1, podemos usar o método da Divisão Sintética. Resolvendo \(\displaystyle s(x) = x+1 = 0\) descobrimos diretamente que o número a colocar na caixa de divisão é: \(\displaystyle -1\).

\[\begin{array}{c|cccc} -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & & \end{array}\]

Passo 2: Agora passamos diretamente o termo inicial \(\displaystyle 1\) para a linha do resultado:

\[\begin{array}{c|cccc} -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline &\displaystyle 1&&&& \end{array}\]

Passo 3: Multiplicando o termo na caixa de divisão pelo resultado na coluna 1: \(-1 \cdot \left(1\right) = -1\) e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna1.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & & \\[0.6em]\hline&\displaystyle 1&&&&\end{array}\]

Passo 4: Agora somando os valores da coluna 2: \( \displaystyle 0-1 = -1\) e esse resultado é inserido na linha do resultado, coluna2.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & & \\[0.6em]\hline& 1 & -1 & & \end{array}\]

Estágio 5: Multiplicando o termo na caixa de divisão pelo resultado na coluna 2: \(-1 \cdot \left(-1\right) = 1\) e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna2.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & \\[0.6em]\hline& 1 & -1 & & \end{array}\]

Passo 6: Agora somando os valores da coluna 3: \( \displaystyle -3+1 = -2\) e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna3.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & \\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & \end{array}\]

Estágio 7: Multiplicando o termo na caixa de divisão pelo resultado na coluna 3: \(-1 \cdot \left(-2\right) = 2\) e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna3.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & 2\\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & \end{array}\]

Estágio 8: Agora somando os valores da coluna 4: \( \displaystyle 2+2 = 4\) e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna4.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & 2\\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & 4\end{array}\]

Etapa 9: Multiplicando o termo na caixa de divisão pelo resultado na coluna 4: \(-1 \cdot \left(4\right) = -4\) e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna4.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & 2 & -4\\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & 4\end{array}\]

Etapa 10: Agora somando os valores da coluna 5: \( \displaystyle -1-4 = -5\) e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna5.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & 2 & -4\\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & 4 & -5\end{array}\]

o que conclui este cálculo, pois chegamos ao resultado na coluna final, que contém o restante.

Conclusão: Portanto e usando o Teorema do Resto, concluímos que para o dividendo dado \(\displaystyle p(x) = x^4-3x^2+2x-1\) e divisor \(\displaystyle s(x) = x+1\), obtemos que o resto é \(\displaystyle r(x) = -5\), então concluímos que \(\displaystyle p\left(-1\right) = -5\).

Exemplo: outra aplicação do teorema do resto

X = 3 é uma raiz do polinômio \( p(x) = x^3 - x^2 + x - 2\)?

Solução: Temos \(\displaystyle p(x) = x^3-x^2+x-2\), e vamos avaliar esse polinômio no ponto \(\displaystyle x = 3\) para ver se é uma raiz.

Portanto, usamos o dividendo \(\displaystyle p(x) = x^3-x^2+x-2\) e o divisor \(\displaystyle s = x-3\) e precisamos encontrar o resto.

Passo 1: Como o divisor tem grau 1, podemos usar o método da Divisão Sintética. Resolvendo \(\displaystyle s(x) = x-3 = 0\) descobrimos diretamente que o número a colocar na caixa de divisão é: \(\displaystyle 3\).

\[\begin{array}{c|ccc} 3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & \end{array}\]

Passo 2: Agora passamos diretamente o termo inicial \(\displaystyle 1\) para a linha do resultado:

\[\begin{array}{c|ccc} 3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline &\displaystyle 1&&& \end{array}\]

Passo 3: Multiplicando o termo na caixa de divisão pelo resultado na coluna 1: \(3 \cdot \left(1\right) = 3\) e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna1.

\[\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & \\[0.6em]\hline&\displaystyle 1&&&\end{array}\]

Passo 4: Agora somando os valores da coluna 2: \( \displaystyle -1+3 = 2\) e esse resultado é inserido na linha do resultado, coluna2.

\[\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & \\[0.6em]\hline& 1 & 2 & \end{array}\]

Estágio 5: Multiplicando o termo na caixa de divisão pelo resultado na coluna 2: \(3 \cdot \left(2\right) = 6\) e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna2.

\[\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & 6\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & \end{array}\]

Passo 6: Agora somando os valores da coluna 3: \( \displaystyle 1+6 = 7\) e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna3.

\[\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & 6\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & 7\end{array}\]

Estágio 7: Multiplicando o termo na caixa de divisão pelo resultado na coluna 3: \(3 \cdot \left(7\right) = 21\) e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna3.

\[\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & 6 & 21\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & 7\end{array}\]

Estágio 8: Agora somando os valores da coluna 4: \( \displaystyle -2+21 = 19\) e este resultado é inserido na linha do resultado, coluna4.

\[\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & 6 & 21\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & 7 & 19\end{array}\]

Conclusão: Portanto e usando o Teorema do Resto, concluímos que para o dividendo dado \(\displaystyle p(x) = x^3-x^2+x-2\) e divisor \(\displaystyle s(x) = x-3\), obtemos que o resto é \(\displaystyle r(x) = 19\), então concluímos que \(\displaystyle p\left(3\right) = 19\). Como \(\displaystyle p\left(3\right) = 19 \ne 0\), concluímos que \(x = 3\) não é uma raiz do polinômio.

Mais calculadoras de álgebra

A álgebra centra-se no estudo e cálculo de polinômios . Isso pode ser visto claramente quando percebemos que o Teorema Fundamental do Cálculo é sobre as raízes de uma equação geral polinômio de grau n

Observe como o teorema do resto pode ser usado pelo uso direto do método de substituição sintética , que por sua vez é executado usando divisão sintética de polinômios . Então claramente o teorema do resto assim como a divisão de polinômios estão intimamente ligados com encontrar raízes de polinômios .